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Full text of "Vorlesungen uber die theorie der warmestrahlung"

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Math/stat. 



VORLESUNGEN 

ÜBIK DIE 

THEORIE DER WÄRMESTRAHLUNG 



VORLESUNGEN 

ÜBER DIE 



THEORIE DER WÄRMESTRAHLUNG 



VON 



DR. MAX PLANCK, 

PROFESSOR DER THEORETISCHEN PHYSIK 
AN DER UNIVERSITÄT BERLIN 



MIT 6 ABBILDUNGEN 




LEIPZIG, 1906 
VERLAG VON JOHANN AMBROSIUS BARTH 



v-- 



Druck von Metzger A Wittäi iu Leipzig 



QC33t 

5TAr 



Vorwort. 



In dem vorliegenden Buche ist der Hauptinhalt der Vor- 
lesungen wiedergegeben, welche ich im Wintersemester 1905/6 
an der Berliner Universität gehalten habe. Ursprünglich war es 
nur meine Absicht gewesen, die Ergebnisse meiner eigenen, vor 
zehn Jahren begonnenen Untersuchungen über die Theorie der 
Wärmestrahlung in eine zusammenhängende Darstellung zu ver- 
einigen; doch bald zeigte es sich als wünschenswert, auch die 
Grundlagen dieser Theorie, von den Kirchhofe sehen Sätzen 
über das Emissions- und Absorptionsvermögen angefangen, mit 
in die Behandlung hineinzuziehen, und so machte ich den Ver- 
such, ein Lehrbuch zu schreiben, welches zugleich auch zur 
Einführung in das Studium der gesamten Theorie der strahlen- 
den Wärme auf einheitlicher thermodynamischer Grundlage zu 
dienen geeignet ist. Dementsprechend nimmt die Darstellung 
ihren Ausgang von den einfachen bekannten Erfahrungssätzen 
der Optik, um durch allmähliche Erweiterung und Hinzu- 
ziehung der Ergebnisse der Elektrodynamik und der Thermo- 
dynamik zu den Problemen der spektralen Energieverteilung 
und der Irreversibilität vorzudringen. Hierbei bin ich öfters, 
wo es mir sachliche oder didaktische Gründe nahelegten, von 
der sonst üblichen Art der Betrachtung abgewichen, so ins- 
besondere bei der Ableitung der Kirchhofe sehen Sätze, der 
Berechnung des Maxwell sehen Strahlungsdrucks, der Ableitung 
des Wien sehen Verschiebungsgesetzes und seiner Verallgemeine- 
rung auf Strahlungen von beliebiger spektraler Energieverteilung. 
Die Resultate meiner eigenen Untersuchungen habe ich überall 
an den entsprechenden Stellen mit in die Darstellung hinein- 
gearbeitet. Ein Verzeichnis derselben findet sich zur bequemeren 



VI Vorwort 



Vergleicliung und Kontrollierung näherer Einzelheiten am Schluß 
des Buches zusammengestellt. 

Es liegt mir aber daran, auch an dieser Stelle noch be- 
sonders hervorzuheben, was sich im letzten Paragraphen des 
Buches näher ausgeführt findet, daß die hier entwickelte Theorie 
keineswegs den Anspruch erhebt, als vollkommen abgeschlossen 
zu gelten, wenn sie auch, wie ich glaube, einen gangbaren Weg 
eröffnet, um die Vorgänge der Elnergiestrahlung von dem näm- 
lichen Gesichtspunkt aus zu überblicken wie die der Molekular- 
bewegungen. 

München, Ostern 1906. 

Der Verfasser. 



Inhalt. 



Seite 

Erster Abschnitt. Grimdtatsachen und Definitionen 1 

Erstes Kapitel. Allgemeines 1 

Zweites Kapitel. Strahlung beim thermodynamischen Gleich- 
gewicht. KiRCHiiOFFSches Gesetz. Schwarze Strahlung. . 23 

Zweiter Abschnitt. Folgerungen aus der Elektrodynamik und 
der Thermodynamik 49 

Erstes Kapitel. Maxwell scher Strahlungsdruck 49 

Zweites Kapitel. SxEFAN-BoLTzMANNSches Strahlungsgesetz . 58 

Drittes Kapitel. WiENsches Verschiebungsgesetz 68 

Viertes Kapitel. Strahlung von beliebiger spektraler Energie- 
verteilung. Entropie und Temperatur monochromatischer 
Strahlung 86 

Dritter Abschnitt. Emission und Absorption elektromag-netischer 
Wellen durch einen linearen Oszillator 100 

Erstes Kapitel. Einleitung. Schwingungsgleichung eines 

linearen Oszillators 100 

Zweites Kapitel. Ein Resonator unter der Einwirkung einer 

ebenen periodischen Welle 114 

Drittes Kapitel. Ein Resonator unter der Einwirkung statio- 
närer Wärmestrahlung. Entropie und Temperatur des 
Resonators 117 

Vierter Abschnitt. Entropie und Wahrscheinlichkeit 129 

Erstes Kapitel. Einleitung. Grundlegende Sätze und Defi- 
nitionen 129 

Zweites Kapitel. Entropie eines idealen einatomigen Gases . 140 
Drittes Kapitel. Berechnung der Strahlungsentropie und 
Folgerungen daraus. Energieverteilungsgesetz. Elementar- 
quanta 148 



vni Inhalt 



Filnfter Abschnitt. Irreversilble StrahlungSTorgäiig-e 180 

Erstes Kapitel. Einleitung. Direkte Umkehrung eines Strah- 
lungsvorgangs 180 

Zweites Kapitel. Ein Oszillator in beliebigem Strahlungsfeldc. 

Hypothese der natürlichen Strahlung 187 

Drittes Kapitel. Erhaltung der Energie und Vermehrung der 

Entropie 203 

Viertes Kapiteh Anwendung auf einen speziellen Fall. Schluß 214 

Verzeichnis der Schriften des Verfassers über Wärmestrahlung . . 221 



Erster Abschnitt. 

Grrundtatsachen und Definitionen. 



Erstes Kapitel. Aligemeines. 

§ 1. Wärme kann sich in einem ruhenden Medium auf 
zwei gänzlich verschiedene Arten fortpflanzen: durch Leitung 
und durch Strahlung. Die Wärmeleitung ist bedingt durch 
die Temperatur des Mediums, in welchem sie stattfindet, speziell 
durch die üngleichmäßigkeit der räumlichen Temperaturverteilung, 
welche gemessen wird durch die Größe des Temperaturgefälles 
oder Temperaturgradienten. In Gebieten, wo die Temperatur 
des Mediums sich nicht mit dem Orte ändert, verschwindet jede 
Spur von Wärmeleitung. 

Die Wärmestrahlung dagegen ist an sich gänzlich un- 
abhängig von der Temperatur des Mediums, durch welches sie 
hindurchgeht. So kann man durch eine Sammellinse von Eis 
hindurch, die sich auf der konstanten Temperatur von 0^ C. 
befindet, Sonnenstrahlen in einen Brennpunkt konzentrieren und 
zur Entzündung eines leicht brennbaren Körpers benutzen. Im 
allgemeinen ist die Wärmestrahlung ein viel komplizierterer Vor- 
gang als die Wärmeleitung, weil der Strahlungszustand in einem 
bestimmten Augenblicke an einer bestimmten Stelle des Mediums 
sich nicht, wie der Wärmeleitungsstrom, durch einen einzigen 
Vektor, d. h. durch eine einzige gerichtete Größe, charakterisieren 
läßt. Vielmehr sind die Wärmestrahlen, welche in einem be- 
stimmten Augenblicke das Medium an einem bestimmten Punkte 
durchkreuzen, von vornherein gänzlich unabhängig voneinander, 
und man darf den Strahlungszustand nicht eher als vollkommen 
bekannt ansehen, als bis die Intensität der Strahlung nach jeder 
einzelnen der unendlich vielen von einem Punkte ausgehenden 

PiiANCK, Wärmestrahlung. 1 



Orundtatsachen und Definitionen 



Richtungen des Raumes gegeben ist. Dabei zählen zwei gerade 
entgegengesetzte Richtungen doppelt, weil die Strahlung nach 
der einen Seite ganz unabhängig ist von der nach der entgegen- 
gesetzten Seite. 

§ 3. Ohne vorläufig auf eine speziellere Theorie der Wärme- 
strahlung einzugehen, werden wir stets von dem durch die 
mannigfaltigsten Erfahrungen bewährten Satze Gebrauch machen, 
daß die Wärmestrahlen, rein physikalisch betrachtet, nichts 
anderes sind als Lichtstrahlen von entsprechender Wellenlänge, 
und werden die Bezeichnung „Wärmestrahlung" ganz allgemein 
für alle diejenigen physikalischen Vorgänge gebrauchen, welche 
zur Klasse der Lichtstrahlen gehören. Jeder Lichtstrahl ist 
demnach zugleich auch ein Wärmestrahl. Auch werden wir 
gelegentlich zur Abkürzung von der „Farbe" eines Wärmestrahls 
sprechen, um seine Wellenlänge oder seine Schwingungsdauer 
zu kennzeichnen. Daher w^enden wir auch alle aus der Optik 
bekannten Erfahrungssätze auf die Wärmestrahlung an, vor 
allem die der Fortpflanzung, der Spiegelung (Reflexion) und 
der Brechung (Refraktion). Nur die Erscheinungen der Beugung 
(Diffraktion), wenigstens soweit sie sich in Gebieten von größeren 
Dimensionen abspielen, wollen wir wegen ihres komplizierteren 
Charakters nicht berücksichtigen, und sind daher genötigt, von 
vornherein eine besondere Einschränkung hinsichtlich der von 
uns zu betrachtenden Räume zu machen. Es soll nämlich im 
folgenden überall die Voraussetzung gelten, daß die linearen 
Dimensionen aller betrachteten Räume und auch die Krümmungs- 
radien aller betrachteten Oberflächen groß sind gegen die 
Wellenlängen der betrachteten Strahlen. Dann können wir 
ohne merklichen Fehler von den Einflüssen der durch die Form 
der Grenzflächen bedingten Beugung ganz absehen und können 
überall die gewöhnlichen Gesetze der optischen Reflexion und 
Brechung zur Anwendung bringen. Hiermit führen wir also 
ein für allemal eine strenge Scheidung ein zwischen zwei Arten 
von Längen, die ganz getrennten Größenordnungen angehören: 
Körperdimensionen und Wellenlängen. Auch die Differentiale 
der Körperdimensionen : Längen-, Flächen- und Volumenelemente, 
nehmen wir immer noch groß an gegen die entsprechenden 
Potenzen der Wellenlängen. Je langwelligere Strahlen wir 
berücksichtigen wollen, um so größere Räume müssen wir daher 



Ällgmieines 



betrachten. Da wir aber in der Wahl unserer Räume im 
übrigen gar nicht beschränkt sind, so wird uns aus dieser Fest- 
setzung keine weitere Schwierigkeit erwachsen. 

§ 3. Wesentlicher noch als die Unterscheidung zwischen 
großen und kleinen Längen ist für die gesamte Theorie der 
Wärmestrahlung die Unterscheidung zwischen großen und kleinen 
Zeiten. Denn es liegt schon in der Definition der Intensität 
eines Wärmestrahles als derjenigen Energie, welche von dem 
Strahle in der Zeiteinheit geliefert wird, die Voraussetzung mit 
enthalten, daß die gewählte Zeiteinheit groß ist gegenüber der 
Zeitdauer einer Schwingung, wie sie der Farbe des Strahles 
entspricht. Sonst würde nämlich offenbar der Betrag der 
Strahlungsintensität im allgemeinen davon abhängig sein, bei 
welcher Phase der Schwingung die Messung der vom Strahl 
gelieferten Energie begonnen wird. Nur wenn die Zeiteinheit 
zufällig gerade eine ganze Anzahl Schwingungen umfassen würde, 
wäre die Intensität eines Strahles von konstanter Periode und 
konstanter Amplitude unabhängig von der anfänglichen Phase. 
Um dieser Unzuträglichkeit zu entgehen, sind wir genötigt ganz 
allgemein festzusetzen, daß die Zeiteinheit, oder besser gesagt: 
daß die Zeit, welche der Definition einer Strahlungsintensität 
zugrunde gelegt wird, mag sie auch als Differential auftreten, 
groß ist gegen die Schwingungszeit jeder der Farben, die in 
dem Strahle enthalten sind. 

Diese Festsetzung führt zu einer wichtigen Folgerung für 
Strahlungen von veränderlicher Intensität. Wenn wir z. B. bei 
periodisch schwankenden Strahlungsintensitäten wie in der Akustik 
von „Schwebungen'^ der Intensität sprechen, so muß selbst- 
verständlich die zur Definition der augenblicklichen Strahlungs- 
intensität benötigte Zeit klein sein gegen die Periode einer 
Schwebung. Da sie nun aber nach dem vorigen groß sein muß 
gegen die Zeitdauer einer Schwingung, so folgt daraus, daß die 
Zeitperiode einer Schwebung immer groß ist gegen die Zeit- 
periode einer Schwingung. Wäre diese Bedingung nicht erfüllt, 
80 könnte man Schwingungen und Schwebungen gar nicht streng 
auseinanderhalten. Ebenso müssen im allgemeinen Fall, bei 
beliebig veränderlicher Strahlungsintensität, die Schwingungen 
immer sehr schnell erfolgen gegen die Intensitätsänderungen. 
Es versteht sich, daß in diesen Festsetzungen eine gewisse, und 



Orundtatsachen und Definitionen 



zwar eine sehr wesentliche Beschränkung der Allgemeinheit der 
zu betrachtenden Strahlungsvorgänge gelegen ist. 

Eine ganz ähnliche und ebenso wesentliche Beschränkung 
der Allgemeinheit macht man übrigens, wie gleich hier bemerkt 
sein möge, in der kinetischen Gastheorie, wenn man die in 
einem chemisch einfachen Gase stattfindenden Bewegungen ein- 
teilt in sichtbare, grobe, molare, und in unsichtbare, feine, 
molekulare. Denn da die Geschwindigkeit einer einzelnen Molekel 
eine durchaus einheitliche Größe ist, so kann diese Einteilung 
nur unter der Voraussetzung durchgeführt werden, daß die 
Geschwindigkeitskomponenten der in hinreichend kleinen Volumina 
enthaltenen Molekeln gewisse, von der Größe der Volumina 
unabhängige Mittelwerthe besitzen, was im allgemeinen keines- 
wegs der Fall zu sein braucht. Wenn ein derartiger Mittelwert, 
einschließlich des Wertes Null, nicht existiert, so kann man 
gar nicht zwischen der sichtbaren und der Wärmebewegung des 
Gases unterscheiden. 

Wenn wir uns nun der Frage zuwenden, nach welchen 
Gesetzen sich die Strahlungsvorgänge in irgend einem Körper- 
system, das wir stets als ruhend annehmen wollen, abspielen, 
80 können wir das Problem von zwei verschiedenen Seiten an- 
greifen: wir können nämlich entweder eine bestimmte Stelle im 
Räume ins Auge fassen und nach den verschiedenen Strahlen 
fragen, welche im Laufe der Zeit diese Stelle durchkreuzen, 
oder wir können einen bestimmten Strahl ins Auge fassen und 
nach seiner Geschichte fragen, d. h. nach seiner Entstehung, 
seiner Fortpflanzung und seiner Vernichtung. Für die folgende 
Darstellung wird es bequemer sein, die letztere Behandlungsart 
voranzustellen und zunächst der Eeihe nach die drei genannten 
Vorgänge einzeln zu betrachten. 

§ 4. Emission. Der Akt der Entstehung eines Wärme- 
strahles wird allgemein als „Emission" bezeichnet. Nach dem 
Prinzip der Erhaltung der Energie erfolgt die Emission stets 
auf Kosten von anderweitiger Energie (Körperwärme, chemische 
Energie, elektrische Energie) und daraus geht hervor, daß nur 
substanzielle Partikel Wärmestrahlen emittieren können, nicht 
aber geometrische Räume oder Flächen. Man spricht zwar 
häufig in abkürzendem Sinne davon, daß die Oberfläche eines 
Körpers Wärme nach außen strahlt, aber diese Ausdrucksweise 



Allgemeines 



hat nicht den Sinn, daß die Oberfläche Wärme strahlen emittiert. 
Die Oberfläche eines Körpers emittiert niemals im eigentlichen 
Sinne, sondern sie läßt die Strahlen, welche aus dem Innern 
des Körpers kommend die Oberfläche trefi'en, teils nach außen 
hindurch, teils reflektiert sie dieselben in das Innere zurück, 
und je nachdem der hindurchgehende Bruchteil größer oder 
kleiner ist, scheint die Oberfläche stärker oder schwächer aus- 
zustrahlen. 

Betrachten wir nun das Innere einer emittierenden physi- 
kalisch homogenen Substanz und greifen dort irgend ein nicht 
zu kleines Volumenelement von der Größe dr heraus. Dann 
wird die von allen in dem Volumenelement befindlichen Partikeln 
zusammengenommen in der Zeiteinheit durch Strahlung emittierte 
Energie proportional dr sein. Wollten wir versuchen, näher 
auf die Analyse des Vorgangs der Emission einzugehen und ihn 
in seine elementaren Bestandteile zu zerlegen, so würden wir 
jedenfalls sehr komplizierte Verhältnisse antreffen. Denn es 
wird sich hierbei um die Betrachtung von Räumen handeln, 
deren Dimensionen so klein sind, daß man die Substanz nicht 
mehr als homogen betrachten kann, sondern auf ihre atomistische 
Konstitution Rücksicht nehmen muß. Deshalb ist die endliche 
Größe, welche man erhält, wenn man die von dem Volumen- 
element dr emittierte Strahlung durch dr dividiert, nur als ein 
gewisser Mittelwert anzusehen. Wir werden aber trotzdem für 
gewöhnlich, was für die Rechnung viel bequemer ist, den Vor- 
gang der Emission so behandeln können, als ob alle Punkte 
des Volumenelementes dr sich gleichmäßig an der Emission 
beteiligten, so daß jeder Punkt innerhalb dr die Spitze eines 
nach allen Richtungen ausgehenden Bündels von Strahlen bildet. 
Ein solches elementares Punktbündel repräsentiert natürlich 
keine endliche Energiemenge; denn eine solche wird immer nur 
von den Punkten eines endlichen Volumens emittiert. 

Wir wollen ferner die Substanz als isotrop annehmen. Dann 
wird die Strahlung von dem Volumenelement dr nach allen 
Richtungen des Raumes gleichmäßig emittiert, d. h. die von 
einem Punkte des Elements innerhalb eines beliebigen Kegels 
emittierte Strahlung ist proportional der Öffnung des Kegels, 
wie sie gemessen wird durch die Größe der Fläche, welche der 
Kegel aus der mit dem Radius 1 um seine Spitze als Mittel- 



6 Qrundtatsachen und Definitionen 

punkt beschriebenen Kugelfläche ausschneidet. Das gilt für 
beliebig große Kegelöffnungen. Nimmt man die Öffnung des 
Kegels unendlich klein, von der Größe d^, so kann man von 
der „in einer bestimmten Richtung" emittierten StrahluDg 
sprechen, doch immer nur in dem Sinne, daß zur Emission 
einer endlichen Energiemenge eine unendliche Anzahl von Rich- 
tungen gehören, die eine endliche Kegelöffnung miteinander bilden. 

§ 5. Die emittierte Strahlung wird eine gewisse, von vorn- 
herein ganz beliebige spektrale Energieverteilung besitzen, d. h. 
die verschiedenen Farben werden in ihr mit ganz verschiedener 
Intensität vertreten sein. Zur Bezeichnung der Farbe eines 
Strahles bedient man sich in der Experimentalphysik gewöhn- 
lich der Angabe der Wellenlänge l, weil dieselbe am direktesten 
gemessen wird. Für die theoretische Behandlung ist es aber 
meist bequemer, statt dessen die Anzahl der Schwingungen in 
der Zeiteinheit v zu benutzen; denn für die Farbe eines be- 
stimmten Licht- oder Wärmestrahls ist weniger seine Wellen- 
länge, welche sich beim Übergang des Strahles in ein anderes 
Medium ändert, als vielmehr seine Schwingungszahl charakte- 
ristisch, welche dem Strahl in allen Medien, wenigstens soweit 
sie ruhen, ungeändert erhalten bleibt. Wir bezeichnen also 
künftig eine bestimmte Farbe durch den entsprechenden Wert 
von V, und ein bestimmtes Farbenintervall durch die Grrenzen 
des Intervalls v und v', wobei v' y v sein möge. Die auf ein 
bestimmtes Farbenintervall entfallende Strahlung, dividiert durch 
die Größe des Intervalls v' — v, nennen wir die mittlere Strah- 
lung innerhalb des Farbenintervalls von v bis v'. Nehmen wir, 
bei festgehaltenem v, die Differenz v' — v hinreichend klein, 
gleich dv^ so wollen wir annehmen, daß sich der Betrag der 
mittleren Strahlung einem bestimmten, von der Größe des Inter- 
valls dv unabhängigen Grenzwert nähert, den wir kurz als die 
„Strahlung von der Schwingungszahl 2/" bezeichnen. Zu einer 
endlichen Strahlung gehört dann offenbar immer ein endliches, 
wenn auch unter Umständen sehr kleines, Intervall von Schwin- 
gungszahlen. 

Endlich haben wir noch auf den Polarisationszastand der 
emittierten Strahlung Rücksicht zu nehmen. Da wir das Medium 
als isotrop vorausgesetzt haben, so folgt, daß alle emittierten 
Strahlen unpolarisiert sind und daß daher jeder Strahl die 



Allgemeines 



doppelte Intensität besitzt wie eine seiner geradlinig polarisierten 
Komponenten, die man z. B. erhält, wenn man den Strahl durch 
ein NicoLsches Prisma hindurchschickt. 

§ 6. Alles Bisherige zusammengefaßt können wir die ge- 
samte in der Zeit dt vom Volumenelement dr in der Eichtung 
des Elementarkegels d Q im Schwingungsintervall von v bis 
V -\- dv emittierte Energie gleich setzen : 

dt'dT'dQ'dV'2ey. (1) 

Die endliche Größe «^ nennen wir den „Emissionskoeffizienten*^ 
des Mediums für die Schwingungszahl v. Er ist eine gewisse 
positive B^unktion von v und entspricht einem geradlinig polari- 
sierten Strahl von bestimmter Farbe und bestimmter Richtung. 
Für die gesamte Emission des Volumenelements dr erhält man 
hieraus durch Integration über alle Richtungen und über alle 
Schwingungszahlen, da 6^ von der Richtung unabhängig ist und da 
das Integral über alle Kegelöffnungen d Q. den Wert 4 ;r besitzt: 

CO 

dt ' dr ' %n\B^dv . 



nfs^dv. (2) 



§ 7. Der Emissionskoeffizient 6 hängt außer von der 
Schwingungszahl v noch von dem Zustand der in dem Volumen- 
element dr enthaltenen emittierenden Substanz ab, und zwar 
im allgemeinen in sehr verwickelter Weise, je nach den physi- 
kalisch-chemischen Vorgängen, welche sich in dem betreffenden 
Zeitelement in dem Räume abspielen. Doch gilt ganz allgemein 
der Erfahrungssatz, daß die Emission eines Körperelements nur 
abhängt von den Vorgängen innerhalb des Körperelements. 
(Theorie von Pkevost.) Ein Körper Ä von 100^ C. emittiert 
gegen einen ihm gegenüber befindlichen Körper B von 0^ C. 
genau dieselbe Wärmestrahlung, wie gegen einen gleichgroßen 
und gleichgelegenen Körper B' von 1000^ C, und wenn der 
Körper Ä von dem Körper B abgekühlt, von dem Körper B' 
aber erwärmt wird, so ist dies nur eine Folge des Umstandes, 
daß B schwächer, B' aber stärker emittiert als A. 

Wir wollen nun weiter für das Folgende überall die ver- 
einfachende Annahme einführen, daß die chemische Natur der 
emittierenden Substanz unveränderlich ist, und daß ihr physi- 
kalischer Zustand nur von einer einzigen Variabein abhängt: der 
absoluten Temperatur T. Dann ergibt sich mit Notwendigkeit, 



8 Grundtatsachen und Definitionen 

daß auch der Emissionskoeffizient e außer von der SchwinguDgs- 
zahl V und von der chemischen Natur des Mediums allein von 
der Temperatur T abhängig ist. Damit sind eine Reihe von 
Strahlungsvorgängen, die als Fluoreszenz, als Phosphoreszenz, 
als elektrisches oder chemisches Leuchten bezeichnet werden, 
und die von E. Wiedemann unter dem Namen „Lumineszenz- 
phänomene" zusammengefaßt worden sind, von der Betrachtung 
ausgeschlossen. Wir haben es hier vielmehr nur mit reiner 
„Temperaturstrahlung'' zu tun. Nach dem Prinzip der Erhaltung 
der Energie erfolgt bei der Temperaturstrahlung die Emission 
vollständig auf Kosten der Körperwärme und bedingt daher, 
wenn nicht anderweitig Energie zugeführt wird, eine Temperatur- 
erniedrigung der emittierenden Substanz, welche durch den Be- 
trag der emittierten Energie, sowie durch die Wärmekapazität 
der Substanz bestimmt ist. 

§ 8. Fortpflanzung. Die Fortpflanzung der emittierten 
Strahlung im Innern des als homogen, isotrop und ruhend an- 
genommenen Mediums erfolgt, da wir von Beugungserscheinungen 
ganz absehen (§ 2), geradlinig und nach allen Richtungen mit der 
nämlichen Geschwindigkeit; doch erleidet dabei im allgemeinen 
jeder Strahl während seiner Fortpflanzung eine Schwächung 
dadurch, daß beständig ein gewisser Teil seiner Energie aus 
seiner Richtung abgelenkt und nach allen Richtungen des Raumes 
zerstreut wird. Dieser Vorgang der „ Zerstreuung '', der also 
weder Erzeugung noch Vernichtung, sondern nur eine geänderte 
Verteilung der strahlenden Energie bedeutet, findet prinzipiell 
genommen in allen Medien statt, die sich vom absoluten Vakuum 
unterscheiden, auch in chemisch vollkommen reinen Substanzen,^ 
und wird durch den Umstand bedingt, daß die Substanz eines 
Mediums nicht im absoluten Sinne homogen ist, sondern in den 
kleinsten Räumen Unstetigkeiten besitzt, die durch ihre ato- 
mistische Struktur bedingt werden. Fremde eingelagerte kleine 
Partikel, wie Staubteilchen, befördern den Einfluß der Zer- 
streuung, ohne jedoch ihren Charakter im wesentlichen zu ändern. 
Denn auch solche, mit fremden Bestandteilen durchsetzten, so- 
genannten „trüben" Medien, können sehr wohl als optisch homogen 



* Vgl. z. B. Lobby de Bruyn und L. K. Wolff, Rec. des Trav. Chim. 
des Pays-Bas 23, p. 155, 1904. 



Allgemeines 



betrachtet werden,^ 'falls nur die Lineardimensionen der fremden 
Partikel, sowie die Abstände benachbarter Partikel, hinreichend 
klein sind gegen die Wellenlängen der betrachteten Strahlen. 
In optischer Beziehung besteht also zwischen chemisch reinen 
Substanzen und trüben Medien von der genannten Beschaffen- 
heit kein prinzipieller Unterschied. Optisch leer in absolutem 
Sinne ist nur das reine Vakuum. Daher kann man auch jede 
chemisch homogene Substanz als ein durch eingelagerte Moleküle 
getrübtes Vakuum bezeichnen. 

Ein typisches Beispiel für das Phänomen der Zerstreuung 
bietet das Verhalten des Sonnenlichts in der Atmosphäre. Wenn 
bei heiterem Himmel die Sonne im Zenit steht, erreicht nur 
etwa ^/g der direkten Sonnenstrahlung die Erdoberfläche; der 
Rest wird in der Atmosphäre aufgehalten, und zwar zum Teil 
absorbiert und in Luftwärme verwandelt, zum Teil aber zer- 
streut und in diffuses Himmelslicht verwandelt. Ob und inwie- 
weit hierbei nur die Luftmoleküle selber oder auch die in der 
Atmosphäre suspendierten Partikel eine Rolle spielen, ist noch 
nicht mit voller Sicherheit entschieden. 

Auf welchen physikalischen Vorgängen der Akt der Zer- 
streuung beruht: ob auf Reflexion, Beugung, Resonanz Wirkung 
an den Molekülen oder Partikeln, können wir hier ganz dahin- 
gestellt sein lassen. Wir bringen nur zum Ausdruck, daß ein 
jeder im Innern eines Mediums fortschreitender Strahl auf der 
sehr kleinen Strecke s seiner Bahn durch Zerstreuung um den 
Bruchteil 

ß.'S (3) 

seiner Intensität geschwächt wird, und nennen die positive, von 
der Strahlungsintensität unabhängige Größe ß^ den „Zerstreuungs- 
koeffizienten*' des Mediums. Da das Medium als isotrop an- 
genommen ist, so ist ßy auch unabhängig von der Richtung und 
von der Polarisation des Strahles; dagegen hängt ß^ außer von 
der physikalischen und chemischen Beschaffenheit des Mediums 
in beträchtlichem Maße von der Schwingungszahl ab, wie schon 
durch den Index v angedeutet ist. Für gewisse Werte von v 
kann ß^ so große Beträge annehmen, daß von einer geradlinigen 

^ Wollte man das Wort „homogen" nur in absolutem Sinne ge- 
brauchen, so dürfte man es auf keine einzige ponderable Substanz anwenden. 



10 Qrundtatsachen und Definitionen 

Fortpflanzung der Strahlung gar nicht mehr die Rede ist. Für 
andere Werte von v kann ß wieder so klein werden, daß die 
Zerstreuung gänzlich vernachlässigt werden kann. Wir werden 
der Allgemeinheit halber ß als mittelgroß annehmen. In den 
wichtigsten Fällen nimmt ß mit wachsendem v zu, und zwar 
ziemlich stark, d. h. die Zerstreuung ist für Strahlen von kürzerer 
Wellenlänge beträchtlich größer. ^ Daher auch die blaue Farbe 
des diffusen Himmelslichts. 

Die zerstreute Strahlungsenergie pflanzt sich von der Zer- 
streuungsstelle ebenso wie die emittierte Strahlung von der 
Emissionsstelle nach allen Seiten des Raumes, vorwärts, seit- 
wärts und rückwärts, fort, doch nicht nach allen Richtungen mit 
gleicher Intensität. Auch ist sie nicht unpolarisiert^ sondern es 
zeigen sich gewisse Vorzugsrichtungen, wobei natürlich die Rich- 
tung des ursprünglichen Strahles eine Rolle spielt. Doch 
brauchen wir diese Fragen hier nicht weiter zu verfolgen. 

§ 9. Während das Phänomen der Zerstreuung eine stetig 
wirkende Modifikation der fortschreitenden Strahlung im Innern 
des Mediums bedeutet, tritt eine plötzliche Änderung sowohF 
der Intensität als auch der Richtung eines Strahles ein, wenn 
er an die Grenze des Mediums gelangt und dort auf die Ober- 
fläche eines anderen Mediums trifft, dessen Substanz wir eben- 
falls als homogen und isotrop voraussetzen wollen. In diesem 
Falle wird im allgemeinen ein merklicher Teil des Strahles re- 
flektiert, der andere Teil durchgelassen. Reflexion und Brechung 
erfolgen entweder „regulär", indem ein einziger reflektierter und 
ein einziger gebrochener Strahl auftritt, gemäß dem einfachen 
Reflexionsgesetz und dem Snellius sehen Brechungsgesetz, oder 
sie erfolgen „diffus", indem die Strahlung von der Oberfläche 
sich nach verschiedenen Richtungen mit verschiedener Intensität 
in beide Medien hinein ausbreitet. Im ersten Falle nennen wir 
die Oberfläche des zweiten Mediums „glatt", im zweiten Falle 
„rauh". Von der diffusen Reflexion, die an einer rauhen Fläche 
eintritt, wohl zu unterscheiden ist die Reflexion eines Strahles an 
der glatten Oberfläche eines trüben Mediums. In beiden Fällen 
gelangt ein Teil des einfallenden Strahles als diffuse Strahlung 
in das erste Medium zurück. Aber im ersten Falle findet die 



Lord Rayleigh, Phil. Mag. 47, p. 379, 1899. 



Allgemeines 1 1 



Zerstreuung an der Oberfläche statt, im zweiten dagegen aus- 
schließlich im Innern des zweiten Mediums, in mehr oder weniger 
tiefen Schichten desselben. 

§ 10. Wenn eine glatte Fläche alle auf sie fallenden 
Strahlen vollständig reflektiert, wie das z. B. viele Metallober- 
flächen mit großer Annäherung tun, so nennen wir sie „spiegelnd". 
Wenn aber eine rauhe Fläche alle auf sie fallenden Strahlen 
vollständig und nach allen Eichtungen gleichmäßig reflektiert, 
so nennen wir sie „weiß''. Der entgegengesetzte Grenzfall, daß 
die Oberfläche eines Mediums alle auf sie fallenden Strahlen 
vollständig hindurchläßt, kommt bei glatten Flächen nicht vor, 
falls die beiden aneinander grenzenden Medien überhaupt optisch 
verschieden sind. Eine rauhe Fläche, welche die Eigenschaft 
besitzt, alle auffallenden Strahlen durchzulassen, keinen zu 
reflektieren, nennen wir „schwarz". 

Außer von schwarzen Flächen sprechen wir auch von 
schwarzen Körpern, und nennen im Anschluß an G. Kiech- 
HOFP^ einen Körper schwarz, wenn er die Eigenschaft besitzt, 
alle auf seine Oberfläche fallenden Strahlen ohne jede Reflexion 
in sich aufzunehmen und keinen derselben wieder herauszulassen. 
Damit ein Körper schwarz ist, müssen mithin drei verschiedene, 
voneinander ganz unabhängige Bedingungen erfüllt sein. Erstens 
muß der Körper eine schwarze Oberfläche besitzen, damit alle 
auffallenden Strahlen ohne Reflexion eindringen. Da die Eigen- 
schaften einer Oberfläche im allgemeinen durch beide an sie 
grenzenden Substanzen beeinflußt werden, so zeigt diese Be- 
dingung, daß die Eigenschaft eines Körpers, schwarz zu sein, 
nicht nur von seiner eigenen Natur abhängt, sondern auch von 
der Natur des angrenzenden Mediums. Ein Körper, welcher 
gegen Luft schwarz ist, braucht es gegen Glas nicht zu sein, 
und umgekehrt. Zweitens muß der schwarze Körper mindestens 
eine gewisse, je nach dem Grade seiner Absorptionsfähigkeit 
verschieden zu wählende Dicke besitzen, damit die von ihm 
aufgenommenen Strahlen nicht an irgend einer anderen Stelle 

^ G. Kirchhoff, Poqg. Ann. 109, p. 275, 1860. Gesammelte Ab- 
handlungen, J.A.Barth, Leipzig 1882, p. 573. Kirchhoff setzt bei der 
Definition eines schwarzen Körpers auch voraus, daß die Absorption der 
auffallenden Strahlen innerhalb einer Schicht von „unendlich kleiner Dicke" 
erfolgt, was wir hier nicht tun. 



12 Orundtatsachen und Definitionen 

der Oberfläche wieder austreten können. Je kräftiger der Körper 
absorbiert, um so geringer darf seine Dicke sein; Körper mit 
verschwindend kleinem Absorptionsvermögen müssen dagegen un- 
endlich dick angenommen werden, damit sie als schwarz gelten 
können. Endlich drittens muß der schwarze Körper einen 
verschwindend kleinen Zerstreuungskoeffizienten (§ 8) besitzen. 
Denn sonst würden die von ihm aufgenommenen Strahlen in 
seinem Innern teilweise zerstreut werden und wieder durch die 
Oberfläche hinausgelangen. ^ 

§ 11. Alle in den beiden vorigen Paragraphen genannten 
Unterscheidungen und Definitionen beziehen sich zunächst immer 
nur auf Strahlen einer bestimmten Farbe. Eine Fläche z. B., 
die für eine gewisse Strahlen gattung rauh ist, kann für eine 
andere Strahlengattung als glatt betrachtet werden. Im all- 
gemeinen verliert eine Fläche für Strahlen von wachsender 
Wellenlänge immer mehr von ihrer Rauhigkeit, wie leicht zu 
verstehen. Da nun glatte nichtreflektierende Flächen nicht 
existieren (§ 10), so zeigen alle herstellbaren nahezu schwarzen 
Flächen (Lampenruß, Platinmoor) für Strahlen hinreichend großer 
Wellenlänge merkliche Reflexion. 

§ 13. Absorption. Die Vernichtung eines Wärmestrahles 
erfolgt durch den Akt der „Absorption^'. Nach dem Prinzip 
der Erhaltung der Energie wird dabei die Energie der Wärme- 
strahlung in anderweitige Energie (Körperwärme, chemische 
Energie) verwandelt, und daraus folgt, daß nur substanzielle 
Partikel Wärmestrahlen absorbieren können, nicht aber Flächen- 
elemente, wenn man auch manchmal der Kürze halber von 
absorbierenden Oberflächen spricht. Da wir uns schon oben 
(§ 7) ausdrücklich auf solche Substanzen beschränkt haben, deren 
Zustand nur von der Temperatur abhängt, so kommt die 
absorbierte Strahlungsenergie hier lediglich der Körperwärme 
zugute, dient also zur Temperaturerhöhung der Substanz, ent- 
sprechend ihrer spezifischen Wärme und ihrer Dichtigkeit. 

Der Vorgang der Absorption äußert sich darin, daß jeder 
in dem betrachteten Medium fortschreitende Wärmestrahl auf 



^ Vgl. hierüber namentlich A. Schuster, Astrophysical Journal, 
21, p. 1, 1905, welcher besonders darauf hingewiesen hat, daß eine un- 
endlich dicke Gasschicht mit schwarzer Oberfläche noch keineswegs ein 
schwarzer Körper zu sein braucht. 



Allgemeines 13 



einer gewissen Strecke seiner Bahn um einen gewissen Bruchteil 
seiner Intensität geschwächt wird, und zwar ist für eine hin- 
reichend kleine Strecke s dieser Bruchteil proportional der Länge 
der Strecke; wir setzen ihn also gleich: 

ay ' s (4) 

und nennen a^ den „Absorptionskoeffizienten" des Mediums für 
einen Strahl von der Schwingungszahl v. Von der Intensität 
der Strahlung setzen wir den Absorptionskoeffizienten als un- 
abhängig voraus; dagegen wird ccy im allgemeinen, für inhomogene 
und anisotrope Medien, vom Orte, von der Richtung und außer- 
dem auch von der Art der Polarisation des Strahles abhängen 
so z. B. beim Thurmalin). Da wir aber hier nur homogene und 
isotrope Substanzen betrachten, so dürfen wir «^ für alle Stellen 
des Mediums und für alle Richtungen gleich groß und nur von 
der Schwingungszahl v, von der Temperatur T und von der 
chemischen Beschaffenheit des Mediums abhängig annehmen. 

Wenn a^ nur für einen beschränkten Spektralbezirk von 
Null verschieden ist, so besitzt das Medium „auswählende" 
(selektive) Absorption. Für diejenigen Farben, für welche cCy — 0, 
und auch der Zerstreuungskoeffizient ß^ = 0, ist das Medium 
„vollkommen durchsichtig" oder „diatherman". Die Eigenschaften 
der selektiven Absorption und der Diathermansie können sich 
aber für ein bestimmtes Medium mit der Temperatur stark 
ändern. Im allgemeinen nehmen wir cCy als von mittlerer Größe 
an, worin enthalten ist, daß die Absorption längs einer einzigen 
Wellenlänge sehr schwach ist. Denn die Strecke s enthält, ob- 
wohl klein, immer noch viele Wellenlängen (§ 2). 

§ 13. Die im vorhergehenden in bezug auf die Emission, 
die Fortpflanzung und die Absorption eines Wärmestrahles 
angestellten Überlegungen genügen, um, falls die nötigen 
Konstanten bekannt sind, bei gegebenen Anfangs- und Grenz- 
bedingungen den gesamten zeitlichen Verlauf eines Strahlungs- 
vorgangs, einschließlich der durch ihn bewirkten Temperatur- 
änderungen, in einem oder mehreren aneinander grenzenden 
Medien der betrachteten Art mathematisch zu verfolgen, — eine 
allerdings meist sehr verwickelte Aufgabe. Wir wollen aber, 
ehe wir zur Behandlung spezieller Fälle übergehen, die all- 
gemeinen Strahlungsvorgänge zunächst noch von einer anderen 



14 Orundtatsachen und Definitionen 



Seite betrachten, indem wir nämlich nicht mehr einen bestimmten 
Strahl, sondern eine bestimmte Stelle im Räume ins Auge fassen. 
§ 14. Denken wir uns irgendwo im Innern eines beliebig 
durchstrahlten Mediums ein unendlich kleines Flächenelement d (t 
herausgegriffen, so wird dieses Element in einem bestimmten 
Augenblick nach den verschiedensten Richtungen von Strahlen 
durchkreuzt werden, und die in dem Zeitelement dt durch das 
Element da in einer bestimmten Richtung hindurchgestrahlte 
Energie wird proportional dt und der sein, und außerdem pro- 
portional dem cos des Winkels i?-, welchen die Normale von d a 
mit der Richtung der Strahlung bildet. Denn wenn da hin- 
reichend klein genommen wird, so können wir uns vorstellen, 
obgleich das den tatsächlichen Verhältnissen nur angenähert 
entsprechen wird, daß alle Punkte von dam vollkommen gleicher 
Weise von der Strahlung betroffen werden. Dann muß die 
durch c?ö- in einer bestimmten Richtung hindurchgestrahlte Energie 
proportional der Größe der Öffnung sein, welche das Element d a 
jener Strahlung darbietet, und diese Öflnung wird gemessen 
durch die Größe d a • cos &. Wenn das Element d a gegen die 

Strahlung gedreht wird, so verschwindet für ^ = ^ die hin- 

durchgestrahlte Energie vollständig, wie leicht einzusehen. 

Von jedem Punkt des Flächenelementes da aus pflanzt sich 
nun im allgemeinen ein Bündel von Strahlen nach allen Richtungen 
des Raumes fort, und zwar nach verschiedenen Richtungen mit 
verschiedener Intensität, und alle diese Strahlenbündel sind 
bis auf kleine Abweichungen von höherer Ordnung identisch. 
Doch kommt einem einzelnen dieser Punktbündel niemals eine 
endliche Energie zu, da eine endliche Energie nur durch eine 
endliche Fläche gestrahlt wird. Dies gilt auch für den Durch- 
gang von Strahlen durch einen sogenannten Brennpunkt. Wenn 
z. B. Sonnenlicht durch eine Sammellinse in deren Brennebene 
konzentriert wird, so vereinigen sich die Sonnenstrahlen nicht 
etwa alle in einem einzigen Punkt, sondern jedes Bündel paralleler 
Strahlen liefert einen besonderen Brennpunkt, und alle diese 
Brennpunkte bilden zusammen eine Fläche, welche ein zwar 
kleines, aber doch endlich ausgedehntes Bild der Sonne dar- 
stellt. Eine endliche Energie geht -nur durch einen endlichen 
Teil dieser Fläche. 



Allgemeines 1 5 



§ 15. Betrachten wir nun für den allgemeinen Fall das 
Strahlenbündel, welches von einem Punkte des Flächenelementes da 
als Spitze nach allen Richtungen des Raumes, zu beiden Seiten 
von da, sich fortpflanzt. Die einer gewissen, durch den schon 
oben benutzten Winkel & (zwischen und ti) und durch das 
Azimut cp (zwischen und 2 n) bestimmten Richtung entsprechende 
Strahlungsintensität wird gemessen durch die Energie, welche 
sich innerhalb eines unendlich dünnen, durch die Werte der 
Winkel i^ und &-\-dd', cp und (p-\-d(p, begrenzten Kegels 
fortpflanzt. Die Öffnung dieses Kegels ist: 

dn = sim^'-d&'dcp. (5) 

Auf diese Weise erhalten wir für die Energie, welche in 
der Zeit d t durch das Flächenelement da in der Richtung des 
Kegels d Q hindurchgestrahlt wird, den Ausdruck : 

dt da cos»^' dn K= Ksin^ co^{h d& dcp da dt. (6) 

Die endliche Größe K nennen wir die „spezifische Intensität" 
oder auch die „Helligkeit", d ü den .,Offnungswinkel" des von 
einem Punkte des Elementes da in der Richtung (i^*, cp) aus- 
gehenden Strahlenbündels. K ist eine positive Funktion des 
Ortes, der Zeit und der beiden Winkel i9 und cp. Die spezi- 
fischen Strahlungsintensitäten nach verschiedenen Richtungen 
sind im allgemeinen gänzlich unabhängig voneinander. Setzt 
man z. B. in der Funktion K für & den Wert 7i — &, und für cp 
den Wert ti + cp, so erhält man die spezifische Strahlungs- 
intensität in der gerade entgegengesetzten Richtung, eine im 
allgemeinen von der vorigen ganz verschiedene Größe. 

Die Gesamtstrahlung durch das Flächenelement da nach 
einer Seite, etwa derjenigen, für welche der Winkel i^- ein spitzer 
ist, ergibt sich durch Integration über cp von bis 2 ;r, und 
über ü von bis ^: 

\ dcp\ dfh K ^iwih cos & da dt . 



Ist die Strahlung nach allen Richtungen gleichmäßig, also K 
konstant, so folgt hieraus für die Gesamtstrahlung durch Wo- 
nach einer Seite: 

71 K da dt. (7) 



16 Qrundtatsachen und Definitionen 



1 



§ 16. Wenn man von der Strahlung in einer bestimmten 
Kichtung (»9-, cp) spricht, so ist dabei doch immer zu bedenken, 
daß eine endliche Energiestrahlung stets nur innerhalb eines 
Kegels von endlicher Öffnung stattfindet. Es gibt keine end- 
liche Licht- und Wärmestrahlung, die sich in einer einzigen 
ganz bestimmten Richtung fortpflanzt, oder, was dasselbe ist: 
es gibt in der Natur kein absolut paralleles Licht, keine absolut 
ebenen Lichtwellen. Aus einem sogenannten parallelen Strahlen- 
bündel ist eine endliche Strahlungsenergie nur dann zu gewinnen, 
wenn die Strahlen oder die Wellennormalen des Bündels inner- 
halb eines endlichen, wenn auch unter Umständen sehr schmalen 
Kegels divergieren. 

§ 17. Die spezifische Intensität K der Energiestrahlung 
nach jeder Richtung zerfällt weiter in die Intensitäten der ein- 
zelnen, den verschiedenen Gebieten des Spektrums angehörigen 
Strahlen, die sich unabhängig voneinander fortpflanzen. Hierfür 
ist maßgebend die Strahlungsintensität innerhalb eines Inter- 
valls von Schwingungszahlen, etwa von v bis v'. Ist das Inter- 
vall v' — V hinreichend klein, gleich dv, so ist die Strahlungs- 
intensität innerhalb des Intervalls proportional dv^ die Strahlung 
heißt dann homogen oder monochromatisch. 

Endlich ist bei einem Strahl von bestimmter Richtung, 
Intensität und Farbe noch die Art der Polarisation charakte- 
ristisch. Zerlegt man einen in bestimmter Richtung fortschrei- 
tenden Strahl von bestimmter Schwingungszahl v und beliebigem 
Polarisationszustand in zwei geradlinig polarisierte Komponenten, 
deren Polarisationsebenen senkrecht aufeinander stehen, im 
übrigen aber beliebig sind, so ist die Summe der Intensitäten 
der beiden Komponenten stets gleich der Intensität des ganzen 
Strahles, unabhängig von der Orientierung des Ebenenpaares, 
und zwar kann die Größe der beiden Komponenten stets dar- 
gestellt werden durch zwei Ausdrücke von der Form: 

j ^^ cos2 G) + ^/ sin2 Q? 

^ ^ \ und ^y sin^ w + ^/ cos^ m, 

wobei (o das Azimut der Polarisationsebene einer Komponente 
bedeutet. Die Summe dieser beiden Ausdrücke, welche wir die 
„Komponenten der spezifischen Strahlungsintensität von der 
Schwingungszahl i/" nennen, ergibt in der Tat die Intensität 



Allgemeines 1 7 



des ganzen Strahls ^^ + ^'/ unabhängig von co. ^y und ^/ re- 
präsentieren zugleich den größten und den kleinsten Wert der 
Intensität, den eine Komponente überhaupt annehmen kann 

[für CO == und co = —V Daher nennen wir diese Werte die 

„H^uptwerte der Intensität" oder die „Hauptintensitäten", und 
die entsprechenden Polarisationsebenen die „Hauptpolarisations- 
ebenen" des Strahles. Beide sind natürlich im allgemeinen mit 
der Zeit veränderlich. Somit können wir allgemein setzen: 

CO 

K = Jdv{^,-i-^;), (9) 



wobei die positiven Größen ^y und ^y, die beiden Hauptwerte 
der spezifischen Strahlungsintensität (Helligkeit) von der Schwin- 
gungszahl V, außer von v noch vom Ort, von der Zeit und von 
den Winkeln & und cp abhängen. Durch Substitution in (6) 
erhält man hieraus für die Energie, welche in der Zeit dt durch 
das Flächenelement da in der Richtung des Elementarkegels d ß 
hindurchgestrahlt wird, den Ausdruck: 

dt da cos &dnfdv (^, + ^Z) (10) 



und für monochromatische geradlinig polarisierte Strahlung von 
der Helligkeit ^yi 

dt d(T cosl^- dQ ^y dv = dt da sini^-cosi^- dß- dcp ^ydv. (11) 

Für unpolarisierte Strahlen ist ^y = ^/ ; folglich : 

00 

K=2fdv^y (12) 



und die Energie eines monochromatischen Strahles von der 
Schwingungszahl v wird: 

2dt da cosi9- dQ ^ydv = 2dt da sind' cosi^^ d& dcp ^ydv. (13) 

Ist außerdem die Strahlung nach allen Richtungen gleich- 
mäßig, so ergibt sich für die Gesamtstrahlung durch da nach 
einer Seite aus (7) und (12): 

27t da dt f^ydv. (14) 


Planck, Wärmestrahlung. 2 



18 Qrundtatsaclien und Definitionen 



1 § 18. Da ^y in der Natur nicht unendlich groß werden 

kann, so ist ein endlicher Wert von K nur dann möglich, wenn 
^y in einem endlichen Intervall von Schwingungszahlen v von 
Null verschieden ist. Daher gibt es in der Natur keine in 
absolutem Sinne homogene oder monochromatische Licht- oder 
Wärmestrahlung. Eine endliche Strahlung umfaßt immer auch 
ein endliches, wenn auch unter Umständen sehr schmales Spektral- 
gebiet. Hierin liegt ein prinzipieller Unterschied gegenüber den 
entsprechenden Erscheinungen in der Akustik, wo eine endliche 
Schallintensität auf eine ganz bestimmte Schwingungszahl treffen 
kann. Auf diesen Unterschied gründet sich u. a., wie wir später 
sehen werden, der Umstand, daß der zweite Hauptsatz der 
Wärmetheorie nur für Licht- und Wärmestrahlen, nicht aber 
für Schallwellen Bedeutung hat. 

§ 19. Wie man aus der Gleichung (9) ersieht, ist die 
Grröße ^v, die Strahlungsintensität der Schwingungszahl v, von 
anderer Dimension als die Größe iT, die Strahlungsintensität des 
ganzen Spektrums. Ferner ist zu beachten, daß, wenn man die 
spektrale Zerlegung nicht nach Schwingungszahlen r, sondern 
nach Wellenlängen l vornimmt, die Strahlungsintensität E^ der 
der Schwingungszahl v entsprechenden Wellenlänge A nicht ein- 
fach dadurch erhalten wird, daß man in dem Ausdruck von ^^ 
V durch den entsprechenden Wert von l ersetzt, also: 

(15) v^j-, 

wenn q die Fortpflanzungsgeschwindigkeit bedeutet. Denn es ist 
nicht Ex gleich ^y, sondern es ist E^dX = ^^dv, wenn sich dX 
und dv auf dasselbe Spektralintervall beziehen. Nun ist, wenn 
dl und dv beide positiv genommen werden: 

j q ' dX 

dv = ;2 y - 

folglich durch Substitution: 

qK 

Hieraus geht u. a. hervor, daß in einem bestimmten Spek- 
trum die Maxima von Ex und von ^^ an verschiedenen Stellen 
des Spektrums liegen! 

§ 30. Wenn die Hauptintensitäten ^^ und ^/ aller mono- 
chromatischen Strahlen nach allen Richtungen in allen Punkten 



Allgemeines 1 9 



des Mediums gegeben sind, so ist damit der Strahlungszustand 
in allen Einzelheiten bestimmt, und es lassen sich sämtliche 
darauf bezügliche Fragen beantworten. Wir wollen dies noch an 
einigen speziellen Anwendungen zeigen. Fragen wir zunächst nach 
der Energiemenge, welche durch irgend ein Flächenelement da 
einem beliebigen anderen Flächenelement d g' zugestrahlt wird. 
Die Entfernung r der beiden P'lächenelemente sei groß gegen 
die Lineardimensionen jedes der Elemente, aber doch so klein, 
daß auf der Strecke r keine merkliche Absorption oder Zer- 
streuung der Strahlung stattfindet. Für diathermane Medien ist 
natürlich die letzte Bedingung gegenstandslos. 

Nun gehen durch irgend einen bestimmten Punkt von da 
Strahlen nach allen Punkten von da'. Diese Strahlen bilden 
einen Kegel, dessen Spitze \vl da liegt und dessen Öffnung 
gegeben ist durch: 

wobei v' die Normale von da' bedeutet und der Winkel {y\r) 
spitz zu nehmen ist. Dieser Wert von d Q. ist bis auf kleine 
Größen höherer Ordnung unabhängig von der speziellen Lage 
der Spitze des Kegels auf da. 

Bezeichnen wir weiter mit v die entsprechend gerichtete 
Normale von da^ so ergibt sich aus der Gleichung (6), da hier 
t7- = (i/j r) zu setzen ist, die gesuchte Strahlungsenergie : 

^ da'da''(^OB (y, r) - cos jy', r) ^ ^^ ^^. 

und für monochromatische geradlinig polarisierte Strahlung von 
der Schwingungszahl v nach Gleichung (11): 

Das Größenverhältnis der Flächenelemente da und da' zu- 
einander ist dabei ganz beliebig, sie können von gleicher oder 
auch von verschiedener Größenordnung genommen werden, wenn 
nur r groß ist gegen die Lineardimensionen jedes der beiden 
Elemente. Nimmt man da unendlich klein gegen da', so diver- 
gieren die Strahlen von da gegen da'; nimmt man aber da 
unendlich groß gegen da', so konvergieren sie von da gegen da'. 

§31. Da jeder Punkt von da die Spitze eines nach da' 
gehenden Strahlenkegels bildet, so besteht das ganze hier be- 



20 Grundtatsachen und Definitionen 



trachtete, durch die Flächen d(7 und do' bestimmte Strahlen- 
bündel aus zweifach unendlich vielen Punktbündeln oder aus 
vierfach unendlich vielen Strahlen, welche alle in gleicher Weise 
für die Energiestrahlung in Betracht kommen. Ebensogut kann 
man sich das Strahlenbündel auch zusammengesetzt denken aus den 
Kegeln, welche von allen Punkten des Elementes d a ausgehend 
in je einem Punkte von dcf' als Spitze konvergieren. Schneiden 
wir nun das ganze Strahlenbündel durch irgend eine Ebene in 
beliebiger Entfernung von den Elementen da und do'., sei es 
zwischen ihnen oder außerhalb, so werden die Querschnitte der 
einzelnen Punktbündel im allgemeinen nicht dieselben sein, 
auch nicht annähernd, sondern sie werden sich teilweise über- 
decken, teilweise aber auseinanderfallen, so daß man von einem 
bestimmten Querschnitt des ganzen Strahlenbündels im Sinne 
einer gleichförmigen Bestrahlung desselben gar nicht reden kann 
Nur wenn die Schnittebene mit da oder mit da' zusammen- 
fällt, hat das Strahlenbündel einen bestimmten Querschnitt. 
Diese beiden Flächen spielen also in ihm eine ausgezeichnete 
KoUe; wir wollen sie die beiden „Breimflächen" des Bündels 
nennen. 

In dem schon oben erwähnten speziellen Falle, daß eine 
der beiden Brennflächen unendlich klein ist gegen die andere, 
nimmt das ganze Strahlenbündel den Charakter eines Punkt- 
bündels an, insofern seine Gestalt nahezu die eines Kegels wird, 
der seine Spitze in der gegen die andere unendlich kleinen 
Brennfläche hat, und man kann dann auch in bestimmtem Sinne 
von einem Querschnitt des Bündels an irgend einer Stelle im 
Räume sprechen. Ein solches, einem Kegel ähnlich sehendes 
Strahlenbündel nennen wir ein Elementarbündel, und die un- 
endlich kleine Brennfläche die erste Brennfläche des Elementar- 
bündels. Die Strahlung erfolgt entweder konvergierend, auf die 
erste Brennfläche zu, oder divergierend, von der ersten Brenn- 
fläche fort. Alle in einem Medium fortschreitenden Strahlen- 
bündel lassen sich auffassen als zusammengesetzt aus solchen 
Elementarbündeln, und wir können daher unseren künftigen 
Betrachtungen stets lauter IClementarbündel zugrunde legen, 
was wegen ihrer einfacheren Beschaffenheit viel bequemer ist. 

Die Begrenzung eines Elementarbündels bei gegebener erster 
Brennfläche da kann, außer durch die zweite Brennfläche der', 



Ällg&meines 



21 



auch durch die Größe des ÖfFnungswinkels d Q festgelegt werden, 
unter welchem da' von da aus gesehen wird; während dagegen 
bei einem beliebigen Bündel, d. h. wenn die beiden Brennflächen 
von gleicher Größenordnung sind, die zweite Brennfläche nicht 
allgemein durch den Öffnungswinkel dQ ersetzt werden kann, 
ohne daß das Bündel seinen Charakter wesentlich ändert. Denn 
wenn statt da' die Größe und Richtung von dQ (konstant für 
alle Punkte von da) gegeben ist, so bilden die von da aus- 
gehenden Strahlen nicht mehr das vorige Bündel, sondern viel- 
mehr ein Elementarbündel, dessen erste Brennfläche d a ist und 
dessen zweite BrennÜäche im Unendlichen liegt. 

§ 33. Da die Energiestrahlung sich in dem Medium mit 
endlicher Geschwindigkeit q fortpflanzt, so befindet sich in einem 
endlichen Raumteile desselben ein endlicher Betrag von Energie ; 
wir sprechen daher von der „räumlichen Strahlungsdichte** als 
dem Verhältnis der gesamten in einem Volumenelement ent- 
haltenen Strahlungsenergie zu der Größe des Volumenelements. 
Berechnen wir nun die räumliche Strahlungsdichte u an irgend 
einer Stelle des Mediums. Wenn wir an der betreffenden Stelle 
ein unendlich kleines Volumen v von beliebiger Form betrachten, 
so haben wir alle Strahlen zu berücksichtigen, welche das 
Volumenelement v durchkreuzen. Zu diesem Zwecke legen wir 
um irgend einen Punkt des 
Volumenelements als Mittelpunkt 
eine Kugelfläche vom Radius r, der 
groß ist gegen die Lineardimensionen 
von V, aber doch so klein, daß 
auf der Strecke r keine merkliche 
Schwächung der Strahlung durch 
Absorption oder Zerstreuung statt- 
findet (Fig. 1). Jeder Strahl, der das 
Volumen v trifft, kommt von einem 
Punkte der Kugelfläche her. Wenn 
wir also zunächst die Strahlen ins 
Auge fassen, welche von den Punkten eines bestimmten unendlich 
kleinen Elements d a der Kugelfläche ausgehend das Volumen v 
treffen, so erhalten wir daraus durch Summation über alle 
Elemente der Kugelfläche sämtliche in Betracht kommenden 
Strahlen, und jeden nur einmal. 




Fig. 1. 



22 Grundtatsaehen und Definitionen 

Berechnen wir daher zunächst den Beitrag, welchen das 
Flächenelement d g durch seine gegen das Volumen v gerichtete 
Strahlung zu der in v enthaltenen Strahlungsenergie liefert. Wir 
nehmen die Lineardimensionen von da unendlich klein gegen 
die von v und betrachten den Strahlenkegel, der von einem in cio- 
gelegenen Punkt P ausgehend das Volumen v trifft. Dieser 
Kegel zerfällt in unendlich viele unendlich dünne Elementar- 
kegel, alle mit P als Spitze, deren jeder ein bestimmtes Stück 
von der Länge s aus dem Volumen v ausschneidet. Die Öffnung 

■e 

eines solchen Elementarkegels beträgt -~, wenn f den senk- 
rechten Querschnitt des Kegels in der Entfernung r von der 
Spitze bezeichnet. Nun braucht die Strahlung, um die Strecke s 
zurückzulegen, die Zeit: 

s 
r = — • 

Während dieser Zeit r gelangt nach der Gleichung (6), da 
d ß hier gleich \ und ß^ gleich Null zu setzen ist, die Energie- 
menge: 
(19) TdG^K^^'Kda 

innerhalb des betrachteten Elementarkegels in das Volumen v 
hinein und verteilt sich hier auf den von dem Elementarkegel 
ausgeschnittenen Raum, dessen Volumen fs beträgt. Summiert 
man über alle von dem Flächenelement dG ausgehenden Elementar- 
kegel, welche v treffen, so erhält man 

K du ^ri/- _ ^ d<T 

für die ganze in dem Volumen v befindliche strahlende Energie, 
soweit sie von der Strahlung durch das Flächenelement da her- 
rührt. Um die gesamte in v enthaltene Strahlungsenergie zu 
erhalten, hat man schließlich noch über alle Elemente da der 
Kugelffäche zu integrieren. Dies liefert, wenn man den Off'nungs- 

winkel ~ des Kegels, dessen Spitze in liegt, und der das 

Element d(7 aus der Kugelfläche ausschneidet, mit dß bezeichnet: 



/'^ 



Strafdung heim thermodynamisehen Oleichgewicht 23 



und als gesuchte räumliche Strahlungsdichte, durch Division 

u=- —' KdQ. (20) ftv-c/-^ 

Da r hier ganz fortgefallen ist, so kann man unter K ein- 
fach die Strahlungsintensität in dem Punkte selber verstehen. 
Bei der Integration ist zu beachten, daß K im allgemeinen von 
der Richtung {&, cp) abhängt. 

Für gleichmäßige Strahlung nach allen Richtungen ist K 
konstant, und man erhält: 

4:71 K /Q^ >. 

q 

§33, Wie von der räumlichen Dichte der Gesamtstrahlung z*, 
so spricht man auch von der räumlichen Dichte der Strahlung 
einer bestimmten Schwingungszahl Uy, indem man die spektrale 
Zerlegung vornimmt: 

CO 

u=fx\ydv. (22) 



Dann ergibt sich durch Kombination der Gleichungen (20) 
und (9): -7 

u, = - n.^, + ^/)rfß (23) , 

und hieraus für unpolarisierte und nach allen Richtungen gleich- 
mäßige Strahlung: 

u. = ---^. (24) 



Zweites Kapitel. Strahlung beim thermodynamisehen 
Gleichgewicht. Kirchhoffsches Gesetz. Schwarze Strahlung. 

§ 34. Wir wollen jetzt die im vorigen Kapitel aufgestellten 
Sätze auf den speziellen Fall des thermodynamisehen Gleich- 
gewichts anwenden und stellen daher an die Spitze der folgen- 
den Überlegungen die aus dem zweiten Hauptsatz der Thermo- 
dynamik fließende Folgerung: Ein System ruhender Körper von 
beliebiger Natur, Form und Lage, welches von einer festen, für 
Wärme undurchlässigen Hülle umschlossen ist, geht, bei be- 
liebig gewähltem Anfangszustand, im Laufe der Zeit in einen 



24 Grundtatsachen und Definitionen 

Dauerzustand über, bei welchem die Temperatur in allen Körpern 
des Systems die nämliche ist. Dies ist der thermodynamische 
,. ,, . y.: Gleichgewichtszustand, in welchem die Entropie des Systems 

/A>A^^Hr^^^ unter allen Werten, die sie vermöge der durch die Anfangs- 
'nn^^^ bedingungen gegebenen Gesamtenergie anzunehmen vermag, einen 
Maximalwert besitzt, von welchem aus daher keine weitere Ver- 
mehrung der Entropie mehr möglich ist. 

Es kann in gewissen Fällen vorkommen, daß unter den 
gegebenen Bedingungen die Entropie nicht ein einziges, sondern 
mehrere verschiedene Maxima annehmen kann, von denen dann 
eins das absolute ist, während die übrigen nur relative Be- 
deutung haben.^ In diesen Fällen stellt jeder Zustand, der 
einem Maximalwerte der Entropie entspricht, einen thermo- 
dynamischen Gleichgewichtszustand des Systems dar. Aber nur 
} derjenige unter ihnen, der dem absolut größten Wert der Entropie 
entspricht, bezeichnet das absolut stabile Gleichgewicht. Die 
übrigen sind alle in gewissem Sinne labil, insofern eine ge^_ 
eignete, wenn auch minimale^ Störung des Gleichgewichts eine 
dauernde Veränderung des Systems in Richtung nach dem 
absolut stabilen Gleichgewicht hin veranlassen kann. Ein Bei- 
spiel hierfür bietet ein in ein festes Gefäß eingeschlossener Dampf 
im Zustand der Übersättigung, oder irgend eine explosible Sub- 
stanz. Auch bei den Strahlungsvorgängen werden wir Beispiele 
solcher labilen Gleichgewichte antreffen (§ 52). 

§ 35. Wir setzen nun wieder, wie im vorigen Kapitel, 
homogene isotrope Medien voraus, deren Zustand nur von der 
Temperatur abhängt, und fragen nach den Gesetzen, denen die 
Strahlungsvorgänge in ihnen gehorchen müssen, wenn sie mit 
der im vorigen Paragraph angeführten Folgerung aus dem zweiten 
Hauptsatz der Thermodynamik im Einklang sein sollen. Das 
Mittel zur Beantwortung dieser Frage gibt uns die Untersuchung 
des thermodynamischen Gleichgewichtszustandes eines oder 
mehrerer solcher Medien, unter Benutzung der im vorigen 
Kapitel aufgestellten Begriffe und Sätze. 

Wir beginnen mit dem einfachsten Fall: einem einzigen 
Medium, welches nach allen Richtungen des Raumes sehr weit 



^ Vgl. z. B. M. Planck, Vorlesungen über Thermodynamik, Leipzig, 
Veit & Comp., 1905, § 165 und § 189 ff. 



Strahlung beim thermodynamischen Oleichgewicht 25 



ausgedehnt ist, und, wie alle hier betrachteten Systeme, von 
einer festen, für Wärme undurchlässigen Hülle umschlossen 
wird. Das Medium besitze, wie wir vorläufig annehmen wollen, 
einen endlichen Absorptionskoeffizienten, einen endlichen Emis- 
sionskoeffizienten und einen endlichen Zerstreuungskoeffizienten. 

Betrachten wir nun zunächst solche Stellen des Mediums, 
welche von der Oberfläche sehr weit entfernt liegen. Hier wird 
der Einfluß der Oberfläche jedenfalls verschwindend klein sein 
und wir werden wegen der Homogenität und Isotropie des 
Mediums schließen müssen, daß im thermodynamischen Gleich- 
gewichtszustand die Wärmestrahlung überall und nach allen 
Richtungen von gleicher Beschaffenheit ist, oder daß ^^, die 
spezifische Strahlungsintensität eines geradlinig polarisierten 
Strahles von der Schwingungszahl v (§ 17), unabhängig ist vom 
Azimut der Polarisation, von der Richtung des Strahles und 
vom Orte. Daher entspricht auch jedem von einem Flächen- 
element da ausgehenden, innerhalb eines Elementarkegels dQ 
divergierenden Strahlenbündel ein genau gleiches und entgegen- 
gesetzt gerichtetes innerhalb des nämlichen Elementarkegels 
gegen das Flächenelement hin konvergierendes Bündel. 

Nun erfordert die Bedingung des thermodynamischen Gleich- 
gewichts, daß die Temperatur überall gleich und unveränderlich 
ist, daß also in jedem Volumenelement des Mediums während 
einer beliebigen Zeit ebensoviel strahlende Wärme absorbiert 
wie emittiert wird. Denn da wegen der Gleichmäßigkeit der 
Temperatur keinerlei Wärmeleitung stattfindet, wird die Körper- 
wärme ledigHch durch die Wärmestrahlung beeinflußt. Das 
Phänomen der Zerstreuung spielt bei dieser Bedingung keine 
Rolle ; denn die Zerstreuung betrifi't nur eine Richtungsänderung 
der gestrahlten Energie, nicht aber Erzeugung oder Vernichtung 
derselben. Wir berechnen daher die in der Zeit d t von einem 
Volumenelement v emittierte und absorbierte Energie. 

Die emittierte Energie beträgt nach Gleichung (2): 



CO 

dt'V-Snley dv , 




wobei der Emissionskoeffizient e^ des Mediums außer von seiner 
chemischen Natur nur von der Schwingungszahl v und von der 
Temperatur abhängt. 



26 Orundtatsachen und Definitionen 



§ 36. Zur Berechnung der absorbierten Energie bedienen 
wir uns der nämlichen Betrachtung, wie die, welche durch die 
Fig. 1 (§ 22) illustriert wurde, und behalten auch die dortigen 
Bezeichnungen bei. Die von dem Volumenelement v in der 
Zeit dt absorbierte Energiestrahlung ergibt sich, wenn wir die 
Intensitäten aller das Element v durchkreuzenden Strahlen be- 
trachten und von jedem dieser Strahlen den in v absorbierten 
Bruchteil berücksichtigen. Nun besitzt der von dG ausgehende, 
aus dem Volumen v den Teil fs ausschneidende Elementar- 
strahlenkegel nach (19) die Intensität (Energiestrahlung in der 
Zeiteinheit) 

dG'^'K 
oder in spektraler Zerlegung nach (12): 

00 

2d(7'^'C^, dv. 



Die Intensität eines monochromatischen Strahles ist daher: 

Der Betrag der auf der Strecke 5 in der Zeit dt absorbierten 
Energie dieses Strahles ist daher nach (4): 

dt' (y,yS'2 d fjAi^y dv 

und die ganze aus dem Elementarstrahlenkegel absorbierte Energie 
beträgt, durch Integration über alle Schwingungszahlen: 

CO 

dt'2d(Ti^('a^^,dv. 



Summiert man diesen Ausdruck erstens über die verschiedenen 
Querschnitte f der von d g ausgehenden, das Volumen v treffenden 
Elementarstrahlenkegel, wobei zu beachten, daß "^fs^^v, und 
zweitens über alle Elemente da der Kugelfläche vom Radius r, wobei 

\—^ = 4 71, so erhält man als Ausdruck für die gesamte in der 
Zeit dt vom Volumenelement v absorbierte strahlende Energie: 

CD 

(25) dt'V'Snfay^.dv 



Strahlung heim thermodynamischen Oleichgewicht 27 

und durch Gleichsetzen mit der emittierten Energie: 

00 CO 

JSydV— icCy ^y dV . 



Diese Beziehung läßt sich noch spektral zerlegen. Denn 
die Gleichheit der emittierten und der absorbierten Energie 
beim thermodynamischen Gleichgewicht gilt nicht nur für die 
Gesamtstrahlung des ganzen Spektrums, sondern auch, wie sich 

leicht einsehen läßt, für jede monochromatische Strahlung. Da ~ -. — 

nämlich die Größen s^, Uy und ^^ unabhängig vom Orte sind, ! ;|^^n J^''^ 
so würde^ wenn für eine einzelne Farbe die absorbierte Energie \ '^u^fe^^^' 

der emittierten nicht gleich wäre, überall im ganzen Medium — r~T7~~"\ 

eine fortwährende Zunahme oder Abnahme der Energiestrahlung ' 
der betreffenden Farbe, auf Kosten anderer Farben, stattfinden, 
was der Bedingung widerspricht, daß ^^ für jede einzelne 
Schwingungszahl sich mit der Zeit nicht ändert. Es gilt also 
auch für jede Schwingungszahl die Beziehung: 

€, = ay% ' (26) 

oder: ^. = -, (27) 

d. h. im Innern eines im thermodynamischen Gleich- 
gewicht befindlichen Mediums ist die spezifische 
Strahlungsintensität einerbestimmtenSchwingungszahl 
gleich dem Quotienten aus dem Emissionskoeffizienten 
und dem Absorptionskoeffizienten des Mediums für diese 
Schwingungszahl. 

§ 27. Da «y und c/.y außer von der Natur des Mediums 
nur von der Temperatur und der Schwingungszahl v abhängen, 
so ist mithin auch die Strahlungsintensität einer bestimmten 
Farbe beim thermodynamischen Gleichgewicht durch die Natur 
des Mediums und durch die Temperatur vollständig bestimmt. 
Eine Ausnahme bildet jedoch der Fall, daß «^ = 0, d. h. daß 
das Medium die betreffende Farbe gar nicht absorbiert. Da % 
nicht unendlich groß werden kann, so folgt zunächst, daß dann 
auch 6y = 0, d. h, ein Medium emittiert keine Farbe, welche es 
nicht absorbiert. Ferner aber erkennt man, daß, wenn sowohl 
6 als auch a verschwinden, die Gleichung (26) durch jeden 
Wert von ^ befriedigt wird. In einem für eine bestimmte 



28 Grundtatsachen und Definitionen 



■7M>*. 



%h) ^'?] \ Farbe diathermanen Medium kann bei jeder beliebigen 



(k'xxßt^ '*^^***^ Strahlungsintensität der betreffenden Farbe thermo- 
'^^"^^\^Grn dynamisches Gleichgewicht bestehen. 
' '^ ^-..s^' ^ ^^^^ haben wir schon ein Beispiel für die oben (§ 24) be- 
^^'^t^'tlt^^^'^^ sprochenen Fälle, in denen bei gegebener Gesamtenergie eines 
""^^^ von einer festen adiabatischen Hülle umschlossenen Systems 

mehrere Gleichgewichtszustände möglich sind, eutsprechend 
mehreren relativen Maxima der Entropie. Denn da die Strahlungs- 
intensität der betreffenden Farbe im thermodynamischen Gleich- 
gewicht ganz unabhängig von der Temperatur des für sie 
diathermanen Mediums ist, so läßt sich die gegebene Gesamtenergie 
ganz beliebig auf die Strahlung jener Farbe und auf die Körper- 
wärme verteilen, ohne daß das thermodynamische Gleichgewicht 
unmöglich wird. Unter allen diesen Verteilungen gibt es aber 
eine ganz bestimmte, dem absoluten Maximum der Entropie 
entsprechende, welche das absolut stabile Gleichgewicht bezeichnet 
und welche, im Gegensatz zu den übrigen, in gewissem Sinne 
labilen Zuständen, die Eigenschaft besitzt, durch keinerlei 
l'^ minimale Störung eine merkliche Änderung zu erleiden. In der 
'- Tat werden wir unten (§ 48) sehen , daß unter den unendlich 

vielen Werten, deren der Quotient — fähig ist, wenn Zähler 

und Nenner beide verschwinden, ein ausgezeichneter, in be- 
stimmter Weise von der Natur des Mediums, der Schwingungs- 
zahl V und der Temperatur abhängiger Wert existiert, den man 
als die stabile Strahlungsintensität ^^ in dem für die Schwingungs- 
zahl V diathermanen Medium bei der betreffenden Temperatur zu 
bezeichnen hat. 

Was hier von einem für eine bestimmte Strahlenart dia- 
thermanen Medium gesagt ist, das gilt ebenso vom absoluten 
Vakuum, als einem für sämtliche Strahlenarten diathermanen 
Medium, nur daß man hier nicht mehr von der Körperwärme 
und von der Temperatur des Mediums sprechen kann. 

Fürs erste wollen wir aber von dem speziellen Falle der 
Diathermansie wieder ganz absehen und voraussetzen, daß alle 
betrachteten Medien einen endlichen Absorptionskoeffizienten 
besitzen. 

§ 38. Widmen wir nun auch noch dem Vorgang der Zer- 
streuung beim thermodynamischen Gleichgewicht eine kurze 



Strahlung heim thermodynamischen Gleichgewicht 29 



Betrachtung. Jeder Strahl, der das Volumenelement v trifft, 
erleidet dortselbst eine gewisse Schwächung seiner Intensität 
dadurch, daß ein gewisser Bruchteil seiner Energie nach anderen 
Richtungen abgelenkt wird. Der Betrag der gesamten in der 
Zeit d t vom Volumenelement v von allen Richtungen des Raumes 
durch Zerstreuung aufgefangenen Energiestrahlung berechnet 
sich auf Grund des Ausdruckes (3) genau in derselben Weise 
wie der der absorbierten Energiestrahlung in § 26, und wir er- 
halten daher für ihn, wie in (25): 



dt-V'S 



7ij'ß,^,dv. (28) 



Die Frage nach dem Verbleib dieser Energie läßt sich eben- 
falls leicht beantworten. Denn wegen der Isotropie des Mediums 
muß die vom Volumenelement v ausgehende Strahlung der 
dortselbst zerstreuten Energie (28), ebenso wie die Einstrahlung, 
nach allen Richtungen gleichmäßig erfolgen. Dies ergibt für 
denjenigen Teil der vom Element v durch Zerstreuung auf- 
gefangenen Energie, welcher durch den Öffnungswinkel d Q wieder 

ausgestrahlt wird, durch Multiplikation mit - — : 

4 n 

00 

2dtdvdpSß^^^dv 

und für monochromatische geradlinig polarisierte Strahlung: 

dt dvdü'ßy^ydv. (29) 

Dabei ist allerdings wohl zu beachten, daß diese Gleich- 
mäßigkeit der Ausstrahlung nach allen Richtungen nur für alle 
das Element v treffenden Strahlen zusammengenommen gilt; 
denn ein einzelner Strahl wird, auch in einem isotropen Medium, 
nach verschiedenen Richtungen mit verschiedener Intensität und 
Polarisation zerstreut (vgl. § 8 am Schluß). 

Auf diese Weise ergibt sich, daß beim thermodynamischen 
Strahlungsgleichgewicht im Innern des Mediums der Vorgang 
der Zerstreuung im ganzen überhaupt keinen Effekt hervor- 
bringt. Die von allen Seiten auf ein Volumenelement auf- 
fallende und dort wieder nach allen Seiten zerstreute Strahlung 
verhält sich genau ebenso, als ob sie ohne jede Modifikation 
durch das Volumenelement direkt hindurchgegangen wäre. Was 





30 Orundtatsachen und Definitionen 

ein Strahl durch Zerstreuung an Energie verliert, das gewinnt 

er wieder durch Zerstreuung anderer Strahlen. 

§ 39. Wir wollen nun die Strahlungsvorgänge im Innern 

eines sehr weit ausgedehnten, im thermodynamischen Gleicli- 
^^ gewicht befindlichen homogenen isotropen 
Mediums noch von einem anderen Standpunkt 
aus betrachten, indem wir nicht mehr ein 
bestimmtes Volumenelement, sondern ein be- 
stimmtes Strahlenbündel, und zwar ein Ele- 
mentarbündel (§ 21) ins Auge fassen. Dasselbe 
sei charakterisiert durch die unendlich kleine 
Brennfläche d a beim Punkte (Fig. 2), senk- 
recht zur Achse des Bündels, und durch den 
ÖffnuDgswinkel dQ., und die Strahlung erfolge 
gegen die Brennfläche hin in der Richtung 

des Pfeiles. Wir betrachten ausschließlich nur solche Strahlen, 

welche diesem Bündel angehören. 

Die in der Zeiteinheit durch da hindurchtretende Energie 

monochromatischer geradlinig polarisierter Strahlung ist nach (11), 

da hier dt =^\, und 0- = zu setzen ist: 

(30) da'd9^>^^dv 

und dieser nämliche Wert gilt auch für jeden anderen Quer- 
schnitt des Bündels. Denn erstens ist ^^ dv überall gleich groß 
(§ 25), und zweitens besitzt auch das Produkt aus irgend einem 
senkrechten Querschnitt des Bündels und dem Offnungswinkel, 
unter dem die Brennfläche d a von diesem Querschnitte aus ge- 
sehen wird, den konstanten W^ert da-d^, da die Große des 
fy^Xj^ Querschnittes sich mit der Entfernung von der Spitze des 
Bündels in demselben Maße vergrößert, wie die jenes Öfihungs- 
winkels sich verkleinert. Die Strahlung innerhalb des Bündels 
erfolgt also genau ebenso, als ob das Medium vollkommen dia- 
therman wäre. 

Andererseits modifiziert sich aber die Strahlung auf ihrer 
Bahn fortwährend durch die Einflüsse der Emission, der Absorption 
und der Zerstreuung. Wir wollen uns von dem Betrage dieser 
Wirkungen im einzelnen Rechenschaft geben. 

§ 30, Ein Raumelement des Strahlenbündels, welches be- 
grenzt ist durch zwei Querschnitte in den Entfernungen r^ 



Strahlung heim thermodynainischen Oleiehgeivicht 31 



(beliebig groß) und r^ + dr^ von der Spitze 0, und welches daber 
das Volumen dr^^'V^^dQ. besitzt, emittiert gegen die bei ge- 
legene Brennfläcbe dam der Zeiteinheit eine Energiemenge E 
monochromatischer geradlinig polarisierter Strahlung, welche 
man aus (1) erhält, wenn man darin setzt: 

dt — 1 , dr = dr^-r^^d Q, d Q = — ^ 

und den Zahlenfaktor 2 unterdrückt; also die Energie: 

E= dr^'dQ-d(7'e,dv. (31) 

Aber von dieser Energie E kommt nur ein Teilbetrag E^ r » 

in an, da auf jeder unendlich kleinen Wegstrecke s, welche 1 J^ J 

sie bis zurückzulegen hat, durch Absorption und Zerstreuung ^ ^^-jy ^ 5" o /,\Xj^\s. 
der Bruchteil {a^ -{- ßv)s verloren geht. Ist nämlich E^ derjenige (^ o-^.-^ U.^'WtW- 
Teil der Energie E, welcher in dem um die Strecke r(< r^) ^^jjL 0^ Jr-iT' 
von entfernten Querschnitt ankommt, so haben wir, für s — dr: iMp^ /zJrJy- 



oder: ^- = ^.K+/^.). 

Integriert: E^ = Ee^""- ^ ^-) ^' " "°^ , 

da für r — Tq E^ — E durch die Gleichung (31) gegeben ist. 

Hieraus folgt für r = die in ankommende, von dem 
Raumelement bei r^ emittierte Energie: 

E^ = ^'ß-K + M'-o = dr^'d^'dGB,e-^''-''^-y'dv. (32) 

Alle Raumelemente des Strahlenbündels zusammen liefern 
also durch ihre Emission die in do ankommende Energie: 

dQ'dcj'dvs,' jdr^-e-("--^^-'>''' = dn'd(7' ^ '" dv. (33) 



§ 31. Wäre gar keine Zerstreuung der Strahlung wirksam, 
so müßte die gesamte in dG ankommende Energie sich zusammen- 
setzen aus den von den einzelnen Raumelementen des Strahlen- 
bündels emittierten Energiebeträgen, unter Berücksichtigung der 
Verluste, die unterwegs durch Absorption eintreten, und in der 
Tat sind für ßy = die Ausdrücke (33) und (30) identisch, wie 
ein Vergleich mit (27) zeigt. Im allgemeinen ist aber (30) größer 



32 Orundtatsachen und Definitionen 



als (33), weil die in c^ö- ankommende Energie auch noch Strahlen 
enthält, welche gar nicht innerhalb des Strahlenbündels, sondern 
irgendwo anders emittiert, und später durch Zerstreuung in das 
betrachtete Strahlenbündel hineingeraten sind. In der Tat: die 
Eaumelemente des Strahlenbündels zerstreuen nicht nur die 
innerhalb des Bündels fortschreitende Strahlung nach außen, 
sondern sie sammeln auch Strahlen, die von außen kommen, in 
das Bündel hinein, und zwar ergibt sich die von dem Raum- 
element bei r^ auf diese Weise gesammelte Strahlung E', wenn 
man in dem Ausdruck (29) setzt: 

dt=^\, v^dr^'dQr^^ dn = -^, 

E'^dr^dQdd ß,^,dv. 

Diese Energie kommt zu der von dem Raumelement emit- 
tierten oben in (31) berechneten Energie E hinzu, so daß man 
für die gesamte in dem Raumelement bei r^ in das Strahlen- 
bündel neu eintretende Energie erhält: 

E + E' ^ dr^ dQ daie^ + ßy ^y)dv. 

Von dieser Energie kommt, analog (32), in der Betrag an : 

dr^d£2d(T{6, + ß,^,)dv'e~'''^''^'^^^'^ 

und alle Raumelemente des Strahlenbündels zusammen liefern 
durch Emission und Sammlung zerstreuter Strahlung unter Be- 
rücksichtigung der unterwegs durch Absorption und Zerstreuung 
eintretenden Verluste, die in da ankommende Energie: 

00 

dnd(7(e, + ß,^,)dv . fdr^^e-'^''--^^^^ = dQda- '""^ ^'f' dv, 



welche nun in der Tat genau gleich dem Ausdruck (30) ist, wie 
man durch Vergleichung mit (26) erkennt. 

§ 33. Die im vorhergehenden abgeleiteten Sätze über den 
Strahlungszustand beim thermodynamischen Gleichgewicht eines 
homogenen isotropen Mediums gelten zunächst nur für solche 
Stellen des Mediums, welche von der Oberfläche sehr weit ent- 
fernt liegen, weil nur für diese aus Symmetriegründen die Strahlung 
von vornherein als unabhängig vom Orte und von der Richtung 
angenommen werden darf. Indessen zeigt eine einfache Über- 



Strahlung heim thermodynamischen Oleichgewicht 33 



legung, daß der in (27) berechnete, nur von der Temperatur 
und von der Natur des Mediums abhängige Wert von ^y auch 
bis unmittelbar an die Oberfläche des Mediums den Betrag der 
Strahlungsintensität der betreffenden Schwingungszahl nach jeder 
beliebigen Eichtung angibt. Denn beim thermodynamischen 
Gleichgewicht muß jeder Strahl genau die nämliche Intensität 
besitzen wie der gerade entgegengesetzte Strahl^ weil sonst durch 
die Strahlung ein einseitiger Transport von Energie bedingt 
werden würde. Fassen wir also einen von der Oberfläche des 
Mediums herkommenden, in das Innere hinein gerichteten Strahl 
ins Auge, so muß derselbe die nämliche Intensität besitzen wie 
der gerade entgegengesetzte, aus dem Innern kommende Strahl, ('"^ ^ 
und daraus folgt ohne weiteres, daß der gesamte Strahlungs- 
zustand des Mediums an der Oberfläche der nämliche 
ist wie im Innern. 

§ 33. Während also die von einem Element der Oberfläche 
ausgehende, nach dem Innern des Mediums gerichtete Strahlung 
in jeder Beziehung gleich ist der von irgend einem gleichgroßen 
und gleichgerichteten im Innern gelegenen Flächenelement aus- 
gehenden Strahlung, so hat sie doch eine andere Vorgeschichte 
als diese, sie rührt nämlich, da die Oberfläche des Mediums 
als für Wärme undurchlässig vorausgesetzt ist, lediglich her von 
der Keflexion der aus dem Innern kommenden Strahlung an 
der Oberfläche. Im einzelnen kann dies in sehr verschiedener 
Weise geschehen, je nachdem die Oberfläche als glatt, also in 
diesem Falle als spiegelnd, oder als rauh, etwa als weiß (§ 10) 
vorausgesetzt ist. Im ersteren Falle entspricht jedem auf die 
Oberfläche auftreffenden Strahlenbündel ein ganz bestimmtes 
symmetrisch dazu gelegenes von der nämlichen Intensität, im 
zweiten Falle aber zersplittert sich jedes einzelne auftreffende 
Strahlenbündel in unendlich viele reflektierte Strahlenbündel von 
verschiedener Richtung, Intensität und Polarisation, doch immer 
so, daß die von allen Seiten mit gleicher Intensität ^^ auf ein 
Pberflächenelement auftreffenden Bündel in ihrer Gesamtheit 
wieder eine gleichmäßige von der Oberfläche in das Innere des 
Mediums gerichtete Strahlung von der nämlichen Helligkeit ^y 
liefern. 

§ 34. Nun bietet es nicht die geringste Schwierigkeit mehr, 
die im § 25 gemachte Voraussetzung aufzuheben, daß das 

Planck, Wärmestrahlung. 3 



34 Grundtatsachen und Definitionen 



betrachtete Medium nach allen Richtungen des Raumes sehr weit 
ausgedehnt ist. Denn wenn in unserem Medium der thermo- 
dynamische Gleichgewichtszustand allenthalben eingetreten ist, 
so wird nach den Ergebnissen des letzten Paragraphen das Gleich- 
gewicht in keiner Weise gestört, wenn man in dem Medium 
beliebig viele feste für Wärme undurchlässige, glatte oder rauhe, 
Flächen angebracht denkt. Hierdurch wird das ganze System 
in eine beliebig große Anzahl vollkommen abgeschlossener Einzel- 
systeme zerlegt, deren jedes so klein gewählt werden kann, als 
es die allgemeinen in § 2 ausgesprochenen Beschränkungen über- 
haupt gestatten. Daraus geht hervor, daß der in (27) gegebene 
Wert der spezifischen Strahlungsintensität ^^ auch für das 
thermodynamische Gleichgewicht einer in einem beliebig kleinen 
und beliebig geformten Räume eingeschlossenen Substanz Gültig- 
keit besitzt. 

§ 35. Von dem aus einer einzigen homogenen isotropen 
Substanz bestehenden System gehen wir jetzt über zu einem 
aus zwei verschiedenen aneinander grenzenden homogenen iso- 
tropen Substanzen bestehenden System, das wiederum von einer 
festen für Wärme undurchlässigen Hülle begrenzt ist, und be- 
trachten den Strahlungszustand beim thermodynamischen Gleich- 
gewicht, zunächst wieder unter der Voraussetzung, daß beide 
Medien räumlich sehr weit ausgedehnt sind. Da das Gleich- 
gewicht in Nichts gestört wird, wenn man die Trennungsfläche 
der beiden Substanzen sich einen Augenblick durch eine für 
Wärmestrahlung ganz undurchlässige Fläche ersetzt denkt, so 
gelten für eine jede der beiden Substanzen einzeln alle Sätze 
der letzten Paragraphen. Die spezifische Strahlungsintensität 
der Schwingungszahl i', nach einer beliebigen Ebene polarisiert, 
im Innern der ersten Substanz (der oberen in Fig. 3) sei ^y, die 
im Innern der zweiten Substanz ^^', wie wir überhaupt die auf 
die zweite Substanz bezüglichen Größen durch einen hinzu- 
gefügten Strich markieren wollen. Beide Größen ^^ und ^^' 
hängen gemäß Gleichung (27) außer von der Temperatur und 
der SchwiLgungszahl v nur von der Natur der beiden Substanzen 
ab, und zwar gelten diese Werte der Strahlungsintensität 
bis unmittelbar an die Grenzfläche der Substanzen, 
sind also ganz unabhängig von der Beschaffenheit dieser 
Fläche. 



Strahlung heim thermodynamischen Gleichgewicht 



35 



§ 36. Wir nehmen nun zunächst die Grenzfläche der 
beiden Medien als glatt (§ 9) an. Dann spaltet sich jeder aus 
dem ersten Medium kommende auf die Grenzfläche treffende 
Strahl in zwei Strahlen: den reflektierten und den durchgelassenen. 
Die Richtungen dieser beiden Strahlen variieren nach Maßgabe 
des Einfallswinkels und der Farbe des einfallenden Strahles, 
die Intensität außerdem nach Maßgabe seiner Polarisation. 
Bezeichnen wir mit q (Reflexionskoeffizient) den Betrag der 
reflektierten, und infolgedessen mit \ — Q den Betrag der durch- 
gelassenen Strahlungsenergie im Verhältnis zur auffallenden 
Energie, so ist q vom Einfallswinkel, von der Schwingungszahl 
und von der Polarisation des auffallenden Strahles abhängig. 
Entsprechendes gilt von q', dem Reflexionskoeftizienten für einen 
aus dem zweiten Medium kommenden auf die Grenzfläche 
treffenden Strahl. 

Nun ist die Energie der monochromatischen geradlinig 
polarisierten Strahlung von der Schwingungszahl v von einem 



Erstes Medüurt 




Grenzfläche 



Fig. 3. 

Element do der Grenzfläche aus innerhalb des Elementar- 
kegels dÜ. \\\. der Richtung nach dem ersten Medium (s. den 
gefiederten Pfeil oben links in Fig. 3) für die Zeit dt nach (11): 

dt da COS& dn ^^ dv, (34) 

wobei: dQ =^ smi)^ d& dg? , (35) 

Diese Energie wird geliefert durch die beiden Strahlen, welche 

3* 



36 Qrundtatsachen und Definitionen 

aus dem ersten bez. zweiten Medium kommend von dem Flächen- 
element dam entsprechender Richtung reflektiert bez. durch- 
gelassen werden (s. die ungefiederten Pfeile. Von dem Flächen- 
element d a ist nur ein Punkt gezeichnet.) Der erstere Strahl 
verläuft, gemäß dem Reflexionsgesetz, innerhalb des sym- 
metrisch gelegenen Elementarkegels dÜ., der zweite innerhalb 
des Elementarkegels: 

(36) d^' = sini^-' dd^' dcp' , 

wobei nach dem Brechungsgesetz: 

/orrx / j sin ^ q 

(3^) 'P=V und ^nr*'- = 7- 

Nehmen wir nun an, die Strahlung (34) sei entweder in 
der Einfallsebene oder senkrecht zur Einfallsebene polarisiert, 
so gilt das Entsprechende für die beiden Strahlungen, aus deren 
Energien sie sich zusammensetzt, und zwar liefert die aus dem 
ersten Medium kommende, von da reflektierte Strahlung den 
Beitrag: 

(38) Q'dt'da cos^-dQ ^^ dv 

und die aus dem zweiten Medium kommende, von da durch- 
gelassene Strahlung den Beitrag: 

(39) (1 - Q')-dt'dG GOSir-dQ' ^; dv. 

Die Größen dt, da, v und dv sind hier ohne Strich hin- 
geschrieben, weil sie in beiden Medien die nämlichen Werte 
besitzen. 

Addiert man die Ausdrücke (38) und (39) und setzt die 
Summe gleich dem Ausdruck (34), so ergibt sich: 

Q cos&'dQ^^ + (1 - ()')'Gos&' dQ' ^; = cos^-dn^^. 

Nun ist nach (37) 

co3t9- d& cos^' d&' 



q q 

und weiter durch Berücksichtigung von (35) und (36): 

dLi cosiT- = s ^— . 



Folglich ergibt sich: 



q" 



oder: |ll . _?! = i^e!. 



Strahlung heim thermodynamischen Gleichgewicht 37 

§ 37. In der letzten Gleichung ist die Größe auf der linken 
Seite unabhängig vom Einfallswinkel ß- und von der Art der 
Polarisation; folglich muß es auch die Größe auf der rechten 
Seite sein. Kennt man also den Wert dieser Größe für einen 
einzigen Einfallswinkel und eine bestimmte Art der Polarisation, 
so besitzt dieser Wert für alle Einfallswinkel und alle Polari- 
sationen Gültigkeit. Nun ist in dem speziellen Falle, daß die 
Strahlen rechtwinklig zur Einfallsebene polarisiert sind und unter 
dem Polarisationswinkel auf die Grenzfläche auffallen, q = 
und (>'= 0. Dann wird der Ausdruck rechts gleich 1; also ist 
er allgemein gleich 1, und wir haben stets: 

Q = Q' (40) 

und: ?2^, = ^'2^;. (41) 

§ 38. Die erste dieser beiden Beziehungen, welche besagt, 
daß der Reflexionskoeffizient der Grenzfläche nach beiden Seiten 
hin der nämliche ist, bildet den speziellen Ausdruck eines all- 
gemeinen zuerst von Helmholtz ^ ausgesprochenen Reziprozitäts- 
satzes, wonach der Intensitätsverlust, welchen ein Strahl von 
bestimmter Farbe und Polarisation auf seinem Wege durch 
irgend welche Medien infolge von Reflexion, Brechung, Absorption, 
Zerstreuung erleidet, genau gleich ist dem Intensitätsverlust, 
w^elchen ein Strahl von entsprechender Intensität, Farbe und 
Polarisation auf dem gerade entgegengesetzten Wege erleidet. 
Daraus folgt unmittelbar, daß die auf die Grenzfläche zweier 
Medien auffallende Strahlung stets nach beiden Seiten hin gleich 
gut hindurchgelassen bez. reflektiert wird, für jede Farbe, 
Richtung und Polarisation. 

§ 39. Die zweite Beziehung (41) bringt die in den beiden 
Substanzen bestehenden Strahlungsintensitäten miteinander in 
Zusammenhang, sie besagt nämlich, daß beim thermodynamischen 
Gleichgewicht die spezifischen Strahlungsintensitäten 
einer bestimmten Schwingungszahl in beiden Medien 

* H. V. Helmholtz, Handbuch der Physiologischen Optik. 1. Lieferung. 
Leipzig, Leop. Voss, 1856, p. 169. Vgl. auch Helmholtz' Vorlesungen 
über die Theorie der Wärme , herausgegeben von F. Eicharz , Leipzig, 
J. A. Barth, 1903, p. 161. Die dort für besondere Fälle gemachten Ein- 
schränkungen des Reziprozitätssatzes sind hier gegenstandslos, da es sich 
hier nur um Temperaturstrahlung (§ 7) handelt. 



38 Orundiatsaehen und Definitionen 

sich umgekehrt verhalten wie die Quadrate der Fort- 
pflanzungsgeschwindigkeiten oder direkt wie die Qua- 
drate der Brechungsexponenten.^ 

Substituiert man für ^^ seinen Wert aus (27), so kann 
man auch sagen: Die Größe: 



(42) q'^.=-q 



«- 



hängt nicht ab von der Natur der Substanz, ist also 
eine universelle Funktion der Temperatur T und der 
Schwingungszahl v. 

Der hohe Wert dieses Satzes beruht offenbar darauf, daß 
er eine Eigenschaft der Strahlung angibt, die für alle Körper 
in der Natur gleichmäßig gilt, und die daher nur an einem ein 
zigen ganz beliebig ausgewählten Körper bekannt zu sein braucht, 
um sogleich vollständig allgemein ausgesprochen werden zu 
können. Die hierdurch gebotene Möglichkeit werden wir später 
benutzen, um jene universelle Funktion wirklich zu berechnen, 
in § 161. 

§ 40. Nun fassen wir den weiteren Fall ins Auge, daß die 
Grenzfläche der beiden Medien rauh ist. Dieser Fall ist inso- 
fern viel allgemeiner als der vorher betrachtete, als hier die 
Energie eines von einem Element der Grenzfläche in das Innere 
des ersten Mediums hinein gerichteten Strahlenbündels nicht mehr 
von zwei bestimmten, sondern von beliebig vielen Strahlenbün- 
deln, die aus beiden Medien kommend die Grenzfläche treffen, 
geliefert wird. Es können hier im einzelnen sehr komplizierte 
Verhältnisse eintreten, je nach der Beschaffenheit der Grenz- 
fläche, die überdies von Element zu Element beliebig variieren 
kann. Immer bleiben dabei natürlich nach § 35 die Werte der 
spezifischen Strahlungsintensitäten ^^ und ^\' in beiden Medien 
nach allen Richtungen die nämlichen wie im Fall einer glatten 
Grenzfläche. Die Erfüllung dieser für das thermodynamische 
Gleichgewicht notwendigen Bedingung wird begreiflich durch 
den Helmholtz sehen Reziprozitätssatz, wonach bei der statio- 
nären Strahlung jedem Strahl, der auf die Grenzfläche trifft 
und von dieser diffus nach beiden Seiten derselben zerstreut 



* G. KiRCHHOFF, Gesammelte Abhandlungen, Leipzig, J. A. Barth, 
1882, p. 594. R. Clausius, Poqg. Ann. 121, p. 1, 1864. 



Strahlung heim thermodynamischen Oleichgewicht 39 

wird, an demselben Orte ein gleich intensiver gerade entgegen- 
gesetzt gerichteter entspricht, der durch den umgekehrten Vor- 
gang an derselben Stelle der Grenzfläche: die Sammlung difl'us 
auftrefifender Strahlung in eine bestimmte Kichtung, zustande 
kommt, ebenso wie dies im Innern jedes der beiden Medien der 
Fall ist. 

§ 41. Die erhaltenen Sätze wollen wir noch etwas weiter 
verallgemeinern. Zunächst kann, ebenso wie im § 34, die von 
uns gemachte Voraussetzung, daß die beiden Medien räumlich 
weit ausgedehnt sind, ohne weiteres aufgehoben werden, da man 
beliebig viele Trennungsflächen einführen kann, ohne daß das 
thermodynamische Gleichgewicht gestört wird. Dadurch sind wir 
dann auch in den Stand gesetzt, sogleich zu dem Falle beliebig 
vieler, beliebig großer und beliebig geformter Substanzen über- 
gehen zu können. Denn wenn ein System von beliebig vielen 
sich gegenseitig berührenden Substanzen sich im thermodynami- 
schen Gleichgewicht befindet, so wird das Gleichgewicht in keiner 
Weise gestört, wenn man eine oder mehrere der Berührungs- 
flächen zum Teil oder ganz als für Wärme undurchlässig voraus- 
setzt. Hierdurch können wir immer den Fall beliebig vieler 
Substanzen zurückführen auf den zweier in eine für Wärme 
undurchlässige Hülle eingeschlossener Substanzen, und daher 
den Satz ganz allgemein aussprechen, daß beim thermodyna- 
mischen Gleichgewicht eines beliebigen Systems die spezifische 
Strahlungsintensität ^^ in jeder einzelnen Substanz durch die 
universelle Funktion (42) bestimmt wird. 

§ 43. Wir betrachten nun ein in eine für Wärme undurch- 
lässige Hülle eingeschlossenes System von n nebeneinander ge- 
lagerten emittierenden und absorbierenden Körpern beliebiger 
Größe und Form im Zustand des thermodynamischen Gleich- 
gewichtes, und fassen wieder, wie in § 36, ein monochromatisches 
geradlinig polarisiertes Strahlenbündel ins Auge, welches von 
einem Element da der Grenzfläche zweier Medien innerhalb des 
Elementarkegels dQ in der Richtung nach dem ersten Medium 
fortschreitet (Fig. 3, s. den gefiederten Pfeil). Dann ist die von 
dem Bündel gelieferte Energie für die Zeiteinheit, wie in (34): 

d(T cos i9 'dn^^dv =^ I. (48) 

Diese Strahlungsenergie / setzt sich zusammen aus einem 



40 Grundtatsachen und Definitionen 

Teil, der mittels regulärer oder diffuser Eeflexion an der Grenz- 
fläche aus dem ersten Medium kommt, und aus einem anderen 
Teil, der durch die Grenzfläche hindurch aus dem zweiten 
Medium kommt. Wir wollen aber jetzt bei dieser Art Ein- 
teilung nicht stehen bleiben, sondern wollen die Einteilung 
darnach einrichten, in welchem der n Medien die einzelnen 
Teile der Strahlung I emittiert worden sind. Dieser Gesichts- 
punkt ist ein von dem vorigen wesentlich verschiedener. Denn 
die Strahlen, welche z. B. aus dem zweiten Medium durch die 
Grenzfläche hindurch in das betrachtete Bündel hineingelangen, 
brauchen keineswegs alle im zweiten Medium emittiert worden 
zu sein, sondern können unter Umständen einen langen, sehr 
komplizierten Weg durch verschiedene Medien zurückgelegt 
haben, in dessen Verlauf sie den Einflüssen der Brechung, 
Eeflexion, Zerstreuung und teilweisen Absorption beliebig oft 
unterworfen waren. Ebenso brauchen die Strahlen des Bündels I, 
welche aus dem ersten Medium kommend slu der reflektiert 
worden sind, durchaus nicht alle im ersten Medium emittiert 
worden zu sein. Es kann auch vorkommen, daß ein Strahl, der 
in einem Medium emittiert ist, auf seinem Wege durch andere 
Medien hindurch wieder in das ursprüngliche Medium zurück- 
gelangt und dort entweder absorbiert wird oder zum zweiten 
Male aus dem Medium austritt. 

Wir wollen nun, unter Berücksichtigung aller dieser Mög- 
lichkeiten, den Teil von /, der von Volumenelementen des ersten 
Mediums emittiert worden ist, ganz gleichgültig, welche Wege 
seine einzelnen Bestandteile eingeschlagen haben, mit I^, den, 
der von Volumenelementen des zweiten Mediums emittiert worden 
ist, mit /g bezeichnen usw. Dann muß sein: 

(44) I=I^ + I, + I,+ ...+I„, 

denn in irgend einem Körperelement muß jeder Bestandteil 
von / emittiert worden sein. 

§ 43. Um nun näheres über die Herkunft und die Bahnen 
der einzelnen Strahlen zu erfahren, aus denen sich die Strahlungen 
ij, /gj • • • 4 zusammensetzen, ist es am zweckmäßigsten, den 
umgekehrten Weg zu gehen und nach dem künftigen Schicksal 
desjenigen Strahlenbündels zu fragen, welches dem Bündel / 
gerade entgegengesetzt gerichtet ist, also vom ersten Medium 



Strahlung heim thermodynamischen Gleichgewicht 41 

kommend innerhalb des Kegels c?ß auf das Oberflächenelement c^ff 
des zweiten Mediums trifft. Denn da jeder optische Weg auch 
in umgekehrter Eichtung gangbar ist, so erhält man durch diese 
Betrachtung sämtliche Bahnen, auf denen Strahlen in das Bündel 1 
hineingelangen können, so kompliziert sie auch im übrigen sein 
mögen. Ist J die Intensität dieses umgekehrten, auf die Grenz- 
fläche zu gerichteten, ebenso polarisierten Bündels, so ist nach 
§40: 

J=I. (45) 

Die Strahlen des Bündels / werden an der Grenzfläche d(7 
teils reflektiert, teils durchgelassen, regulär oder diffus, hierauf 
in beiden Medien teils absorbiert, teils zerstreut, teils wiederum 
reflektiert oder in andere Medien durchgelassen usw., je nach 
der Konfiguration des Systems. Schließlich aber wird das ganze 
Bündel J, nachdem es sich in viele einzelne Strahlen verzweigt 
hat, in den ?^ Medien vollständig absorbiert werden. Bezeichnen 
wir denjenigen Teil von J, welcher schließlich im ersten Medium 
absorbiert wird, mit J^, denjenigen, welcher schließlich im zweiten 
Medium absorbiert wird, mit J^ usw., so ist mithin: 

Nun sind die Volumenelemente der n Medien_, in denen die 
Absorption der Strahlen des Bündels J stattfindet, genau die- 
selben, wie die, in welchen die Emission der Strahlen stattfindet, 
aus denen sich das oben zuerst betrachtete Bündel / zusammen- 
setzt. Denn nach dem Helmholtz sehen Reziprozitätssatz kann 
keine merkliche Strahlung aus dem Bündel / in ein Volumen- 
element dringen, aus w^elchem keine merkliche Strahlung in das 
Bündel 7 hineingelangt, und umgekehrt. 

Bedenkt man ferner, daß die Absorption eines jeden Volumen- 
elements nach (42) proportional ist seiner Emission, und daß nach 
dem Helmholtz sehen Reziprozitätssatz die Schwächung, welche 
die Energie eines Strahles auf irgend einem Wege erleidet, 
immer gleich ist derjenigen Schwächung, welche die Energie 
des Strahles auf dem umgekehrten Wege erleidet, so erhellt, 
daß die betrachteten Volumenelemente die Strahlen des Bündels J 
gerade in demselben Verhältnis absorbieren, wie sie durch ihre 
Emission zur Energie des entgegengesetzten Bündels / beitragen ; 
und da überdies die Summe / der von allen Volumenelementen 



42 Grundtatsachen und Definitionen 



durch Emission gelieferten Energien gleich ist der Summe J der 
von allen Elementen absorbierten Energien, so muß auch der von 
jedem einzelnen Element aus dem Bündel / absorbierte Energie- 
betrag gleich sein dem von demselben Element in das Bündel / 
emittierten Energiebetrag. Mit anderen Worten: Der Teil 
eines Strahlenbündels 1, welcher aus einem bestimmten 
Volumen irgend eines Mediums emittiert worden ist; 
ist gleich demjenigen Teile des entgegengesetzt ge- 
richteten Strahlenbündels /(= 1), welcher in demselben 
Volumen absorbiert wird. 

Es sind also nicht nur die Summen / und J einander 
gleich, sondern auch ihre Bestandteile: 

(46) /,=/,, /, = /,,... /„ = 4. 

§ 44. Die Größe I^ , d. h. die Intensität des vom zweiten 
Medium in das erste Medium emittierten Strahlenbündels, nennen 
wir nach G. Kirchhofe 1 das Emissionsvermögen^ des zweiten 
Mediums, während wir als Absorptionsvermögen A desselben 
Mediums das Verhältnis von J^ zu / bezeichnen, d. h. denjenigen 
Bruchteil des auf das zweite Medium fallenden Strahlenbündels, 
welcher in diesem Medium absorbiert wird. Also: 

(47) £=4(^/), ^1 = ^(^1). 

Die Größen E und A hängen ab von der Natur beider 
Medien und der Temperatur, von der Schwingungszahl v und 
von der Polarisationsrichtung der betrachteten Strahlung, ferner 
von der Beschaffenheit der Grenzfläche, von der Größe des 
Flächen Clements d g und des Öffnungswinkels d ß, endlich von 
der geometrischen Ausdehnung und der Form der gesamten 
Oberfläche beider Medien, sowie von der Natur und Form 
sämtlicher anderer im System vorhandener Körper. Denn wenn 
z. B. ein aus dem ersten in das zweite Medium eingedrungener 
Strahl von letzterem hindurchgelassen wird, kann er möglicher- 
weise irgendwo anders reflektiert werden, dadurch in das zweite 
Medium zurückgelangen und dort absorbiert werden. 

Bei diesen Festsetzungen gilt gemäß den Gleichungen (46), 
(45) und (43) der Kirchhofe sehe Satz: 



^ Gr. Kirchhopf, Gesammelte Abhandlungen, 1882, p. 574. 



Strahlung heim thermodynamischen Oleichgewicht 43 

4 = 1= rfffcosi^-.^i^.^, dv, (48) 

d. h. das Verhältnis des Emissionsvermögens zum 
Absorptionsvermögen eines Körpers ist unabhängig 
von der Beschaffenheit des Körpers. Denn dies Verhältnis 
ist gleich der Intensität des im ersten Medium fortschreitenden 
Strahlenbündels, welche nach der Gleichung (27) von dem zweiten 
Medium gar nicht abhängt. Von der Beschaffenheit des ersten 
Mediums ist aber der Wert jenes Verhältnisses abhängig, in- 
sofern als nach (42) nicht die Größe ^y, sondern die Größe q^ü^ 
eine universelle Funktion der Temperatur und der Schwingungs- 
zahl ist. G. KiECHHOPF hat den Beweis seines Satzes nur unter 
der Voraussetzung geführt, daß im ersten Medium weder 
Absorption noch Zerstreuung der Strahlung stattfindet. Das- 
selbe gilt von dem neueren sehr vereinfachten Beweise von 
E. Pringsheim.^ 

§ 45. Wenn speziell das zweite Medium ein schwarzer 
Körper ist (§ 10), so absorbiert es die ganze auffallende Strahlung. 
Daher ist dann J^ = J, J. = 1 und E = I, d.h. das Emissions- 
vermögen eines schwarzen Körpers ist von seiner 
Beschaffenheit unabhängig. Es ist größer als das 
Emissionsvermögen irgend eines anderen Körpers von 
derselben Temperatur, und direkt gleich der Intensität 
der Strahlung im angrenzenden Medium. 

§ 46. Wir fügen hier, ohne näheren Beweis, noch einen 
allgemeinen Eeziprozitätssatz an, der sich dem am Schluß des 
§ 43 ausgesprochenen eng anschließt, und der folgendermaßen 
lautet: Beim thermodynamischen Gleichgewicht be- 
liebiger emittierender und absorbierender Körper ist 
derjenige Teil der von einem Körper Ä emittierten 
Energie einer bestimmten Farbe, welcher von irgend 
einem anderen Körper B absorbiert wird, gleich dem- 
jenigen Teile der von B emittierten Energie derselben 
Farbe, welcher von ^ absorbiert wird. Bedenkt man, daß 
jeder emittierte Energiebetrag eine Verminderung der Körper- 
wärme, jeder absorbierte Energiebetrag eine Vermehrung der 

^ E. Pringsheim, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesell- 
schaft, 3, p. 81, 1901. 



44 Orundtatsachen und Definitionen 

Körperwärme bedingt, so erhellt daraus, daß beim thermo- 
dynamischen Grleicbge wicht je zwei beliebig herausgegriffene 
Körper (oder Körperelemente) vermittelst der Strahlung gegen- 
seitig gleichviel Körperwärme austauschen. Dabei ist natürlich 
wohl zu unterscheiden zwischen der emittierten Strahlung und 
der gesamten Strahlung, die von einem Körper zu einem anderen 
hingelangt. 

§ 47. Das für die Größe (42) gültige Gresetz läßt sich auch 
noch in einer anderen Form aussprechen, wenn man statt der 
spezifischen Strahlungsintensität ^^ die räumliche Dichte u^ der 
monochromatischen Strahlung aus (24) einführt. Man erhält 
dann den Satz, daß bei der Strahlung im thermodynamischen 
Gleichgewicht die Größe: 

(49) U, q^ 

eine für alle Substanzen identische Funktion der Temperatur T 
und der Schwingungszahl v ist.^ Eine anschaulichere Form ge- 
winnt dieser Satz noch, wenn man bedenkt, daß auch die Größe 

(50) v..dv£, 

eine universelle Funktion von T, v und dv ist, und daß das 
Produkt Uv dv nach (22) die räumliche Strahlungsdichte derjenigen 
Strahlung ist, deren Schwingungszahl zwischen v und v -{- dv 

liegt, während der Quotient — die Wellenlänge eines Strahles 

von der Schwingungszahl v in dem betrachteten Medium dar- 
stellt. Dann erhält der Satz folgende einfache Fassung: Beim 
thermodynamischen Gleichgewicht beliebiger Körper 
ist die in dem Kubus einer Wellenlänge enthaltene 
Energie der monochromatischen Strahlung für eine be- 
stimmte Schwingungszahl in allen Körpern die näm- 
liche. 

§ 48. Wir wollen schließlich noch auf den bisher unbe- 
rücksichtigt gebliebenen Fall der diathermanen Medien (§ 12) 
eingehen. Im § 27 sahen wir, daß in einem von einer adiaba- 
tischen Hülle umschlossenen Medium, welches für eine bestimmte 



^ Bei der Anwendung auf stark dispergierende Substanzen ist zu 
beachten, daß in diesem Satze die Identität der Größe q in (24) und der 
Größe q in (37) vorausgesetzt ist. 



Strahlung heim thermodynamischen Oleichgewicht 45 

Farbe diatherman ist, bei jeder beliebigen Strablungsintensität 
dieser Farbe tbermodynamiscbes Gleichgewicht bestehen kann, 
daß aber unter allen möglichen Strahlungsintensitäten eine be- 
stimmte, dem absoluten Maximum der Gesamtentropie des 
Systems entsprechende, existieren muß, welche das absolut 
stabile Strahlungsgleichgewicht bezeichnet. In der Tat nimmt 
in der Gleichung (27) die Strahlungsintensität ^y für cCy == und 

8y = den Wert — an, und kann daher aus dieser Gleichung 

nicht berechnet werden. Aber man sieht auch sogleich weiter, 
daß die nötige Ergänzung zu dieser Unbestimmtheit geliefert 
wird von der Gleichung (41), welche besagt, daß beim thermo- 
dynamischen Gleichgewicht das Produkt q^^y für alle Substanzen 
den nämlichen Wert besitzt. Daraus ergibt sich unmittelbar 
auch für jedes diathermane Medium ein bestimmter Wert von 
^y, der hierdurch vor allen anderen Werten ausgezeichnet ist. 
Die physikalische Bedeutung dieses Wertes erkennt man eben- 
falls unmittelbar aus der Betrachtung des Weges, auf dem jene 
Gleichung hergeleitet wurde: es ist diejenige Strahlungsintensität, 
welche in dem diathermanen Medium besteht, wenn es sich bei 
der Berührung mit einem beliebig absorbierenden und emit- 
tierenden Medium im thermodynamischen Gleichgewicht befindet. 
Auf das Volumen und die Form des zweiten Mediums kommt 
es dabei gar nicht an; insbesondere kann das Volumen beliebig 
klein genommen werden. Somit läßt sich folgender Satz aus- 
sprechen: Obwohl in einem diathermanen Medium von vorn- 
herein bei jeder beliebigen Strahlungsintensität tbermodyna- 
miscbes Gleichgewicht bestehen kann, so gibt es doch in 
jedem diathermanen Medium für eine bestimmte 
Schwingungszahl bei einer bestimmten Temperatur 
eine durch die universelle Funktion (42) bestimmte 
Strahlungsintensität, welche insofern die stabile zu 
nennen ist, als sie sich immer dann einstellt, wenn 
das Medium sich mit einer beliebigen emittierenden 
und absorbierenden Substanz im stationären Strah- 
lungsaustausch befindet. 

§ 49. Nach dem im § 45 ausgesprochenen Satze ist bei 
der stabilen Wärmestrahlung in einem diathermanen Medium 
die Intensität eines Strahlenbündels gleich dem Emissionsver- 



46 Grundtatsachen und Definitionen 

mögen E eines an das Medium grenzenden schwarzen Körpers. 
Hierauf beruht die Möglichkeit, das Emissionsvermögen eines 
schwarzen Körpers zu messen, da es doch absolut schwarze 
Körper in der Natur nicht gibt.^ Man stellt einen von stark 
emittierenden Wänden ^ begrenzten diathermanen Hohlraum her, 
und erhält die Wände auf einer bestimmten konstanten Tem- 
peratur T. Dann nimmt die Strahlung in dem Hohlraum zu- 
gleich mit dem Eintritt des thermodynamischen Gleichgewichts- 
zustandes für jede Schwingungszahl v die aus der universellen 
Funktion (42) durch die Fortpflanzungsgeschwindigkeit q des 
diathermanen Mediums bedingte Intensität an. Von jedem 
Flächenelement einer Wand geht dann eine Strahlung in den 
Hohlraum, die ebenso beschaffen ist, als ob die Wand ein 
schwarzer Körper von der Temperatur T wäre. Was den von 
den Wänden wirklich emittierten Strahlen im Vergleich mit der 
Emission eines schwarzen Körpers an Intensität noch fehlt, wird 
ersetzt durch solche Strahlen, die auf die Wand auffallen und 
dort zurückgeworfen werden. Ebenso wird jedes Flächenelement 
einer Wand von der nämlichen Strahlung getroffen. 

Bohrt man nun in eine der Wände ein Loch von der 
Größe da, welches so klein ist, daß dadurch die Intensität der 
auf das Loch zu gerichteten Strahlung nicht geändert wird, so 
dringt durch das Loch nach außen, wo sich das nämliche 
diathermane Medium befinden möge wie im Innern, eine Strahlung, 
die genau die nämlichen Eigenschaften besitzt, als 6h da die 
Oberfläche eines schwarzen Körpers wäre, und diese Strahlung 
kann für jede Farbe zugleich mit der Temperatur T gemessen 
werden. 

§ 50. Alle im vorstehenden für diathermane Medien ab- 
geleiteten Sätze gelten zunächst für eine bestimmte Schwingungs- 
zahl, wobei zu bedenken ist, daß eine Substanz für eine Farbe 
diatherman, für eine andere adiatherman sein kann. Daher ist 
im thermodynamischen Gleichgewichtszustand eines rings von 
absolut reflektierenden Wänden umschlossenen Mediums die 
Strahlung für alle Farben, für welche das Medium einen end- 
lichen Absorptionskoeffizienten besitzt, immer die der Temperatur 

1 W. Wien und 0. Lümmer, Wied. Ann. 56, p. 451, 1895. 
* Die Stärke der Emission beeinflußt nur die Zeit bis zur Herstellung 
der stationären Strahlung, nicht aber deren Charakter. 



Strahlung beim thermodynamischen Gleichgewicht 47 

des Mediums entsprechende stabile, durch die Emission eines 
schwarzen Körpers dargestellte und daher auch kurz als „schwarz'« 
bezeichnete^; dagegen ist die Strahlungsintensität für alle Farben, 
bezüglich derer das Medium diatherman ist, nur dann notwendig 
die stabile, schwarze, wenn das Medium sich mit eine absor- 
bierenden Substanz in stationärem Strahlungsaustausch befindet. 
Von Medien, die für alle Strahlenarten diatherman sind, 
existiert nur ein einziges: das absolute Vakuum, welches aller- 
dings in der Natur nur annähernd herzustellen ist. Doch be- 
sitzen auch die Gase, z. B. die atmosphärische Luft, bei nicht 
zu großer Dichtigkeit und für nicht zu kurze Wellen, mit großer, 
in den meisten Fällen praktisch vollkommen hinreichender An- 
näherung die optischen Eigenschaften des Vakuums. Insofern 
dies der Fall ist, kann die Fortpflanzungsgeschwindigeit q für 
alle Schwingungszahlen als die gleiche: 

c = 3-10i<^-^^ (51) 

sec ^ ' 

angenommen werden. 

§ 51. In einem von total reflektierenden Wänden um- 
schlossenen Vakuum kann daher von vornherein jeder beliebige 
Strahlungszustand stationär sein. Sobald man aber in das 
Vakuum eine beliebig kleine Menge einer ponderablen Substanz 
hineinbringt, so stellt sich mit der Zeit ein stationärer Strahlungs- 
zustand her, in welchem die Strahlung einer jeden Farbe, die 
von der Substanz in merklichem Betrage absorbiert wird, die 
der Temperatur der Substanz entsprechende, durch die uni- 
verselle Funktion (42) für ^ = c bestimmte Intensität ^^ besitzt, 
während die Strahlungsintensität der übrigen Farben unbestimmt 
bleibt. Ist die eingebrachte Substanz für keine Farbe diatherman, 
z. B. ein beliebig kleines Stückchen Kohle, so besteht beim 
stationären Strahlungszustand im ganzen Vakuum für alle Farben 
die der Temperatur der Substanz entsprechende Intensität ^^ 
der schwarzen Strahlung. Die Größe ^^ als Funktion von v be- 
trachtet ergibt die spektrale Verteilung der schwarzen Strahlung 
im Vakuum oder das sogenannte normale Energiespektrum, 
welches ausschließlich von der Temperatur abhängt. Im Normal- 
spektrum, als dem Spektrum der Emission eines schwarzen 



^ M. Thiesen, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesell- 
schaft, 2, p. 65, 1900. 



48 Orundtatsachen und Definitionen 



Körpers, ist die Strahlungsintensität einer jeden Farbe die größte, 
welche ein Körper bei der betreffenden Temperatur überhaupt 
emittieren kann. 

§ 53. Man kann also eine ganz beliebige Strahlung, die 
anfangs in dem betrachteten evakuierten Hohlräume mit total 
reflektierenden Wänden herrscht, durch Einbringung eines 
winzigen Kohlestäubchens in schwarze Strahlung verwandeln. 
Charakteristisch für diesen Vorgang ist der Umstand, daß die 
Körperwärme des Kohlestäubchens beliebig klein sein kann gegen 
die Strahlungsenergie, die in dem beliebig groß zu nehmenden 
Hohlräume vorhanden ist, und daß daher in diesem Falle nach dem 
Prinzip der Erhaltung der Energie die gesamte Strahlungsenergie 
auch bei der eintretenden Umwandlung wesentlich konstant bleibt, 
da die Änderungen der Körperwärme des Stäubchens selbst bei 
endlichen Temperaturänderungen desselben gar nicht in Betracht 
kommen. Das Kohlestäubchen spielt dann lediglich die Rolle 
einer auslösenden Wirkung, indem es den Anstoß dazu gibt, 
daß in der ursprünglich vorhandenen Strahlung die Intensitäten 
der verschieden gerichteten, verschieden polarisierten Strahlen- 
bündel der verschiedenen Schwingungszahlen sich auf gegen- 
seitige Kosten verändern, entsprechend dem Übergang des 
Systems aus einem minder stabilen in einen stabileren Strahlungs- 
zustand, oder aus einem Zustand kleinerer in einen Zustand 
größerer Entropie. Vom thermodynamischen Standpunkt aus 
ist dieser Vorgang ganz analog der Verwandlung, die in einem 
Quantum Knallgas durch einen minimalen Funken, oder die in 
einem Quantum übersättigten Dampfes durch ein winziges Flüssig- 
keitströpfchen hervorgerufen wird; denn auf die Zeit kommt es 
hier nicht an. In allen diesen Fällen ist die Größe der Störung 
eine minimale und steht in gar keiner Beziehung zu der Größe 
der an der Verwandlung beteiligten Energiemengen, so daß man 
bei der Anwendung der beiden Hauptsätze der Thermodynamik 
die Ursache der Gleichgewichtsstörung: das Kohlestäubchen, 
den Funken, das Tröpfchen gar nicht zu berücksichtigen braucht. 
Es handelt sich jedesmal um den Übergang eines Systems aus 
einem mehr oder minder labilen in einen stabileren Zustand, 
wobei nach dem ersten Hauptsatz die Energie des Systems 
konstant bleibt und nach dem zweiten Hauptsatz die Entropie 
des Systems zunimmt. 



Zweiter Abschnitt. 



Folgerungen aus der Elektrodynamik 
und der Thermodynamik. 



Erstes Kapitel. Maxwellscher Strahlungsdruck. 

§ 53. Während wir im vorigen Abschnitt für die Dar- 
stellung der Strahlungsvorgänge lediglich die aus der elementaren 
Optik bekannten, im § 2 zusammengefaßten Sätze benutzt haben, 
welche allen optischen Theorien gemeinsam sind, wollen wir von 
jetzt an die elektromagnetische Theorie des Lichtes benutzen, 
und beginnen damit, indem wir eine Folgerung ableiten, welche 
dieser Theorie eigentümlich ist. Wir wollen nämlich die Größe 
der mechanischen Kraft berechnen, welche ein im Vakuum fort- 
schreitender Licht- oder Wärmestrahl beim Auftreffen auf eine 
ruhend gedachte spiegelnde (§ 10) Fläche ausübt. 

Zu diesem Zwecke stellen wir zunächst die allgemeinen 
Maxwell sehen Gleichungen für einen elektromagnetischen Vor- 
gang im Vakuum auf. Sie lauten, wenn der Vektor @ die 
elektrische Feldstärke (Intensität des elektrischen Feldes) im 
elektrischen Maße, der Vektor § die magnetische Feldstärke 
im magnetischen Maße bedeutet, in der abgekürzten Bezeichnung 
der Vektorrechnung: 

d = c curl § § = — c curl (£ 1 

div@ = div§ = 0. j ^^^^ 

Wer mit den hier benutzten Symbolen nicht vertraut ist, kann 
sich deren Bedeutung leicht aus den folgenden Gleichungen (53) 
rückwärts ergänzen. 

§ 54. Um zu dem Fall einer ebenen beliebig gerichteten 
Welle überzugehen, setzen wir voraus, daß alle Zustandsgrößen 
außer von der Zeit t nur von einer einzigen der drei Koordi- 
naten x\ y\ % eines orthogonalen rechtshändigen Koordinaten- 

Planck, Wärmestrahlung. 4 



50 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 



Systems abhängen, z. 
Gleichungen (52) auf: 



(53) 



B. von x'. Dann reduzieren sich die 



dt 


= 







d%,, 






s«.. 


dt 


=^ 


"" 


"s. 


d^. 




e 


S^y 


dt 




dx' 


d%, 










d x' 



dt 

dt 

dx' 



= 






~Tx^ 
dx' 







Hieraus ergibt sich als allgemeinster Ausdruck für eine ebene, 
in der Richtung der positiven ic'- Achse im Vakuum fort- 
schreitende Welle: 



(54) 



WO f und g 



@x' = 



®. 



'(' 



@z' =g{t 






&.. 



'S). 










X 

c . 



laauiTn 
x<o. 



Leäer 

JC>0. 



>X 



zwei beliebige Funktionen eines einzigen Arguments 
vorstellen. 

§ 55. Nun treffe diese 
Welle auf eine spiegelnde 
Fläche, z. ß. auf die Ober- 
fläche eines absoluten Leiters, 
d. h. einer Substanz (Metall) 
von unendlich großer Leitungs- 
fähigkeit. In einem solchen 
Leiter bewirkt schon eine un- 
endlich kleine elektrische Feld- 
stärke einen endlichen Leitungs- 
strom; daher ist in ihr die 
elektrische Feldstärke (£ stets 
und überall unendlich klein. 
Der Einfachheit halber setzen 
wir außerdem den Leiter als 
unmagnetisierbar voraus, d. h. 
wir nehmen die magnetische Induktion 33 in ihm gleich der 
magnetischen Feldstärke § an, wie im Vakuum. 




Maxwellseher Strahlung sdruck 51 



Legen wir die ic-Achse des rechtshändigen Koordinaten- 
systems {x, 2/, x) in die nach dem Innern des Leiters gerichtete 
Normale seiner Oberfläche, so ist die jc- Achse das Einfallslot. 
Die (a;'/)-Ebene legen wir in die Einfallsebene und machen sie 
zur Bildebene (Fig. 4). Ferner können wir, ohne die Allgemein- 
heit zu beschränken, auch die «/-Achse in die Bildebene legen, 
so daß die ;;^-Achse mit der ;?; '-Achse zusammenfällt (in der 
Figur vom Bilde zum Beschauer gerichtet). Der beiden Koordi- 
natensystemen gemeinsame Anfangspunkt liege in der Ober- 
fläche. Ist endlich {^ der Einfallswinkel, so sind die gestrichenen 
und die ungestrichenen Koordinaten durch die folgenden Glei- 
chungen miteinander verknüpft: 

X = x' cos x3 — y' sin d x — x cos -d- -\- y^mi)- 

y = x' sin & + y' cos ü y' = — xmiß- -{- y cos & 

/v — % % := % . 

Ganz dieselben Transformationsgleichungen gelten, wenn man 
die Koordinaten durch die Komponenten der elektrischen oder 
der magnetischen Feldstärke in beiden Koordinatensystemen er- 
setzt. Dadurch erhalten wir für die Komponenten der elektrischen 
und der magnetischen Feldstärke der einfallenden Welle in bezug 
auf das ungestrichene Koordinatensystem nach (54) die Werte: 

@^ = _sini9-/' §^ = sini9'.^ 

@^=coS(9-./' §^ = -cosi9"^ (55) 

@. = ^ §. = A 

wo in die Funktionen f und g das Argument 

t-.'^-^t- ^eos^ + 2/BinJ: ^^gj 

eingesetzt zu denken ist. 

§ 56. In der Grenzfläche der beiden Medien ist a; = 0. Für 
diesen Wert müssen also nach den allgemeinen elektromagnetischen 
Grenzbedingungen die in die Grenzfläche fallenden Komponenten 
der Feldstärken, d. h. hier die vier Größen (S , S^, § , ^^ ^^^ beiden 
Seiten der Grenzfläche einander gleich sein. Nun ist im Leiter 
nach der oben gemachten Voraussetzung die elektrische Feld- 
stärke (£ unendlich klein; folglich müssen ß und ©^ auch im 
Vakuum für a; = verschwinden. Diese Bedingung kann nur 



52 Folgerwigen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 



erfüllt werden, wenn man im Vakuum außer der einfallenden 
noch eine reflektierte Welle annimmt, die sich der einfallenden 
Welle superponiert, und zwar in der Weise, daß die in die y- 
und ;?;- Richtung fallenden elektrischen Feldkomponenten der 
beiden Wellen sich in allen Punkten der Grenzfläche in jedem 
Augenblick gegenseitig gerade aufheben. Hierdurch und durch 
die Bedingung, daß die reflektierte Welle eine ebene ist und 
sich nach rückwärts in das Innere des Vakuums hinein fort- 
pflanzt, sind auch die übrigen vier Komponenten der reflektierten 
Welle vollkommen bestimmt; sie sind alle Funktionen des einen 

Arguments: 

,__, — X 0,0% d- + y sm d- 

(ög t ^ 

Die Ausführung der Rechnung ergibt als Komponenten des 
gesamten durch die Superposition der beiden Wellen im Vakuum 
gebildeten elektromagnetischen Feldes für die Punkte der Grenz- 
fläche [x = 0) die Ausdrücke: 

©^ = _ ^mO^'f- sini9-./' = - 2sin^-/ 
(£^ = COS «9- • /■ — cos ^9- • /■ = 

§^ = — GO^&'g — cos&*g = — 2cos&'g 

WO nach (56) und (57) in die Funktionen f und g überall das 

Argument: 

y ainx^ 

— 



(58) 



C 

eingesetzt zu denken ist. 

Mit Hilfe dieser Werte ergibt sich dann auch die elek- 
trische und die magnetische Feldstärke innerhalb des Leiters 
unmittelbar an der Grenzfläche x = 0: 

f ®. = ©. = 

(59) @^ = §^ = -2cos*-^ 

l ®^ = 4 = 2^ 

WO wieder in die Funktionen f und g das Argument t — ^^^ — 
eingesetzt zu denken ist. Denn die Komponenten von @ ver- 



Maxwellseker Strahlungsdruck 53 



schwinden im absoluten Leiter alle, und die Komponenten §^, 
§ , §^ sind an der Grenzfläche alle stetig: die letzten beiden 
als tangentielle Komponenten der Feldstärke, die erste als 
Normalkomponente der magnetischen Induktion ^ (§ 55), welche 
ebenfalls durch jede Grenzfläche stetig hindurchgeht. 

Dagegen ist, wde man sieht, die Normalkomponente der 
elektrischen Feldstärke: ®^ unstetig; ihr Sprung ergibt das 
Vorhandensein einer elektrischen Ladung an der Grenzfläche, 
deren Flächendichte nach Größe und Vorzeichen beträgt: 

-i- . 2 sin i9- . /■ = ^— sin ^- . /•. (60) 

Im Innern des Leiters, in endlicher Entfernung von der Grenz- 
fläche, d. h. für a: > 0, sind alle sechs Feldkomponenten un- 
endlich klein. Daher fallen die für x — endlichen Werte 
von § und §^ mit wachsendem x unendlich schnell gegen 
Null ab. 

§ 57, Durch das im Vakuum vorhandene elektromagnetische 
Feld wird eine gewisse mechanische Kraft auf die Leiter Substanz 
ausgeübt, deren Komponente normal zur Oberfläche wir berechnen 
wollen. Dieselbe ist teils elektrischen, teils magnetischen Ur- 
sprungs. Betrachten wir zunächst die erstere: gg- ^^ ^i® ^^ 
der Leiteroberfläche befindliche elektrische Ladung sich in 
einem elektrischen Felde befindet, so wirkt auf sie eine mecha- 
nische Kraft, die gleich ist dem Produkt der Ladung und der 
Feldstärke. Da aber die Feldstärke unstetig ist, nämlich auf der 
Seite des Vakuums: ~2sint9"/', auf der Seite des Leiters: 0, 
so erhält man die Größe der auf das Flächenelement da der 
Oberfläche des Leiters wirkenden mechanischen Kraft g^ nach 
einem bekannten Satz der Elektrostatik durch Multiplikation 
der in (60) berechneten elektrischen Ladung des Flächenelements 
mit dem arithmetischen Mittel der elektrischen Feldstärke auf 
beiden Seiteü, mithin: 

%^ = -^^~fd(T'(-sm&'f) = 2^f da. 

Diese Kraft wirkt in der Richtung nach dem Vakuum zu, äußert 
sich also als Zug. 

§ 58. Jetzt berechnen wir die mechanische Kraft magne- 
tischen Ursprungs: g . Im Innern der Leitersubstanz fließen 



54 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 



gewisse Leitungsströme, deren Intensität und Richtung durch 
den Vektor ^ der Strom dichte: 

(61) 3 = £-.curl§ 

bestimmt ist. Nun wirkt auf jedes von einem Leitungsstrom 
durchflossene ßaumelemeut dr des Leiters eine mechanische 
Kraft, die gegeben ist durch das Vektorprodukt: 

(«2) ■ 4^- [3,0]. 

Die Komponente dieser Kraft normal zur Leiteroberfiäche 
(x = 0) ist daher: 

und wenn man die Werte von g und 3, aus (61) einsetzt: 



d r 
~4^ 



^'^'^y dx dx I ^y\ dx 



dy 

Die in diesem Ausdruck vorkommenden Differentialquotienten 
nach y und nach z sind nach der Bemerkung am Schluß von 
§ 56 gegen die nach x verschwindend klein; daher reduziert er 
sich auf: 

_d^(^ d^, ^ d^A 
4n '[^y dx "^ ^^ dx I' 

Wir betrachten nun einen aus dem Leiter ausgeschnitteneu, auf 
seiner Oberfläche senkrechten Zylinder mit dem Querschnitt d a, 
der von a; = bis cc = oo reicht. Die gesamte auf diesen Zylinder 
in der Richtung der ic-Achse wirkende mechanische Kraft magne- 
tischen Ursprungs ist dann, d'd dr =^ da • dx: 

u 
und durch Integration, da für x = oo ^ verschwindet: 

oder nach den Gleichungen (59): 



d 



z n 



(cos^V'/r + z-^). 



Durch Addition von g^ und g^ ergibt sich die ganze auf 



Maxwellscher Strahlungsdruck 55 



den betrachteten Zylinder in der Kichtung der ic- Achse wirkende 
mechanische Kraft: 

%=^<iOi'»if + 9'), (63) 

welche sich als ein in normaler Richtung auf die Oberfläche 
des Leiters nach dem Innern desselben wirkender Druck äußert, 
der als ,,Maxwell scher Strahlungsdruck'^ bezeichnet wird. Die 
Existenz und auch die Größe des Strahlungsdruckes wurde zuerst 
von P. Lebedp:w^ durch subtile Messungen mit dem Kadiometer 
als mit der Theorie übereinstimmend gefunden. 

§ 59. Wir wollen den Strahlungsdruck in Beziehung bringen 
zu der auf das Oberflächenelement da des Leiters im Zeit- 
element c?^ auffallenden Strahlungsenergie 7 c?i{. Dieselbe beträgt 
nach dem Po ynting sehen Energieströmungsgesetz: 

Idt= {^^[(&,^^^-^^^)dG dt, 
also nach (55): 

I dt = -^ cos r9^ [p + g'-) d (7 dt. 

Durch Vergleich mit (63) ergibt sich: 

d = -~~- ' 1- (64) 

Hieraus berechnen wir endlich den gesamten Druck p 
d. h. diejenige mechanische Kraft, welche eine beliebige, aus 
dem Vakuum kommende, den Leiter treffende und von ihm 
vollständig reflektierte Strahlung auf die Oberflächeneinheit des 
Leiters in normaler Richtung ausübt. Die Energie, welche 
innerhalb des Elementarkegels: 

d^2= sin '& dß- dcp 

in der Zeit dt auf das Flächenelement da gestrahlt wird, be- 
trägt nach (6): 

I dt — K cos ß'd^ da dt , 

wo K die spezifische Intensität der Strahlung in der Richtung 
von (/ ü auf den Spiegel zu bedeutet. Dies in (64) eingesetzt 
und über d Q, integriert, ergibt für den Gesamtdruck aller auf 
die Oberfläche fallender und dort reflektierter Strahlenbündel: 



^ P. Lebedew, Drüdes Aim. 6, p. 133, 1901. Vgl. ferner: E. F. Nicuols 
uucIGr. F. Hüll, Dbudes Ann. 12, p. 225, 1903. 



56 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 



(65) p = ~ CxcoB^'d' dQ, 

wo die Integration in bezug auf (p von bis 2;r, in bezug 

auf ü von bis — auszuführen ist. 

Wenn speziell K von der Eichtung unabhängig ist, wie bei 
der schwarzen Strahlung, so erhält man für den Druck derselben : 

2n 7r/2 

4 n K 



p = I d(p' I d& cos^ i9 sin & 



Sc 



oder, wenn statt K die räumliche Strahlungsdichte u aus (21) 
eingeführt wird: 

(66) i. = |- 

Dieser Wert des Strahlungsdruckes gilt zunächst nur für 
den Fall, daß die Eeflexion der Strahlung an der Oberfläche 
eines absoluten unmagnetisierbaren Leiters erfolgt, und wir 
werden ihn daher bei den thermodjnamischen Deduktionen im 
nächsten Kapitel auch nur für diesen Fall benutzen. Indessen 
wird sich später (§ 66) zeigen^ daß die Gleichung (66) den Druck 
der gleichmäßigen Strahlung auch gegen eine ganz beliebige 
vollständig reflektierende Fläche ergibt, gleichgültig ob sie regel- 
mäßig oder diffus reflektiert. 

§ 60. Angesichts der überaus einfachen und nahen Be- 
ziehung zwischen dem Strahlungsdrucke und der Strahlungs- 
energie könnte man die Frage aufwerfen, ob diese Beziehung 
wirklich eine spezielle Folgerung der elektromagnetischen Theorie 
ist, oder ob sie sich vielleicht auch auf allgemeinere energetische 
bezw. thermodynamische Überlegungen gründen läßt. Um diese 
Frage zu entscheiden, wollen wir denjenigen Strahlungsdruck 
berechnen, der sich aus der Newton sehen Emanationstheorie 
des Lichtes ergeben würde, welche Theorie ja mit dem Energie- 
prinzip an sich wohl verträglich ist. Nach ihr ist die durch 
einen im Vakuum fortschreitenden Lichtstrahl einer Fläche zu- 
gestrahlte Energie gleich der lebendigen Kraft der auf die 
Fläche treffenden Lichtpartikel, die sich alle mit der konstanten 
Geschwindigkeit c bewegen. Die Abnahme der Intensität der 
Energiestrahlung mit der Entfernung erklärt sich dann einfach 



Maxwellscher Strahlung sdritck 57 



aus der Abnahme der räumlichen Verteilungsdichte der Licht- 
partikel. 

Nennen wir also n die Anzahl der in der Volumeneinheit 
enthaltenen Lichtpartikel, m die Masse einer Partikel, so ist 
zunächst für ein paralleles Lichtbündel die Zahl der in der 
Zeiteinheit auf das Element da einer spiegelnden Oberfläche 
unter dem Einfallswinkel \) trefi'enden Partikel: 

7i'C'C0s&'d(j (67) 

und ihre lebendige Kraft: 

I = nc cos {)• da ' -— — = w m cos & ' -— ' da . (68) 

Um andererseits den Normaldruck dieser Partikel auf die 
Oberfläche zu bestimmen, beachten wir, daß die Normal- 
komponente der Geschwindigkeit c • cos i^- einer jeden Partikel 
bei der Reflexion in die entgegengesetzte verwandelt wird. Daher 
wird die Normalkomponente der Bewegungsgröße (Impulskoordinate) 
einer jeden Partikel bei der Reflexion um — 2 ??? c • cos t?- ge- 
ändert. Dies ergibt für alle betrachteten Partikel nach (67) die 
Änderung der Bew^egungsgröße : 

- 2nm Gos^&'C^d(7. (69) 

Ist nun der spiegelnde Körper iu der Richtung der Spiegel- 
normalen frei beweglich, und es wirkt außer dem Stoße der 
Lichtpartikel keine Kraft auf ihn, so wird er durch die Stöße 
in Bewegung gesetzt werden, und zwar nach dem Gesetz von 
Wirkung und Gegenwirkung in der Weise, daß die Bewegungs- 
größe, welche er in einem gewissen Zeitintervall annimmt, gleich 
und entgegengesetzt ist der Änderung der Bewegungsgrößen 
aller in demselben Zeitintervall an ihm reflektierten Lichtpartikel. 
Läßt man aber noch eine besondere konstante Kraft von außen 
auf den Spiegel wirken, so kommt zu der Bewegungsgrößen- 
änderung noch die von dieser Kraft gelieferte Bewegungsgröße 
hinzu, welche gleich ist dem Impuls der Kraft, d. h. dem Produkt 
der Kraft mal dem betrachteten Zeitintervall. 

Daher wird der Spiegel dauernd in Ruhe bleiben, wenn 
die konstante von außen auf ihn wirkende Kraft so gewählt 
w^ird, daß ihr Impuls für irgend eine Zeit gerade gleich ist der 
in derselben Zeit eintretenden Änderung der Bewegungsgrößen 
der an dem Spiegel reflektierten Partikel, und daraus folgt, daß 



58 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 



die Kraft g selbst, welche die Partikel durch ihren Anprall 
gegen das Flächenelement da ausüben, gleich und entgegen- 
gesetzt ist der Änderung ihrer Bewegungsgröße für die Zeit- 
einheit, wie sie durch (69) ausgedrückt ist, nämlich: 

'S = 2nm cos^ ß -c^da 

und mit Benutzung von (68): 

^ 4 cos d" 



Ö = 



/. 



Vergleicht man diese Beziehung mit der Gleichung (64), in 
welcher alle Zeichen die nämliche physikalische Bedeutung 
haben, so erkennt man, daß der Newton sehe Strahlungsdruck 
doppelt so groß ist als der Maxwell sehe bei gleicher Energie- 
strahlung, und daraus folgt mit Notwendigkeit, daß die Größe 
des Maxwell sehen Strahlungsdruckes nicht aus allgemeinen 
energetischen Überlegungen abgeleitet werden kann, sondern 
daß sie der elektromagnetischen Theorie eigentümlich ist. Daher 
sind auch alle aus dem Maxwell sehen Strahl ungsdrucke ab- 
geleiteten Folgerungen als Folgerungen der elektromagnetischen 
Lichttheorie, und alle Bestätigungen derselben als Bestätigungen 
dieser speziellen Theorie anzusehen. 



Zweites Kapitel. Stefan-Boltzmannsches Strahiungsgesetz. 

§ 61. Wir denken uns im folgenden einen vollständig 
evakuierten Hohlzylinder mit einem absolut dicht schließenden, 
in vertikaler Richtung ohne Reibung frei beweglichen Kolben. 
Ein Teil der Wandung des Zylinders, etwa der feste Boden, 
bestehe aus einem schwarzen Körper, dessen Temperatur T 
willkürlich von außen reguliert werden kann. Die übrige Wand, 
auch die innere KolbenÜäche, sei vollständig reflektierend. Dann 
wird, bei ruhendem Kolben und bei konstant gehaltener Tem- 
peratur T, die Strahlung im Vakuum nach einiger Zeit den 
Charakter der schwarzen, nach allen Richtungen gleichmäßigen 
Strahlung (§ 50) annehmen, deren spezifische Intensität K und 
räumliche Dichte u nur von der Temperatur T abhängt, ins- 
besondere auch unabhängig ist von dem Volumen V des Vakuums, 
also von der Stellung des Kolbens. 



Stefan-Boltzmmmsches Slrahlungsgesetz. 59 

Bewegt man nun den Kolben nacli unten, so wird die 
Strahlung auf einen kleineren Raum zusammengedrängt, bewegt 
man ihn nach oben, so dehnt sie sich auf einen größeren Raum 
aus. Gleichzeitig kann man auch die Temperatur T des schwarzen 
Bodenkörpers durch Zuleitung oder Ableitung äußerer Wärme 
willkürlich verändern. Dadurch treten jedesmal gewisse Störungen 
des stationären Zustandes ein ; es läßt sich aber durch gehörige 
Verlangsamung der willkürlich vorgenommenen Änderungen von 
V und T immer erreichen, daß die Abweichungen von den Be- 
dingungen des stationären Zustandes beliebig klein bleiben, und 
daß man daher, ohne einen merklichen Fehler zu begehen, den 
Strahlungszustand im Vakuum immer als einen therm odynami- 
schen Gleichgewichtszustand betrachten kann, ganz ähnlich, wie es 
in der Thermodynamik ponderabler Substanzen bei sogenannten 
unendlich langsamen Prozessen geschieht, in denen die jeweiligen 
Abw^eichungen vom Gleichgewichtszustand zu vernachlässigen sind 
gegenüber den Änderungen, die das behandelte System schließ- 
lich durch den ganzen Prozeß erleidet. 

Hält man z. B, die Temperatur T des schwarzen Boden- 
körpers konstant, was durch geeignete Verbindung desselben 
mit einem Wärmereservoir von großer Kapazität geschehen kann, 
so wird bei Hebung des Kolbens der schwarze Körper so lange 
stärker emittieren als absorbieren, bis der neu geschaffene Raum 
mit der nämlichen Strahlungsdichte wie früher angefüllt ist. 
Umgekehrt wird bei Senkung des Kolbens der schwarze Körper 
die überschüssige Strahlung absorbieren, bis wieder die ursprüng- 
liche, der Temperatur T entsprechende Strahlung hergestellt ist. 
Ebenso wird bei Erhöhung der Temperatur T des schwarzen 
Körpers, die durch Wärmezuleitung aus einem um ein äußerst 
Geringes wärmeren Reservoir bewirkt werden kann^ die Strah- 
lungsdichte im Vakuum durch Mehremission entsprechend er- 
höht werden, usw. Zur größeren Beschleunigung der Herstellung 
des Strahlungsgleichgewichtes kann man den reflektierenden 
Mantel des Hohlzylinders als weiß (§ 10) voraussetzen, da durch 
die diffuse Reflexion die durch dieBewegungsrichtung des Kolbens 
etwa entstehenden Vorzugsrichtungen der Strahlung schneller 
ausgeglichen werden. Als reflektierende Kolbenfläche w^oUen 
wir aber bis auf weiteres einen vollkommenen Metallspiegel 
wählen, um des Maxwell sehen Strahlungsdruckes (66) auf den 



60 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynmnik 



Kolben sicher zu sein. Dann muß, um das mechanische Gleich- 
gewicht herzustellen, der Kolben mit einem Gewicht belastet 
werden, welches gleich ist dem Produkt des Strahlungsdruckes p 
und dem Querschnitt des Kolbens. Eine minimale Abweichung 
des belastenden Gewichtes von diesem Wert bringt dann eine 
entsprechend langsame Bewegung des Kolbens nach der einen 
oder der anderen Seite hervor. 

Da die Einwirkungen, welche bei den hier ins Auge ge- 
faßten Prozessen von außen auf das betrachtete System, den 
durchstrahlten Hohlraum, stattfinden, teils mechanischer Natur 
(Verschiebung des beschwerten Kolbens), teils thermischer Natur 
(Wärmeleitung vom und zum Reservoir) sind, so haben sie eine 
gewisse Ähnlichkeit mit den in der Thermodynamik gewöhnlich 
betrachteten Vorgängen, nur daß hier das zugrunde gelegte 
System kein materielles ist, wie z. B. ein Gas, sondern ein rein 
energetisches. Wenn aber die Hauptsätze der Thermodynamik 
in der Natur universelle Gültigkeit besitzen, was wir hier überall 
voraussetzen, so müssen sie auch für das hier betrachtete System 
Bedeutung haben. Es muß nämlich bei irgend einer in der 
Natur eintretenden Veränderung die Energie aller an der Ände- 
rung beteihgten Systeme konstant bleiben (erster Hauptsatz), 
und es muß ferner die Entropie aller an der Änderung beteiligten 
Systeme größer werden, im Grenzfall, bei reversibeln Prozessen, 
ungeändert bleiben (zweiter Hauptsatz). 

§ 63. Bilden wir zunächst die Gleichung des ersten Haupt- 
satzes für eine unendlich kleine Änderung des betrachteten 
Systems. Daß dem durchstrahlten Hohlraum eine bestimmte 
Energie zukommt, haben wir schon früher (§ 22) aus dem Um- 
stand abgeleitet, daß die Energiestrahlung sich mit endlicher 
Geschwindigkeit fortpflanzt. Wir bezeichnen sie mit U. Dann ist: 

(70) ?7=F-w, 

wobei u, die räumliche Strahlungsdichte, allein von der Tem- 
peratur T des schwarzen Bodenkörpers abhängt. 

Die bei einer Vergrößerung des Volumens V des Hohl- 
raumes Mm dV von dem System gegen die äußeren Druckkräfte 
(Gewicht des belasteten Kolbens) geleistete Arbeit ist j? • d F, 
wobei 2^ den Maxwell sehen Strahlungsdruck (66) darstellt. 
Dieser Betrag von mechanischer Energie wird also außerhalb 



Stefan- Boltzmannsches Strahlungsgesetz 61 

des Systems gewonnen, indem das Gewicht gehoben wird. Der 
Fehler, den wir dadurch begehen, daß wir hier den Strahlungs- 
druck auf eine ruhende Fläche benutzen, während doch die re- 
flektierende Fläche während der Volumenänderung sich bewegt, 
ist offenbar zu vernachlässigen, da man sich die Bewegung mit 
beliebig kleiner Geschwindigkeit erfolgend denken kann. 

Bezeichnet ferner Q die unendlich kleine Wärmemenge im 
mechanischen Maße, welche von dem schwarzen Bodenkörper 
an den durchstrahlten Raum durch Mehremission abgegeben 
wird, so verliert der Bodenkörper bez. das mit ihm in Verbin- 
dung stehende Wärmereservoir diese Wärme Q, wodurch seine 
innere Energie sich um diesen Betrag vermindert. Folglich ist 
nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, da die Summe 
der Strahlungsenergie und der Energie der materiellen Körper 
konstant bleibt: 

dU-\-pdV - Q = 0. (71) 

Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik kommt 
dem durchstrahlten Vakuum auch eine bestimmte Entropie 
zu. Denn wenn die Wärme Q von dem Wärmereservoir an 
den Hohlraum abgegeben wird, so verkleinert sich die Entropie 
des Reservoirs, und zwar verändert sie sich um: 

__^ 
T 

Infolgedessen muß, da in anderen Körpern keine Änderungen 
eintreten — denn der starre und absolut reflektierende Kolben 
mit dem darauf lastenden Gewicht ändert auch bei der Bewegung 
seinen inneren Zustand nicht — als Kompensation eine Entropie- 
änderung mindestens im Betrage -^ in der Natur eintreten, 

durch welche jene Verkleinerung kompensiert wird, und hierfür 
kann nur die Entropie des durchstrahlten Hohlraumes in An- 
spruch genommen werden, die wir mit S bezeichnen wollen. 

Da nun aber die hier beschriebenen Prozesse aus lauter 
Gleichgewichtszuständen bestehen, so sind sie vollkommen rever- 
sibel, es findet also keine Entropievermehrung statt, sondern 
wir haben: 

dS--^ = o, (72) 



62 Folgeningen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 



oder aus (71): 
-) (73) dS=^J^^. 

In dieser Gleichung stellen die Größen U, p, V und S ge- 
wisse Eigenschaften der Wärmestrahlung vor, die durch den 
augenblicklichen Zustand der Strahlung vollkommen bestimmt 
isind. -Folglich ist auch die Größe T eine gewisse Eigenschaft 
des Zustandes der Strahlung, d. h. die schwarze Strahlung 
im Hohlraum besitzt eine gewisse Temperatur jT, und 
diese Temperatur ist diejenige eines mit der Strahlung im 
Wärmegleichgewicht stehenden Körpers. 

§ 63. Wir wollen nun aus der letzten Gleichung diejenige 
Folgerung ableiten, die aus dem Umstand entspringt, daß der 
Zustand des betrachteten Systems und mithin auch seine 
Entropie durch die Werte zweier unabhängiger Variablen be- 
stimmt ist. Als erste Variable wählen wir V, als zweite können 
wir entweder T, oder ti, oder ]? wählen, von welchen drei Größen 
zwei durch die dritte allein bestimmt sind. Wir w^ollen die 
Temperatur T neben dem Volumen V als unabhängige Variable 
nehmen. Dann ergibt die Substitution von (66) und (70) in (73): 

(74) dS = ^~^dT+^dV, 

1^ (dS\ V du . (dS\ 

Daraus: (yyj^=y.^^, und (-^j^ 

Difi'erentiiert man die erste dieser Gleichungen partiell nach V, 
die zweite partiell nach T, so ergibt sich: 

d- S __ 1 du _ 4 du 4u 

j du 4u 

oder: Jr^^- 

Integriert: 

(75) u = a r^ 

und nach (21) als spezifische Intensität der schwarzen Strahlung; 

(76) 7f=-51-w=-^'-.r^ 

An 4 n 

Ferner als Druck der schwarzen Strahlung: 

(77) p = I T* 



4 u 



Stefan-Bolt^miannsches Strahlungsgesetz 63 



und als Gesamtenergie der Strahlung: 

?7=ar^-F. (78) 

Dieses Gesetz, welches ausspricht, daß die räumliche Dichte 
und die spezifische Intensität der schwarzen Strahlung der 
vierten Potenz der absoluten Temperatur proportional sind, ist 
zuerst von J. Steean^ auf Grund ziemlich roher Messungen 
aufgestellt, später von L. Boltzmann^ auf thermodynamischer 
Grundlage aus dem MAKWELLSchen Strahlungsdruck abgeleitet, 
und in neuerer Zeit durch exakte Messungen von 0. Lümmer 
und E. Pringsheim^ zwischen 100^ und 1300^ C, wobei die 
Temperatur durch das Gasthermometer definiert wurde, bestätigt 
worden. In Temperaturgebieten und bei Genauigkeitsanforde- 
ruugen, für weiche die Angaben der verschiedenen Gasthermo- 
meter nicht mehr genügend miteinander übereinstimmen oder 
überhaupt nicht zu ermitteln sind, kann das Steean-Boltzmänn- 
sche Strahlungsgesetz zu einer absoluten, von jeder Substanz 
unabhängigen Definition der Temperatur verwendet werden. 
§ 64. Der Zahlenwert der Konstanten a ergibt sich aus 
Messungen von F. Kurlbaum.* Hiernach ist, wenn man mit S^ die 
gesamte Energie bezeichnet, die von 1 qcm eines auf t^ C. be- 
findlichen schwarzen Körpers in 1 sec in die Luft ausgestrahlt 
wird : 

^loa - '^o = 0,0731 -^* = 7,31 • 10^ — ^^ 

lot) cm^ cm^sec 

Da nun die Strahlung in Luft nahezu identisch ist mit der 
Strahlung ins Vakuum, so kann nach (7) und (76) gesetzt werden; 

5^ = .t/i:=^.(273 + 0^ 
und wir erhalten: 

'5ioo-'5o = ^-(3T3*~273*). 

Also- a- ^•'?>31 -10^ -7 061 -10-15 e^-g m^^ 

Also. «- 3. 10^0.(373* -273^) - ^'^^^ ^^ cinV^ ' ^ ^ 

1 J. Stefan, Wien. Ber. 79, p. 391, 1879. 

2 L. BoLTZMANN, WiED. Anii. 22, p. 291, 1884. 

^ 0. LuMMER und E. Prinqsiieim, Wied. Ann. 63, p. 395, 1897. 
DiiUDEs Ann. 3, p. 159, 1900. 

* F. KuRLBAUM, WiED. Anu. 65, p. 759, 1898. 



64 Folgerungen av^s der Elektrodyna7nik und der Thermodynamik 



§ 65. Die Größe der Entropie S der schwarzen Strahlung 
ergibt sich durch Integration der Differentialgleichung (73) zu: 

(80) S=~aT^'V, 

wenn man eine belanglose additive Konstante fortläßt. Daraus die 
Entropie der Volumeneinheit, oder die räumliche Entropie - 
dichte der schwarzen Strahlung: 

(81) 4=s = |aT^ 

§ 66. Wir wollen uns zunächst noch von einer be- 
schränkenden Voraussetzung befreien, die wir machen mußten, 
um den von uns im vorigen Kapitel berechneten Wert des 
MAxwELLschen Strahlungsdruckes anwenden zu können. Bisher 
hatten wir den Zylinder als fest und nur den Kolben als frei 
beweglich angenommen. Jetzt wollen wir uns das ganze Gefäß, 
bestehend aus dem Zylinder, dem schwarzen Boden und dem 
Kolben, der in einer bestimmten Höhe über dem Boden an der 
Wandung des Zylinders befestigt sei, uns im Räume frei beweg- 
lich denken. Dann muß das Gefäß als Ganzes nach dem 
Prinzip von Wirkung und Gegenwirkung, da gar keine Kraft 
von außen darauf wirkt, dauernd in Ruhe bleiben. Dies würde 
übrigens auch dann gefolgert werden müssen, wenn man das 
Gegenwirkungsprinzip nicht von vornherein für diesen Fall als 
gültig anerkennen wollte. Denn würde das Gefäß in Bewegung 
geraten, so könnte die lebendige Kraft dieser Bewegung nur auf 
Kosten der Wärme des Bodenkörpers oder der Strahlungsenergie 
entstehen, da sonst keine andere disponible Energie in dem von 
einer starren Hülle umschlossenen System vorhanden ist, und 
es müßte zugleich mit der Energie auch die Entropie des 
Körpers oder der Strahlung abnehmen, was dem zweiten 
Hauptsatz der Thermodynamik widersprechen würde, da sonst 
keine Entropieänderungen in der Natur eintreten. Das Gefäß 
befindet sich also als Ganzes im mechanischen Gleichgewicht. 
Daraus folgt sogleich, daß der Druck der Strahlung auf den 
schwarzen Boden ebensogroß ist wie der entgegengesetzt ge- 
richtete auf den spiegelnden Kolben, daß also der Druck der 
schwarzen Strahlung auf einen schwarzen Körper von der näm- 
lichen Temperatur ebensogroß ist wie der auf einen spiegelnden 



Stefan- BoUztnannsohes Strahlungsgesetz 65 



Körper, und das nämliclie läßt sich leicht für eine beliebige 

vollständig reflektierende Fläche beweisen, die man am Boden 

des Zylinders befindlich annehmen kann, ohne den stationären 

Strahlungszustand irgendwie zu stören. Daher läßt sich bei 

allen vorhergehenden Betrachtungen das Spiegelmetall durch 

einen beliebigen vollständig reflektierenden oder auch durch . \ 

einen schwarzen Körper von der Temperatur des Bodenkörpers V rw c&AP- 

ersetzen, und man kann allgemein den Satz aussprechen, daß j^jjsjAß^^ . 

der Strahlungs druck nur von der Beschaffenheit der hin- und ^^ oJjj^t^^ ^ 

hergehenden Strahlung, nicht aber von der Beschaffenheit der ^^ ^jlß/<t(^ 

angrenzenden Substanz abhängt. -^ -^ 

§ 67. Wenn bei der Hebung des Kolbens die Temperatur 
des schwarzen Bodenkörpers durch entsprechende Wärmezufuhr 
aus dem Reservoir konstant erhalten wird, so verläuft der 
Vorgang isotherm. Dann bleibt mit der Temperatur T auch 
die Energiedichte u, der Strahlungsdruck p und die Entropie- 
dichte 5 konstant; infolgedessen wächst die Gesamtenergie der 
Strahlung von U — uV auf U' = u V\ die Entropie von S = sV 
auf S' == s V, und für die aus dem Wärmereservoir zugeführte 
Wärme erhält man durch Integration von (72) bei konstantem T: 

Q= T'[S' - S)= Ts'{r - V) 
oder nach (81) und (75): 

Q= |aT^(r~F) = |(C7'- CO. 

Wie man sieht, übersteigt die von außen zugeführte Wärme 
den Betrag der Vermehrung der Strahlungsenergie [IT — ü) um 
^[U' — TJ). Diese Mehrzufuhr von Wärme ist nötig, um die 
mit der Vergrößerung des Strahlungsvolumens verbundene äußere 
Arbeit zu leisten. 

§ 68. Betrachten wir auch einen reversibeln adiabati- 
schen Prozeß. Hierfür ist notwendig, daß nicht nur der Kolben 
und die Mantelfläche, sondern auch der Boden des Zylinders 
als vollständig reflektierend, etwa als weiß, vorausgesetzt wird. 
Dann ist bei der Kompression oder Ausdehnung des Strahlungs- 
raumes die von außen zugeführte Wärme = 0, und die Energie 
der Strahlung ändert sich nur um den Betrag der äußeren 
Arbeit p-dV. Um indessen sicher zu sein, daß bei einem end- 
lichen adiabatischen Prozeß die Strahlung in jedem Augenblick 

Planck, Wärmestrahlung. 5 



66 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 



vollständig stabil ist, d. h. den Charakter der schwarzen Strahlung 
besitzt, wollen wir innerhalb des evakuierten Hohlraumes noch ein 
minimales Kohlenstäubchen als vorhanden voraussetzen. Dieses 
Körperchen, von dem wir annehmen können, daß es für sämt- 
liche Strahlenarten ein von Null verschiedenes Absorptions- 
vermögen besitzt, dient nur dazu, um das stabile Gleichgewicht 
der Strahlung im Hohlraum herzustellen (§51 f.) und dadurch 
die Reversibilität des Vorgangs zu verbürgen, während seine 
Körperwärme gegen die Strahlungsenergie U so klein an- 
genommen werden kann, daß die zu einer merklichen Tempe- 
raturänderung des Stäubchens erforderliche Wärmezufuhr ganz 
zu vernachlässigen ist. Dann herrscht in jedem Augenblick des 
Prozesses absolut stabiles Strahlungsgleichgewicht, und die Strah- 
lung besitzt die Temperatur des in dem Hohlraum befindlichen 
Stäubchens. Volumen, Energie und Entropie des Stäubchens 
können ganz vernachlässigt werden. 

Bei der reversibeln adiabatischen Änderung bleibt nach (72) 
die Entropie S des Systems konstant. Es folgt also als Be- 
dingung dieses Prozesses aus (80): 

T^'V= const 

oder auch nach (77): p'V^ = const, 

d. h. bei adiabatischer Kompression steigt die Strahlungs- 
temperatur und der Strahlungsdruck in der angegebenen Weise. 
Die Energie der Strahlung U ändert sich dabei nach dem Gesetz: 

-^ = ^S = const , 

d. h. sie wächst proportional der absoluten Temperatur, trotzdem 
das Volumen kleiner wird. 

§ 69. Wir wollen schließlich noch als weiteres Beispiel 
einen einfachen Fall eines irreversibeln Prozesses betrachten. 
Der allseitig von absolut reflektierenden Wänden umschlossene 
Hohlraum vom Volumen V sei gleichmäßig von schwarzer Strahlung 
erfüllt. Nun stelle man, etwa durch Drehen eines Hahnes, an 
irgend einer Stelle der Wandung eine kleine Öffnung her, durch 
welche die Strahlung in einen anderen ebenfalls von absolut 
reflektierenden festen Wänden umgebenen vollständig evakuierten 
ßaum austreten kann. Daun wird die Strahlung zunächst einen 
sehr unregelmäßigen Charakter annehmen, nach einiger Zeit 



Stefan- Boltxmannsches Strahlungsgesetz 67 

aber wird sich ein stationärer Stralilungszustand einstellen, der 
beide kommunizierende Räume, deren Gesamtvolumen V sei, 
gleichmäßig erfüllt. Durch die Anwesenheit eines Kohlestäubchens 
sei dafür gesorgt, daß auch im neuen Zustand alle Bedingungen 
der schwarzen Strahlung erfüllt sind. Dann ist, weil weder 
äußere Arbeit noch äußere Wärmezufuhr stattgefunden hat, nach 
dem ersten Hauptsatz die Energie im neuen Zustand gleich der 
im alten: U' = U, und daher nach (78): 

T'^ V = T'^ V 






und dadurch der neue Gleichgewichtszustand vollkommen be- 
stimmt. Da V > F, so ist die Temperatur der Strahlung durch 
den Vorgang erniedrigt worden. 

Nach dem zweiten Hauptsatz muß die Entropie des Systems 
gewachsen sein, da sonst keine äußeren Veränderungen statt- 
gefunden haben; in der Tat ist nach (80): 



s' r' v 



S T^V 



|/^>i- m 



§ 70. Wenn der Vorgang der irreversibeln adiabatischen 
Ausdehnung der Strahlung vom Volumen V auf das Volumen V 
genau ebenso erfolgt, wie vorhin beschrieben, nur mit dem 
einzigen Unterschied, daß kein Kohlenstäubchen in das Vakuum 
eingelagert ist, so wird nach Herstellung des gleichmäßigen 
Strahlungszustandes, welche infolge der diffusen Reflexion an den 
Wänden des Hohlraums nach gehöriger Zeit eintreten wird, 
im neuen Volumen V die Strahlung nicht mehr den Charakter 
der schwarzen Strahlung haben, also auch keine bestimmte |! ^^ l 
Temperatur besitzen. Wohl aber besitzt auch dann die Strahlung^ ' 
wie überhaupt jedes in einem bestimmten Zustand befindliche 
physikalische System, eine bestimmte Entropie, die nach dem 
zweiten Hauptsatz größer ist als die anfängliche S, aber nicht 
so groß als die oben in (82) ausgedrückte S\ Ihre Berechnung 
kann erst auf Grund späterer Sätze erfolgen (vgl. §103). Bringt 
man dann nachträglich in das Vakuum ein Kohle stäubchen, so 
stellt sich durch einen zweiten irreversibeln Prozeß das absolut 
stabile Strahlungsgleichgewicht her, indem die Strahlung bei 



68 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 

konstanter Gesamtenergie die normale Energie Verteilung der 
schwarzen Strahlung annimmt, und die Entropie steigt dabei 
auf den durch (82) gegebenen Maximalwert S'. 



Drittes Kapitel. Wiensches Verschiebungsgesetz. 

§ 71. Wenn durch das Stefan -Boltzmann sehe Gesetz 
die Abhängigkeit der räumlichen Dichte u und der spezifischen 
Intensität K der schwarzen Strahlung von der Temperatur be- 
stimmt ist, so ist dadurch für die Kenntnis der auf eine be- 
stimmte Schwingungszahl v bezogenen räumlichen Strahlungs- 
dichte Uy, und der spezitischen Strahlungsintensität ^^ der 
monochromatischen Strahlung, welche miteinander durch die 
Gleichung (24), und mit u und K durch die Gleichungen (22) 
und (12) verknüpft sind, noch verhältnismäßig wenig gewonnen, 
und es bleibt als ein Hauptproblem der Theorie der Wärme- 
strahlung die Aufgabe bestehen, die Größen u^ und ^^ für die 
schwarze Strahlung im Vakuum, und dadurch nach (42) auch 
in jedem beliebigen Medium, als Funktionen von v und T zu 
bestimmen, oder mit anderen Worten: die Verteilung der Energie 
im Normalspektrum für jede beliebige Temperatur anzugeben. 
Ein wesentlicher Schritt zur Lösung dieser Aufgabe ist in dem 
von W. Wien aufgestellten sogenannten „Verschiebungsgesetz" ^ 
enthalten, dessen Bedeutung darin besteht, daß es die Funk- 
tionen \Xy und ^y der beiden Argumente v und T auf eine Funktion 
eines einzigen Arguments zurückführt. 

Den Ausgangspunkt des Wien sehen Verschiebungsgesetzes 
bildet folgender Satz. Wenn die in einem vollständig evakuierten 
Hohlraum mit absolut reflektierenden Wänden enthaltene schwarze 
Strahlung adiabatisch und unendUch langsam komprimiert oder 
dilatiert wird, wie im § 68 beschrieben wurde, so behält die 
Strahlung, auch ohne daß ein Kohlestäubchen sich im 
Vakuum befindet, stets den Charakter der schwarzen 



* W. Wien, Sitzungsber. d. Akad. d. Wissensch. Berlin vom 9. Febr. 
1893, p. 55. WiED. Ann. 52, p. 132, 1894. Vgl. ferner u. a.: M. Thiesen, 
Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 2, p. 65, 1900. 
H. A. LoRENTz, Akad. d. Wissensch. Amsterdam, 18. Mai 1901, p. 607. 
M. Abraham, Drüdes Ann. 14, p. 236, 1904. 



Wiensches Verschiebungsgesetx 69 



Strahl ang bei. Der Prozeß verläuft also auch im absoluten 
Vakuum genau so wie im § 68 berechnet wurde, und die dort 
als Vorsichtsmaßregel angewandte Einführung des Kohlestäubchens 
zeigt sich als überflüssig, allerdings nur in diesem speziellen 
Falle, nicht etwa auch in dem § 70 beschriebenen Falle. 

Die Richtigkeit des ausgesprochenen Satzes ergibt sich aus 
folgendem. Man komprimiere den anfänglich mit schwarzer 
Strahlung erfüllten vollständig evakuierten Hohlzylinder adia- 
batisch und unendlich langsam auf einen endlichen Bruchteil 
seines ursprünglichen Volumens. Wäre nun, nach Vollendung 
der Kompression, die Strahlung nicht mehr schwarz, so bestände 
kein stabiles therm odynamisches Gleichgewicht der Strahlung 
(§ 51). Dann könnte man durch Einbringung eines Kohle- 
stäubchens, dem im Vergleich zur Strahlungsenergie keine merk- ^_ ^r^Li^'"^^ 

liehe Körperwärme zukommt, bei konstantem Volumen und ,ul>^*^'-^! ' 

konstanter Gesamtenergie der Strahlung eine endliche Um- ^-^ : '"^^jL 
Wandlung, nämlich den Übergang zum absolut stabilen Strahlungs- |'f'T"y.4<Jr 

zustand, und damit eine endliche Entropie Vermehrung des Systems '' 

herbeiführen. Diese Veränderung würde natürlich nur die spektrale 
Strahlungsdichte Uy betreffen, während dagegen die gesamte 
Energiedichte u konstant bleibt. Nachdem dies geschehen, 
könnte man, das Kohlestäubchen in dem Räume belassend, den 
Hohlzylinder wieder adiabatisch und unendlich langsam auf sein 
ursprüngliches Volumen vergrößern und hierauf das Kohle- 
stäubchen entfernen. Dann hat das System einen Kreisprozeß 
durchgemacht, ohne daß irgendwelche äußere Veränderungen 
zurückgeblieben sind. Denn Wärme ist überhaupt weder zu- 
noch abgeleitet worden, und die auf die Kompression verwendete f^- 
mechanische Arbeit ist bei der Ausdehnung genau wieder ge- ■ 

Wonnen worden; denn diese hängt, ebenso wie der Strahlungs- .-. *j j^. 

druck, nur von der Gesamtdichte w der Strahlungsenergie, nicht 
von ihrer spektralen Verteilung ab. Infolgedessen ist nach dem 
ersten Hauptsatz der Thermodynamik auch die gesamte Strahlungs- 
energie am Schluß wieder dieselbe wie am Anfang und daher 
auch die Temperatur der schwarzen Strahlung wieder die nämliche. 
Das Kohlestäubchen und seine Veränderungen zählt nicht mit; 
denn seine Energie und Entropie sind verschwindend klein gegen 
die betreffenden Größen des Systems. Der Prozeß ist also in 
allen Einzelheiten rückgängig gemacht, man kann ihn beliebig 



/>v^' ><^- 



«^ 






70 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 

oft hintereinander wiederholen, ohne daß irgend eine dauernde 
Veränderung in der Natur eintritt. Dies widerspricht der oben 
gemachten Voraussetzung einer endlichen Entropievermehrung; 
denn eine solche läßt sich, wenn einmal eingetreten, auf keinerlei 
Weise vollständig rückgängig machen. Es kann also durch die 
Einbringung des Kohlestäubchens in den Strahlungsraum keine 
endliche Entropievermehrung herbeigeführt worden sein, sondern 
die Strahlung befand sich schon vorher und jederzeit im stabilen 
Gleichgewichtszustand. 

§ 73. Damit das Wesentliche dieses wichtigen Beweises 
noch klarer hervortritt, sei auf eine analoge einigermaßen nahe- 
liegende Betrachtung hingewiesen. Ein Hohlraum, in dem sich 
anfänglich ein Dampf gerade im Zustand der Sättigung be- 
findet, werde adiabatisch und unendlich langsam komprimiert. 

„Dann verbleibt der Dampf bei beliebiger endHcher adia- 
batischer Kompression immer gerade im Zustand der Sättigung. 
Denn würde er z. B. bei der Kompression übersättigt werden, 
so könnte man, nachdem die Kompression auf einen merklichen 
Bruchteil des ursprünglichen Volumens stattgefunden hat, durch 
Einbringung eines winzigen Flüssigkeitströpfchens, dem keine 
merkliche Masse und Wärmekapazität zukommt, bei konstantem 
Volumen und konstanter Gesamtenergie die Kondensation einer 
endlichen Menge Dampf, und damit den endlichen Übergang in 
einen stabileren Zustand, also eine endliche Entropievermehrung 
des Systems herbeiführen. Nachdem dies geschehen, könnte 
man das Volumen wieder adiabatisch und unendlich langsam 
vergrößern, bis alle Flüssigkeit verdampft ist, und dadurch den 
Prozeß vollständig rückgängig machen, was der angenommenen 
Entropievermehrung widerspricht.*^ 

Ein solches Beweisverfahren würde deshalb fehlerhaft sein, 
weil durch den beschriebenen Prozeß die eingetretene Veränderung 
keineswegs vollständig rückgängig gemacht ist. Denn da die 
bei der Kompression des übersättigten Dampfes aufgewendete 
mechanische Arbeit nicht gleich ist der bei der Ausdehnung 
des gesättigten Dampfes wiedergewonnenen, so entspricht einem 
bestimmten Volumen des Systems bei der Kompression eine 
andere Energie als bei der Ausdehnung, und deshalb kann auch 
das Volumen, bei dem alle Flüssigkeit gerade wieder verdampft 
ist, nicht gleich dem ursprünglichen Anfangsvolumen sein. Die 



^ 



Wiensches Verschiebungsgesetz 71 

gemutmaßte Analogie ist also hinfällig, und die oben in An- 
führungszeichen gesetzte Behauptung unrichtig. 

§ 73. Wir wollen uns nun wieder den in § 68 beschriebenen 
reversibeln adiabatischen Prozeß mit der in dem evakuierten Hohl- 
zylinder mit weißen Wänden und weißem Boden befindlichen 
schwarzen Strahlung ausgeführt denken, indem wir den aus absolut 
spiegelndem Metall bestehenden Kolben unendlich langsam herab- 
sinken lassen, nur mit dem Unterschied, daß sich diesmal kein 
Kohlestäubchen in dem Zylinder befindet. Dann verläuft der 
Prozeß, wie wir jetzt wissen, genau so wie dort. Wir können uns 
aber nun, da jetzt überhaupt keine Emission und Absorption der 
Strahlung stattfindet, Kechenschaft geben von den Änderungen, 
welche die einzelnen Strahlenbündel des Systems an Farbe und 
Intensität erleiden. Solche Änderungen treten natürlich nur 
bei der Eeflexion an dem bewegten Metallspiegel, nicht bei der 
Eeflexion an den ruhenden Wänden und an dem ruhenden Boden 
des Zylinders ein. 

Wenn der spiegelnde Kolben mit der konstanten unendlich 
kleinen Geschwindigkeit v sich herabsenkt, so werden die ihn 
währenddem treffenden monochromatischen Strahlenbündel bei 
der Reflexion eine Änderung ihrer Farbe, ihrer Intensität und 
ihrer Richtung erleiden. Betrachten wir diese verschiedenen 
Einflüsse der Reihe nach hintereinander. ^ 

§ 74. Zunächst fragen wir nach der Farbenänderung, 
die ein monochromatischer Strahl durch Reflexion an dem un- 
endlich langsam bewegten Spiegel erleidet, und betrachten zu 
diesem Zweck erst den Fall eines in normaler Richtung, von 
unten nach oben, auf den Spiegel fallenden und daher auch in 
normaler Richtung, von oben nach unten, reflektierten Strahles. 
Die Ebene A (Fig. 5) bedeute die Lage des Spiegels zur Zeit t, 
die Ebene Ä' die zur Zeit t -{- dt, wobei die Entfernung ^J[' = V'öt, 
wenn v die Geschwindigkeit des Spiegels bedeutet. Denken wir 
uns nun durch das durchstrahlte Vakuum in gehöriger Entfernung 



^ Eine vollständige Lösung des Problems der Reflexion eines Strahlen- 
bündels an einer bewegten absolut spiegelnden Fläche, auch bei beliebig 
großer Geschwindigkeit derselben, findet sich in der § 71 zitierten Ab- 
handlung von M. Abraham. Hierbei sind die Gesetze der Elektrodynamik 
bewegter Körper zugrunde gelegt. Vgl. auch desselben Autors Lehrbuch: 
Elektromagnetische Theorie der Strahlung, 1905 (Leipzig, B. G. Teubner). 



A Spiegdt+St 



72 Folgerungen atis der Elektrodynamik und der Thermodynamik 

vom Spiegel eine dem Spiegel parallele ruhende Ebene B ge- 
legt, und nennen wir l die Wellenlänge des auf den Spiegel 

treffenden, l' die Wellenlänge 

^ ^pi^eit des Yom Spiegel reflektierten 

Strahles, so liegen zur Zeit t 
auf der Strecke AB des 

^ durchstrahlten Vakuums -y- 

Wellen des einfallenden, und 

A Ti 

£__ ^^j^^^ -jr Wellen des reflektierten 

^^^' ^' Strahles, was man sich etwa 

dadurch versinnlichen kann, 
daß man die elektrische Feldstärke in den verschiedenen Punkten 
je eines der beiden Strahlen zur Zeit t sich in Form einer Sinus- 
kurve aufgezeichnet denkt. Im ganzen liegen also zur Zeit t 
in dem Zwischenraum zwischen Ä und B 



AB 



1 + ^) 



Wellen, einfallender und reflektierter Strahl zusammengenommen. 
Da diese Anzahl sehr groß ist, so kommt es nicht darauf an, 
ob es eine ganze Zahl ist oder nicht. 

Ebenso liegen zur Zeit t ■{- 8t, wenn sich der Spiegel in A' 
befindet, in dem Zwischenraum zwischen A' und B im ganzen 



A'bA\ + ^ Wellen. 



Die letzte Zahl wird kleiner sein als die erste, da in dem 
kleineren Zwischenraum A' B eine geringere Anzahl Wellen von 
beiden Arten Platz finden, als vorher in dem größeren Zwischen- 
raum AB. Der Rest der Wellen muß während der Zeit 8t 
aus dem Zwischenraum zwischen dem bewegten Spiegel und der 
ruhenden Ebene B hinausgedrängt worden sein, und zwar durch 
die Ebene B hindurch nach unten ; denn auf andere Weise kann 
keine Welle aus dem betrachteten Raum verschwinden. 

Nun gehen durch die ruhende Ebene B in der Zeit 8 t in 
der Richtung nach oben: v • 8t Wellen, in der Richtung nach 
unten: v' - 8t Wellen; folglich ist die Differenz: 



v)8t = {AB-A'B)'i^]--{-~)^ 



Wiensehes Verschiebtmgsgesetz 



73 



oder, da: 
und 



AB- A'B^v 



A = 



A' = 



V = 



C •{■ V 

C — V 



oder, da v unendlich klein gegen c, 

§ 75. Wenn die Strahlung nicht in normaler Richtung, 
sondern unter dem spitzen Einfallswinkel & auf den Spiegel 
fällt, so kann man eine ganz ähnliche Betrachtung anstellen, 



Sfüßtlt 
Sj)wßdt+6t 




ruhend 



Fig. 6. 



nur mit dem Unterschied, daß dann der Schnittpunkt A eines 
bestimmten ins Auge gefaßten Strahles BA mit dem Spiegel zur 
Zeit t eine andere Lage auf dem Spiegel hat als der Schnitt- 
punkt A' desselben Strahles mit dem Spiegel zur Zeit t + 8t 
(Fig. 6). Die Anzahl der Wellen, welche zur Zeit t auf der 

B A 
Strecke BA liegen, ist — r- • Ebenso ist zu der nämlichen 

Zeit t die Anzahl der Wellen auf der Strecke AGy welche die 
Entfernung des Punktes A von einer im Vakuum ruhenden 

AG 
l' 

ganzen liegen also zur Zeit t auf der Strecke BAO des be- 
trachteten Strahles 

BA AG 

Wellen. Hierbei sei noch bemerkt, daß der Reflexionswinkel i^-' 



Wellen ebene CG' des reflektierten Strahles darstellt, 



Im 



74 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 



nicht genau gleich dem Einfallswinkel ist, sondern, wie sich 
durch eine einfache geometrische Überlegung zeigen läßt, etwas 
kleiner. Die Differenz zwischen {^ und ^' wird sich aber für 
unsere Berechnung als unwesentlich erweisen. 

Ferner liegen zur Zeit t -\- dt, wenn der Spiegel durch A' 
geht, auf der Strecke BA' C 

BA' Ä'C 



r 

Wellen. Die letzte Zahl ist kleiner als die erste, und zwar muß 
die Differenz gleich der Anzahl der Wellen sein, welche während 
der Zeit 8t aus dem Räume, der durch die ruhende Ebene BB' 
und durch die ruhende Ebene GC begrenzt wird, im ganzen 
hinausgedrängt worden sind. 

Nun gehen durch die Ebene BB' in der Zeit dt in den 
Raum hinein v - 8t Wellen, durch die Ebene CC aus dem 
Raum hinaus v' - öt Wellen. Folglich ist 

( ' ^ A^/ IBA , AC\ (BA' , A' G'\ 

Es ist aber: 

BÄ - BA' = AA' = ^ 

AC- A'C = ^^'•cos(i9' + &') 

V * v' 

Folglich: V = Ti^r^sTT * ^ • 

Diese Beziehung gilt für eine beliebig große Geschwindigkeit v 
des bewegten Spiegels. Da nun in unserem Fall v unendlich 
klein ist gegen c, so wird einfacher: 

Die Differenz der Winkel d- und ^' ist jedenfalls von der 
Größenordnung — ; daher kann man hier ohne merklichen 
Fehler ß-' durch ß- ersetzen, und erhält so: 

(83) V =V'\\ + ^ j 

als Schwingungszahl des reflektierten Strahles für schiefe Inzidenz. 



Wiensches Verschiebungsgesetz 75 



§ 76. Aus dem Vorstehenden erhellt, daß die Schwingungs- 
zahlen aller auf den bewegten Spiegel treffenden Strahlen 
durch die Reflexion vergrößert werden, wenn sich der Spiegel 
gegen die Strahlung bewegt, dagegen verkleinert werden, wenn 
der Spiegel sich in Richtung der auffallenden Strahlung bewegt 
(v < o). Dabei wird aber die gesamte auf den bewegten Spiegel 
fallende Strahlung einer bestimmten Schwingungszahl v keines- 
wegs wieder als monochromatische Strahlung reflektiert, sondern 
die Farbenänderung bei der Reflexion hängt wesentlich mit von 
dem Einfallswinkel & ab. Daher kann man von einer bestimmten 
spektralen ., Verschiebung^' der Farbe nur bei einem einzelnen 
bestimmt gerichteten Strahlenbündel, dagegen bei der gesamten 
monochromatischen Strahlung höchstens von einer spektralen 
„Zersplitterung^' reden. Die Farbenänderung ist am größten für 
normale Inzidenz, sie verschwindet ganz für streifende Inzidenz. 

§ 77. Berechnen wir zweitens die Energieänderung, 
welche der bewegte Spiegel der auftreffenden Strahlung erteilt, 
und zwar gleich für den allgemeinen Fall der schiefen Inzidenz. 
Ein monochromatisches unendlich dünnes unpolarisiertes Strahlen- 
bündel, welches unter dem Einfallswinkel i^- auf ein Flächen- 
element des Spiegels trifft, möge in der Zeit Öt die Energie 
I'St auf den Spiegel fallen lassen. Dann beträgt die mecha- 
nische Druckkraft des Strahlenbündels normal auf den Spiegel 
nach Grleichung (64) bis auf verschwindend kleine Größen: 

und die bei der Bewegung des Spiegels in der Zeit 8 t von außen 
gegen die auftreffende Strahlung geleistete Arbeit ist mit dem- 
selben Grade der Annäherung: 

^ ^, 2 2? cos 6^ j St. ,QAK 

% V dt = — 1 dt. (84) 

Nach dem Prinzip der Erhaltung der Energie muß sich dieser 
Arbeitsbetrag in der Energie der reflektierten Strahlung wieder- 
finden. Daher besitzt das reflektierte Strahlenbündel eine größere 
Intensität als das auffallende, es liefert nämlich in der Zeit 8 t 
die Energie:^ 



^ Es versteht sieh, daß die durch die Bewegung des Spiegels ver- 
ursachte Intensitätsänderung bei der Reflexion sich auch rein elektro- 



76 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 

(85) ist + %vSt = i(i + ~^^-^]st=^rdt. 

Man kann also zusammenfassend sagen: Durch die Reflexion 
eines unter dem Einfallswinkel & auftrefi'enden monochromati- 
schen unpolarisierten Elementarstrahlenbündels an dem gegen 
die Strahlung mit der unendlich kleinen Geschwindigkeit v be- 
wegten Spiegel wird während der Zeit St die Strahlungs- 
energie I St, deren Schwingungszahlen von v bis v-\-dv reichen, 
in die Strahlungsenergie TSt mit dem Schwingungsintervall 
(v, v' •\- dv') verwandelt, wobei /' durch (85), v durch (83) und 
dementsprechend d Vy die Spektralbreite des reflektierten Bündels, 
durch: 

(86) dv'=^dv{i+^^^'^ 
gegeben ist> Ein Vergleich dieser Werte zeigt, daß 

(87) 4 = - = 4^- 

^ ' 1 V dv 

Der absolute Betrag der bei dieser Verwandlung verschwundenen 
Strahlungsenergie ist nach Gleichung (13): 

(88) I'St = 2 ^^ da cos i9- dQ dv St 

und daher der absolute Betrag der dabei neu entstandenen 
Strahlungsenergie nach (85): 

(89) r-St = 2^, da cos {)'d9.dv{\ + i^j^^^j^j j^. 

In diesen beiden Ausdrücken wäre streng genommen noch 
eine unendlich kleine Korrektur anzubringen, da I die Energie- 
strahlung auf ein ruhendes Flächenelement d a darstellt, während 
doch durch die Bewegung von d a gegen das auftreffende Strahlen- 
bündel die auffallende Strahlung etwas vermehrt wird. Indessen 
können die entsprechenden Zusatzglieder hier ohne merklichen 
Fehler fortgelassen werden, weil die Differenz der beiden Aus- 
drücke: {r — I)St, welche durch (84) dargestellt wird, von jener 
Korrektur offenbar nicht merklich betroffen wird. 



dynamisch ableiten läßt, da ja die Elektrodynamik mit dem Energieprinzip 
in Übereinstimmung ist. Dieser Weg ist etwas umständlicher, dafür 
gewährt er aber einen tieferen Einblick in die Einzelheiten des Vorgangs 
der Reflexion. 



Wiensehes Verschiebungsgesetz 77 



§ 78. Was endlich die Richtungsänderungen betrifft, 
welche den auftreffenden Strahlen durch die Eeflexion an dem 
bewegten Spiegel erteilt werden, so brauchen wir uns der Be- 
rechnung derselben hier gar nicht zu unterziehen. Denn wenn 
die Bewegung des Spiegels nur hinreichend langsam erfolgt, so 
werden alle Ungleichmäßigkeiten in der Eichtung der Strahlung 
sogleich wieder durch die weitere Reflexion an den Gefäßwänden 
ausgeglichen werden. Wir können uns ja den ganzen Prozeß 
in sehr vielen kleinen Intervallen ausgeführt denken, in der 
Weise, daß der Kolben, nachdem er eine sehr kleine Wegstrecke 
mit sehr kleiner Geschwindigkeit zurückgelegt hat, eine Zeitlang 
in Ruhe gehalten wird, und zwar so lange, bis alle etwa ent- 
standenen Ungleichmäßigkeiten in den Strahlungsrichtungen 
durch die Reflexion an den weißen Wänden des Hohlzylinders 
wieder zum Verschwinden gebracht sind. Wenn man dies Ver- 
fahren genügend lange fortsetzt, so kann man die Kompression der 
Strahlung bis zu einem beliebig kleinen Bruchteil des ursprüng- 
lichen Volumens fortsetzen, und dabei stets die Strahlung als 
nach allen Richtungen gleichmäßig betrachten. Dieser stetig 
wirkende Ausgleichungsprozeß betrifft natürlich nur die Ver- 
schiedenheit der Strahlungsrichtungen; denn Farben- und In- 
tensitätsänderungen der Strahlung, die einmal eingetreten sind, 
wenn auch noch so minimaler Größe, können offenbar durch 
Reflexion an total reflektierenden ruhenden Wänden mit der 
Zeit niemals ausgeglichen werden, sondern bleiben konstant 
weiter bestehen. 

§ 79. Mit Hilfe der gewonnenen Sätze sind wir nun 
imstande, für den Fall der unendlich langsamen adiabatischen 
Kompression des von gleichmäßiger Strahlung erfüllten voll- 
kommen evakuierten Hohlzylinders die Änderung der Strahlungs- 
dichte für jede einzelne Schwingungszahl zu berechnen. Wir 
fassen zu diesem Zwecke die Strahlung innerhalb eines bestimmten 
unendlich kleinen Intervalls von Schwingungszahlen, nämlich voni/ 
bis V + dv, zur Zeit t ins Auge, und fragen nach der Änderung, 
welche die gesamte Strahlungsenergie, die in dieses bestimmte 
unveränderliche Intervall fällt, während der Zeit dt erleidet. 

Zur Zeit t ist diese Strahlungsenergie nach (22) Vu-dv, 
zur Zeit t + dt ist sie (Fu + d{Vuj) -dv, also die zu berechnende 
Änderung: 



78 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 



(90) d[V\x)'dv. 

Die monochromatische Strahlungsdichte u ist hierbei als Funktion 
der beiden voneinander unabhängigen Variabein v und t zu 
betrachten, deren Differentiale durch die Zeichen d und 8 unter- 
schieden sind. 

Die Änderung der monochromatischen Strahlungsenergie 
kommt lediglich bei der Reflexion an dem bewegten Spiegel, 
und zwar dadurch zustande, daß erstens gewisse Strahlen, 
welche zur Zeit t dem Intervall {v, dv) angehören, durch die 
bei der Reflexion erlittene Farbenänderung aus diesem Intervall 
austreten, und daß zweitens gewisse Strahlen, welche zur Zeit t 
nicht dem Intervall {v, df) angehören, durch die bei der Reflexion 
erlittene Farbenänderung in dieses Intervall eintreten. Wir 
berechnen beide Einflüsse nacheinander. Die Berechnung wird 
wesentlich vereinfacht, wenn wir die Breite dieses Intervalls: dv 
so klein nehmen, daß: 

(91) dv klein gegen — v, 



c 



was deshalb möglich ist, weil dv und v gar nicht voneinander 
abhängen. 

§ 80. Die Strahlen, welche zur Zeit t dem Intervall [v, dv) 
angehören und in der Zeit dt infolge der Reflexion am be- 
wegten Spiegel aus diesem Intervall austreten, sind einfach alle 
diejeüigen, welche während der Zeit öt den bewegten Spiegel 
treffen. Denn die Farbenänderung, die ein solcher Strahl er- 
leidet, ist nach (83) und (91) groß gegen die Breite dv des 
ganzen Intervalls. Wir haben hier also nur die Energie zu 
berechnen, welche während der Zeit St durch die Strahlen des 
Intervalls {v, dv) auf den Spiegel geworfen wird. 

Für ein Elementarstrahlenbündel, das unter dem Einfalls- 
winkel & auf das Element da der Spiegelfläche fällt, ist diese 
Energie nach (88) und (5): 

I St = 2^^ da Q>Q>^& dQ dv St = 2^^ da sin i9- cos i9- d& d(p dv St, 

also für die gesamte monochromatische Strahlung, die auf die 
ganze Spiegelfläche F auffällt, durch Integration über cp von 

bis 2 7t, über & von bis ^ , und über d a von bis F: 
(92) 2'KF^^dvSt, 



Wiensclies Verschiebungsgesetz 79 



Diese Strahlungsenergie tritt also während der Zeit «^^ aus dem 
betrachteten Schwingungszahlintervall [v, dv) heraus. 

§ 81. Bei der Berechnung derjenigen Strahlungsenergie, 
welche während der Zeit dt durch die Eeflexion an dem be- 
wegten Spiegel in das Intervall [v,dv) eintritt, müssen wir die 
unter verschiedenen Einfallswinkeln auf den Spiegel treffen- 
den Strahlen gesondert betrachten. Da bei positivem v die 
Schwingungszahl durch die Eeflexion vergrößert wird, so be- 
sitzen die hier zu betrachtenden Strahlen zur Zeit t eine 
Schwingungszahl v^ < v. Nehmen wir nun zur Zeit t ein mono- 
chromatisches Strahlenbündel vom Schwingungsintervall [v^,dv^^ 
welches unter dem Einfallswinkel ^ auf den Spiegel trifft, so 
wird es durch die Reflexion immer und nur dann in das Inter- 
vall [v,dv) eintreten, wenn 

/ . , 2 » cos ^ \ j j , / T , 2 «? cos i9- \ 
i; = i/j 1 -j und dv — dv^\\ -\ 1 • 

Diese Beziehungen ergeben sich, wenn man in die Grleichungen (83) 
und (86) an die Stelle von v und v' , der Schwingungszahlen 
vor der Reflexion und nach der Reflexion, beziehungsweise v^ 
und V setzt. 

Die Energie, welche dieses Strahlenbündel während der 
Zeit 8t in das Intervall [v, dv) hineinbringt, ergibt sich aus (89), 
wenn man darin ebenfalls v^ an die Stelle von v setzt, zu: 

2 ^y^ d(T cosiT- dn dvjl-]^ l^^jcos^\ ^^ ^ g^^^ da co8& dÜdv St. 

Nun ist: 

wobei wir voraussetzen, daß -^^ — endlich ist. Also bis auf un- 
endlich kleine Größen höherer Ordnung: 



5^ ^ 2»^27COSi9-öt 



c dv 

Dadurch wird die gesuchte Energie: 

2 da f ^,, -^ — sm & cos & dß- d(f dv 8t , 

und durch Integration dieses Ausdrucks über da, cp und ß-, wie 
oben, ergibt sich die gesamte Strahlangsenergie, welche während 



80 Folgerungen am der Elektrodynamik und der Thermodynamik 



der Zeit §t in das Schwingungszahlintervall (i/, c? i^) neu eintritt: 

(98) 2nF[%-\^^]dvSt. 

§ 82. Die Differenz der Ausdrücke (93) und (92) ergibt die 
gesamte Änderung (90), also: 

3 c dv ^ ' 

oder nach (24): 

- l Fvvp^St = §{Vn) 

3 dv ^ ^ 

oder endlich, äsi Fv St gleich ist der Abnahme des Volumens V: 

(94) 1-v^SV = d{Vu) = nSV-i- VSn, 

woraus folgt: 

Diese Gleichung ergibt die bei einer unendlich langsamen adiaba- 
tischen Kompression der Strahlung eintretende Änderung der 
räumlichen Energiedichte irgend einer bestimmten Schwingungs^ 
zahl V. Sie gilt übrigens, wie die Art ihrer Ableitung zeigt, 
nicht allein für schwarze Strahlung, sondern für eine Strahlung 
von anfänglich ganz beliebiger Energieverteilung. 

Da die während der Zeit dt im Strahlungszustand ein- 
tretenden Änderungen der unendlich kleinen Geschwindigkeit v 
proportional sind und mit deren Vorzeichen sich umkehren, so 
gilt die Gleichung für jedes Vorzeichen von ^ F, der Vorgang 
ist also reversibel. 

§ 83. Bevor wir zur allgemeinen Integration der Glei- 
chung (95) schreiten, wollen wir sie einer naheliegenden Prüfung 
unterziehen. Nach dem Energieprinzip muß nämlich die bei 
der adiabatischen Kompression eintretende Änderung der ge- 
samten Strahlungsenergie : 



OD 

U== V'U= F. fu 



dv 







gleich sein der bei der Kompression von außen gegen den 
Strahlungsdruck geleisteten Arbeit: 



(96) -pSr = -l6V=-^Jvi 



dv . 



Wiensches Verschiebungsgesetz 81 



Nan ergibt sich mit Benutzung von (94) für die Änderung der 
Gesamtenergie: 

CO 00 

Sü = JdV'Ö{VVi)==^'fv^dv 
Ü 

oder durch partielle Integration: 

ÖU=^-llvn]-Judv] 



und dieser Ausdruck ist in der Tat mit (96) identisch, da das 
Produkt V u sowohl für v —0 als auch für 1^ = 00 verschwindet. 
Letzteres könnte einen Augenblick zweifelhaft erscheinen; man 
ersieht aber leicht, daß, wenn vn für 1/ = 00 einen von Null 
verschiedenen Wert annähme, dann das Integral von u nach v, 
von bis 00 genommen, keinen endlichen Wert besitzen könnte, 
was doch sicher der Fall ist. 

§ 84. Wir haben schon oben in § 79 hervorgehoben, daß u 
als Funktion zweier unabhängiger Variabein anzusehen ist, von 
denen wir als erste die Schwingungszahl v, als zweite die Zeit t 
genommen haben. Da nun die Zeit t in der Gleichung (95) 
explicite gar nicht vorkommt, so ist es sachgemäßer, als zweite 
unabhängige Variable statt t direkt das Volumen V einzuführen, 
w^elches ja von t allein abhängig ist. Dann schreibt sich die 
Gleichung (95) folgendermaßen als partielle Differentialgleichung: 

aus welcher u, wenn es für ein bestimmtes V als Funktion von v 
bekannt ist, für alle anderen Werte von V als Funktion von v 
berechnet werden kann. Das allgemeine Integral dieser Differential- 
gleichung lautet, wie man sich leicht durch nachträgliche Sub- 
stitution überzeugen kann: 

n=^^f{v^V), (98) 

wobei (p eine beliebige Funktion eines einzigen Arguments v^ V 
bedeutet. Statt dessen kann man auch schreiben, indem man 
v^V'Cp[v^V) statt cp[v^V) einsetzt: 

x\ = v^(p[v^V), (99) 

Planck, Wärmestrahlung. 6 



82 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 

Jede der beiden letzten Gleichungen ist der allgemeine Aus- 
druck des Wien sehen Verschiebungsgesetzes. 

Wenn also für ein bestimmtes gegebenes Volumen V die 
spektrale Energieverteilung, d. h. u als Funktion von v, bekannt 
ist, so läßt sich daraus die Abhängigkeit der Funktion (p von 
ihrem Argument ableiten, und dadurch ergibt sich dann un- 
mittelbar die Energieverteilung für jedes beliebige andere 
Volumen V, in welches die den Hohlzylinder erfüllende Strah- 
lung durch einen reversibeln adiabatischen Prozeß gebracht wird. 

§ 85, Nun führen wir, zu dem Gedankengang des § 73 
zurückkehrend, die Voraussetzung ein, daß am Anfang die 
spektrale Energieverteilung die normale, der schwarzen Strah- 
lung entsprechende ist. Dann behält nach dem damals be- 
wiesenen Satze die Strahlung bei der reversibeln adiabatischen 
Volumenänderung diese Eigenschaft unverändert bei, und es 
gelten für den Prozeß alle in § 68 abgeleiteten Gesetzmäßig- 
keiten. Die Strahlung besitzt also dann in jedem Zustand eine 
bestimmte Temperatur T, welche mit dem Volumen V durch die 
dort abgeleitete Gleichung: 
(100) T^'V=const 

zusammenhängt. Daher kann man nun die Gleichung (99) auch 
so schreiben: 



«''^(^t) 



oder auch: n = v^ ^ I — j • 

Ist also für eine einzige Temperatur die spektrale Energie- 
verteilung der schwarzen Strahlung, d. h. u als Funktion von v, 
bekannt, so ergibt sich daraus die Abhängigkeit der Funktion (p 
von ihrem Argument, und dadurch die spektrale Energieverteilung 
für jede andere Temperatur. 

Nimmt man noch den in § 47 bewiesenen Satz hinzu, daß 
bei der schwarzen Strahlung einer bestimmten Temperatur das 
Produkt u q^ für alle Medien den nämlichen Wert hat, so kann 
man auch schreiben: 

(101) " = iJ^(v)' 

wo nun die Funktion F die Fortpflanzungsgeschwindigkeit nicht 
mehr enthält. 



Wiensches Verschiebungsgeseiz 83 



§ 86. Für die gesamte räumliche Strahlungsdichte der 
schwarzen Strahlung im Vakuum ergibt sich: 



^fndr=.^fv^F[^)dv 



T 
oder, wenn man statt v die Größe — = ic als Integrationsvariable 



T. r^H,, 



einführt : 



Setzt man die absolute Konstante: 

1 rF{x) , 



so kehrt man damit zu der in Gleichung (75) ausgesprochenen 
Form des STEFAN-BoLTZMANNschen Strahlungsgesetzes zurück. 
§87. Eine anschauliche Fassung gewinnt die Gleichung (101), 
wenn man sie in folgender Form schreibt: 



— li-dv 



Fi^^yv=^7i (102) 



und bedenkt, daß der Ausdruck links die in dem Kubus 
einer Wellenlänge l enthaltene Strahlungsenergie zwischen den 
Schwingungszahlen v und v -\- dv darstellt, die wir vorübergehend 
mit r] bezeichnen wollen. Wenn nun durch reversible adiabatische 
Kompression die Strahlung auf die höhere Temperatur T' über- 
geht, so ist für ein beliebiges anderes, von v' h\^ v' -\- dv' reichen- 
des Spektralgebiet: 

n ^ F[^^\dv', (103) 

T' 
Setzen wir nun v' = —v (104) 

T' 
und entsprechend: dv' ~ -^v , 

d. h. fassen wir im zweiten Zustand solche Schwingungszahlen v' 
ins Auge, die sich im Verhältnis der Temperaturen von den 
ursprünglichen Schwingungszahlen v unterscheiden, so ergibt sich 
durch Division von (103) und (102): 

^ = 1^ = 4^- (10^ 



84 Folgerungen aus der Elekb'odynamik und der Thermodynamik 

Ferner durch Berücksichtigung der Bedeutung von r]-. 

u':u= r^'.T^ 
und: Vidv':\xdv= t'^,tK 

Man kann also folgende Sätze aussprechen. Das Spektrum der 
schwarzen Strahlung verändert sich beim Übergang von der 
Temperatur T zu einer höheren Temperatur T' derartig, als ob 
alle Schwingungszahlen v sich im Verhältnis der Temperaturen T' 
und T vergrößern, und dabei die im Kubus einer Wellenlänge X 
enthaltene Energie t] der Strahlung eines unendlich kleinen 
Spektralbezirks sich ebenfalls in demselben Verhältnis vergrößert. 
Die monochromatische Strahlungsdichte u vergrößert sich dann 
im Verhältnis der dritten Potenz, und die Strahlungsdichte ndv 
eines unendlich kleinen Spektralbezirks im Verhältnis der vierten 
Potenz der Temperaturen. Für die gesamte räumliche Strahlungs- 
dichte Uf als der Summe der Strahlungsdichten aller Spektral- 
bezirke, ergibt sich dann wieder das Stefan-Boltzmann sehe 
Gesetz. 

Da ferner nach (104) und (100): 

so wird bei dieser Veränderung die im ganzen Volumen V der 
Strahlung enthaltene Anzahl von Wellenkuben einer jeden 
Schwingungszahl durch die Kompression nicht geändert. 

Diese Sätze haben natürlich nur zusammenfassende Be- 
deutung; denn wie wir oben gesehen haben, verändern sich in 
Wirklichkeit bei der adiabatischen Kompression die Schwingungs- 
zahlen V der einzelnen Strahlen durchaus nicht alle, sondern nur 
insofern sie während der Kompression an dem bewegten Kolben 
reflektiert werden, und dann auch nicht gleichmäßig, sondern je 
nach der Größe des Einfallswinkels in verschiedener Weise. 

§ 88. Wie für die räumliche Strahlungsdichte u, so läßt 
sich das Wien sehe Verschiebungsgesetz auch für die spezifische 
Strahlungsintensität ^^ eines geradhnig polarisierten monochro- 
matischen Strahles bei der schwarzen Strahlung aussprechen, 
und lautet nach (24) in dieser Form: 

(100) ^^^^Fjiy 

Bezieht man die Strahlungsintensität, wie es in der Experimental- 



Wiensches Versehiebungsgesetz 85 

physik meistens geschieht, statt auf Schwingungszahlen v, auf die 
Wellenläuge k, setzt also nach (16): 

so nimmt die letzte Gleichung die Form an: 



^-I 



r--F(~)- (107) 



Diese Form des Wien sehen Verschiebungsgesetzes hat meistens 
den Ausgangspunkt zur experimentellen Prüfung gebildet, welche 
in allen Fällen zu einer merklichen Bestätigung des Gesetzes 
geführt hat.^ 

§ 89. Da Ex sowohl für 1 = als auch für l = od ver- 
schwindet, so besitzt Ex in bezug auf A ein Maximum, welches 
sich aus der Gleichung ergibt: 

dE, 5 fXT\ 1 T . (IT\ 

wobei F den Differentialquotienten von F nach seinem Argument 
bedeutet. Oder: 

M^(M)_5i.(ii:)=o. (108) 

Diese Gleichung ergibt für das Argument einen ganz be- 

c 

stimmten Wert, so daß für die Wellenlänge l^ des Maximums 
der Strahlungsintensität Ex die Beziehung gilt: 

KT=h. (109) 

Das Strahlungsmaximum verschiebt sich also bei Erhöhung der 
Temperatur nach der Seite der kürzeren Wellenlängen. 

Der Zahlenwert der Konstante h ist von Lummer und 
Peingsheim^ gemessen worden zu: 

h = 0,294 cm. grad. (110) 

Paschen 3 hat einen etwas kleineren Wert gefunden, etwa 0,292. 



* F. Paschen, Sitzungsber. d. Akad. d. Wissenscli. Berliü, p. 405 u. 959, 
1899. 0. Lummer und E. Pringsheim, Verhandlungen der Deutschen Physi- 
kalischen Gesellschaft 1, p. 23 u. 215, 1899. Drudes Ann. 6, p. 192, 1901. 

^ 0. Lummer und E. Pringsheim, a. a. 0. 

^ F. Paschen, Drudes Ann. 6, p. 657, 1901. 



86 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 



Es sei hier übrigens noch einmal ausdrücklich darauf hin- 
gewiesen, daß nach § 19 das Maximum von Ex keineswegs auf 
dieselbe Stelle im Spektrum fällt wie das Maximum von ^^, und 
daß daher die Bedeutung der Konstante h wesentlich mit dadurch 
bedingt ist, daß die Intensität der monochromatischen Strahlung 
auf Wellenlängen und nicht auf Schwingungszahlen bezogen wird. 

§ 90. Auch der Betrag des Maximums von E^ ergibt sich 
aus (107), wenn man darin A — A^ einsetzt. Dann erhält man 
unter Berücksichtigung von (109): 

(111) ^n,ax = C0nst.T5, 

d. h. der Betrag des Strahlungsmaximums im Spektrum der 
schwarzen Strahlung ist proportional der fünften Potenz der 
absoluten Temperatur. 

Würde man die Intensität der monochromatischen Strahlung 
nicht durch Ex, sondern durch ^^ messen, so erhielte man für 
den Betrag des Strahlungsmaximums ein ganz anderes Gesetz, 
nämlich : 

(112) ^,nax = const.r^ 

Viertes Kapitel. Straiilung von beliebiger spektraler 
Energieverteilung. Entropie und Temperatur monochromatischer 

Strahlung. 

§ 91. Wir hatten das Wien sehe Verschiebungsgesetz bisher 
nur auf den Fall der schwarzen Strahlung angewendet; dasselbe 
besitzt aber eine noch viel allgemeinere Bedeutung. Denn die 
Gleichung (95) gibt, wie schon dort bemerkt wurde, für jede 
beliebige anfängliche spektrale Verteilung der im evakuierten 
Hohlraum befindlichen nach allen Richtungen gleichmäßigen 
Energiestrahlung die Änderung dieser Energieverteilung bei einer 
reversibeln adiabatischen Änderung des Gesamtvolumens. Jeder 
durch einen derartigen Prozeß herbeigeführte Strahlungszustand 
ist vollkommen stationär und kann unbegrenzte Zeiten lang 
fortbestehen, allerdings nur unter der Bedingung, daß keine 
Spur emittierender und absorbierender Substanz in dem Strah- 
lungsraum vorhanden ist. Denn sonst würde sich nach § 51 
durch den auslösenden Einfluß der Substanz mit der Zeit die 
Energieverteilung auf irreversible Weise, d. h. unter Vermehrung 



Strahlung von beliebiger spektraler Energieverteilung 87 

der G-esamtentropie, in die stabile, der schwarzen Strahlung 
entsprechende Verteilung verwandeln. 

Der Unterschied dieses allgemeineren Falles gegen den im 
vorigen Kapitel behandelten speziellen ist der, daß man hier nicht 
mehr, wie bei der schwarzen Strahlung, von einer bestimmten 
Temperatur der Strahlung reden kann. Wohl aber besitzt, da 
der zweite Hauptsatz der Thermodynamik als allgemein gültig 
vorausgesetzt wird, die Strahlung, wie überhaupt jedes in einem 
bestimmten Zustand befindliche physikalische System, eine be- 
stimmte Entropie jS = F««, und diese Entropie setzt sich, da 
die einzelnen Strahlengattungen unabhängig voneinander sind, 
durch Addition aus den Entropien der monochromatischen Strah- 
lungen zusammen, also: 

00 00 

s^^hdv, S=V'ßdv, (113) 

Ü 

wobei ^ dv die Entropie der in der Volumeneinheit enthaltenen 
Strahlung zwischen den Schwingungszahlen v und v -{- dv be- 
zeichnet. § ist eine bestimmte Funktion der beiden unabhängigen 
Veriabeln v und u, und wird im folgenden stets als solche be- 
handelt werden. 

§ 93. Würde der analytische Ausdruck der Funktion § 
bekannt sein, so könnte man daraus unmittelbar das Gesetz 
der Energieverteilung im Normalspektrum ableiten; denn unter 
allen spektralen Energieverteilungen ist ja die normale, oder 
die der schwarzen Strahlung, dadurch ausgezeichnet, daß sie das 
Maximum der Strahlungsentropie S aufweist. 

Nehmen wir also einmal § als bekannte Funktion von v 
und u an, so ergibt sich als Bedingung der schwarzen Strahlung: 

J/S = (114) 

für alle beliebigen Variationen der Energie Verteilung, welche 
bei konstantem Gesamtvolumen Fund konstanter Gesamtenergie U 
der Strahlung möglich sind. Die Variation der Energieverteilung 
denken wir uns dadurch charakterisiert, daß die Energie u jeder 
einzelnen bestimmten Schwingungszahl v eine unendlich kleine 
Änderung ^u erleidet. Dann haben wir als feste Bedingungen: 

00 

SV=0 und fön'dv = 0. (115) 



88 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 

Die ÄnderuDgen d und d sind natürlich ganz unabhängig von- 
einander. 

Nun ist nach (114) und (113), da dV=Q'. 



f' 



§§> 'dv = 



oder, da v unvariiert bleibt: 

CO 

■es 



J du 



dv = 



und die Gültigkeit dieser Gleichung für alle beliebigen Werte 
von ^u erfordert mit Rücksicht auf (115), daß 

(116) ||- = const 

für alle verschiedenen Schwingungszahlen. Diese Gleichung 
spricht das Gesetz der Energieverteilung bei der schwarzen 
Strahlung aus. 

§ 93. Die Konstante der Gleichung (116) steht in einfachem 
Zusammenhang mit der Temperatur der schwarzen Strahlung. 
Denn wenn die schwarze Strahlung bei konstantem Volumen V 
durch Zuleitung einer gewissen Wärmemenge eine unendlich 
kleine Energieänderung §U erfährt, so ist nach (73) die Ände- 
rung ihrer Entropie: 

Nun ist aber nach (113) und (116): 

SS^^yf^dudv^^^V fön dv = ^^SU, 
J du du J du * 



folglich ist: 

^ ^ du T 

und die obige Größe, welche bei der schwarzen Strahlung als 
für alle Schwingungszahlen gleich gefunden wurde, erweist sich 
als die reziproke Temperatur der schwarzen Strahlung. 

Durch diesen Satz erhält der Begriff der Temperatur eine 
Bedeutung auch für StrahluDgen von ganz beliebiger Energie- 
verteilung. Denn da § nur von u und v abhängt, so besitzt 



Strahlung von beliebiger spektraler Energieverteilung 89 

eine nach allen Richtungen gleichmäßige monochro- 
matische Strahlung, welche eine bestimmte Energie- 
dichte u hat, auch eine ganz bestimmte, durch (117) 
gegebene Temperatur, und unter allen denkbaren 
Energieverteilungen ist die normale dadurch charakte- 
risiert, daß die Strahlungen aller Schwingungszahlen 
die nämliche Temperatur haben. 

Jede Änderung der Energie Verteilung besteht in einem 
Energieübergang von einer monochromatischen Strahlung auf 
eine andere, und je nachdem die Temperatur der ersten oder 
die der zweiten Strahlung höher ist, bedingt der Energie- 
übergang eine Vermehrung oder eine Verminderung der Gesamt- 
entropie, ist also in der Natur ohne Kompensation möglich 
oder nicht ohne Kompensation möglich, gerade wie das bei 
dem Wärmeübergang zwischen zwei verschieden temperierten 
Körpern zutrifft. 

§ 94. Wir wollen nun sehen, was das Wien sehe Ver- 
schiebungsgesetz über die Abhängigkeit der Größe § von den 
Variabein u und v aussagt. Aus der Gleichung (101) folgt, 
wenn man sie nach T auflöst und dafür den in (117) gegebenen 
Wert einsetzt: 

wo F wieder eine gewisse Funktion eines einzigen Arguments 
darstellt, deren Konstante die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c 
nicht enthalten. Nach dem Argument integriert ergibt dies bei 
analoger Bezeichnung: 



— F 

c 



(^)- (119) 



In dieser Form besitzt das Wien sehe Verschiebungsgesetz für 
jede monochromatische Strahlung einzeln, und dadurch auch 
für Strahlungen von beliebiger Energieverteilung, Bedeutung. 

§ 95. Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik 
muß die Gesamtentropie einer Strahlung von ganz beliebiger 
Energieverteilung bei reversibler adiabatischer Kompression kon- 
stant bleiben. Den direkten Nachweis dieses Satzes können wir 
jetzt in der Tat auf Grund der Gleichung (119) führen. Es ist 
nämlich für einen solchen Vorgang nach Gleichung (113): 



90 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 






CO 

SS=^fdv{VS^ + ^SV) 
6 

00 

(120) =-Jdv (v^Sn-{-^SY]. 



Hier ist §, wie stets, als Funktion von u und v zu betrachten. 
Nun gilt für eine reversible adiabatische Zustandsänderung 
die Beziehung (95), aus welcher wir den Wert von Sn ent- 
nehmen, so daß sich ergibt: 



Dabei bezieht sich der Differentialquotient von u nach v auf die 
in beliebiger Weise von vornherein gegebene spektrale Energie- 
verteilung der Strahlung, er ist daher, im Gegensatz zu den 
partiellen Differentialquotienten, mit dem Buchstaben c? bezeichnet. 
Nun ist das vollständige Differential: 

dv du dv dv ^ 
folglich, durch Substitution: 

(121) ^« = ^F./l{|P-fi)-u|| + 4. 



Aus Gleichung (119) folgt aber durch Differentiation: 

|i = i^(£!l) und ll=.%F(^)-^i^('^]. 

du V \ v^ j dv C^ V *' / *' \ ^ J 

Mithin: ,,|i = 2§-3u|^. 

dv du 

Dies in (121) eingesetzt, ergibt: 



oder: SS = ^'[v^T=0, 

wie es sein muß. Daß das Produkt v § auch für i^ = oo ver- 
schwindet, läßt sich ebenso wie in § 83 bei dem Produkte i/u 
beweisen. 

§ 96. Mittels der Gleichung (119) kann man den Gesetzen 
der reversibeln adiabatischen Kompression eine anschaulische 



Strahlung von beliebiger spektraler Energieverteilung 91 

Fassung geben, welche die Verallgemeinerung der in § 87 für 
die schwarze Strahlung ausgesprochenen Sätze auf eine Strahlung 
von beliebiger Energieverteilung bildet. Zu diesem Zwecke 
führen wir wieder die in dem Kubus einer Wellenlänge X ent- 
haltene Strahlungsenergie zwischen den Schwingungszahlen v 
und V -\- dv ein: 






(122) 



ferner die entsprechende Strahlungsentropie: 

endlich die in dem ganzen Strahlungsvolumen V enthaltene 
Anzahl von Wellenlängenkuben: 

~ = N. (123) 

Wenn nun die Strahlung, deren Energieverteilung eine ganz be- 
liebige sein mag, durch reversible adiabatische Kompression auf 
ein kleineres Volumen V gebracht wird, so ist für ein beliebiges 
anderes Intervall von Schwingungszahlen v' und v' -{- dv': 

^=T^^^> ö-=^^c?r, (124) 

^'=-,^- (125) 

Setzt man nun N — N\ also nach (123) und (125): 

F. v^ = V'v'^ 
und dementsprechend für die beiden Intervalle dv und dv': 

Vv^ dv — V'v"^ dv' 
oder durch Division: 

dv __ dv' 

V v' ' 

so ergibt sich zunächst aus (99): 



folglich, nach (122) und (124): 

^ = ^ = V -d .'=., (126) 



da nach (119): 



92 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 



Daher kann man sagen: die reversible adiabatische Kompression 
einer Strahlung von beliebiger Energieverteilung erfolgt ebenso, 
als ob die Schwingungszahlen v der einzelnen Farben sich in 
der Weise verändern, daß für jede Farbe die Anzahl der im 
ganzen Volumen enthaltenen Wellenlängenkuben bei der Kom- 
pression ungeändert bleibt. Die in einem solchen Kubus ent- 
haltene monochromatische Strahlungsenergie r] wächst dann pro- 
portional der Schwingungszahl 1/, und ebenso wächst nach (118) 
die Temperatur T der betreffenden Strahlung, während dagegen 
die Entropie derselben a konstant bleibt. Hiermit ist zugleich 
wiederum der Beweis geliefert, daß die Gesamtentropie der 
Strahlung, als die Summe der Entropien aller darin enthaltenen 
monochromatischen Strahlungen, konstant bleibt. 

§ 97. Wir können noch einen Schritt weiter gehen, und 
von der Entropie § und der Temperatur T einer nach allen 
Richtungen gleichmäßigen unpolarisierten monochromatischen 
Strahlung auf die Entropie und die Temperatur eines einzelnen 
geradlinig polarisierten monochromatischen Strahlenbündels 
schließen. Daß auch jedem einzelnen Strahlenbündel eine be- 
stimmte Entropie zukommt, folgt nach dem zweiten Hauptsatz 
der Thermodynamik schon aus dem Phänomen der Emission. 
Denn da durch den Akt der Emission Körperwärme in Strahlungs- 
wärme verwandelt wird, so nimmt hierbei die Entropie des 
emittierenden Körpers ab, und dafür muß nach dem Satz der 
Vermehrung der Gesamtentropie als Kompensation eine andere 
Form der Entropie auftreten, welche durch nichts anderes be- 
dingt sein kann als durch die Energie der emittierten Strahlung. 
Jedes einzelne geradlinig polarisierte monochromatische Strahlen- 
bündel besitzt also seine bestimmte Entropie, die nur von seiner 
Energie und seiner Schwingungszahl abhängen kann, und sich 
mit ihm im Räume fortpflanzt und ausbreitet. Dadurch er- 
halten wir den Begriff der Entropiestrahlung, welche ganz 
analog der Energiestrahlung gemessen wird durch den Betrag 
der Entropie, die in der Zeiteinheit in einer bestimmten Richtung 
durch die Flächeneinheit hindurchgeht. Es gelten daher für 
die Entropie Strahlung genau dieselben Betrachtungen, wie die, 
welche wir vom § 14 an für die Energiestrahlung angestellt 
haben, indem jedes Strahlenbündel außer seiner Energie auch 
seine Entropie besitzt und befördert. Wir wollen, unter Hinweis 



Strahlung von beliebiger spektraler Energieverteilung 93 



auf die dortigen Ausführungen, hier nur die wichtigsten Sätze 
für den späteren Gehrauch zusammenstellen. 

§ 98. In einem von behehiger Strahlung erfüllten Räume 
ist die Entropie, welche in der Zeit dt durch ein Flächen- 
element da in der Richtung des Elementarkegels dQ hindurch- 
gestrahlt wird, gleich einem Ausdruck von der Form: 

dt da cosi9- d^'L = L sin t9- cos ^ d& dcp da dt. (127) 

Die positive Größe L nennen wir die „spezifische Intensität der 
Entropiestrahlung" am Orte des Flächenelements da in der 
Richtung des Öffnungswinkels d£2. L ist im allgemeinen eine 
Funktion des Ortes, der Zeit und der Richtung. 

Die Gesamtstrahlung der Entropie durch das Flächen- 
element c?(7 nach einer Seite, etwa derjenigen, für welche der 
Winkel ^ ein spitzer ist, ergibt sich durch Integration über (p 

von bis 27r, und über xf von bis ^ z^* 



da dt* \ d(p' \ d& L sin »9- cosi^- 



Ist die Strahlung nach allen Richtungen gleichmäßig, also L 
konstant, so ist die Entropiestrahlung durch da nach einer Seite : 

71 L da dt. (128) 

Die spezifische Intensität L der Entropiestrahlung nach jeder 
Richtung zerfällt weiter in die Intensitäten der einzelnen, den 
verschiedenen Gebieten des Spektrums angehörigen Strahlen, die 
sich unabhängig voneinander fortpflanzen. Endlich ist bei einem 
Strahle von bestimmter Farbe und Intensität noch die Art seiner 
Polarisation charakteristisch. Wenn ein monochromatischer 
Strahl von der Schwingungszahl v aus zwei voneinander unab- 
hängigen^, senkrecht aufeinander polarisierten Komponenten mit 
den Intensitäten ^^ und ^/, den „Hauptintensitäten" der Energie- 



1) „unabhängig" im Sinne von „inkohärent". Ist z. B. der Strahl mit 
den Hauptintensitäten ^ und Ä' elliptisch polarisiert, so ist seine Entropie 
nicht gleich S + S', sondern gleich der Entropie eines geradlinig polari- 
sierten Strahls von der Intensität iil! + Ä'. Denn ein elliptisch polarisierter 
Strahl läßt sich ohne weiteres in einen geradlinig polarisierten verwandeln 
und umgekehrt, z. B. mittels totaler Keflexion. 



94 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 



Strahlung (§ 17) besteht, so ist die spezifische Intensität der 
Entropiestrahlung aller Schwingungszahlen von der Form: 

00 

(129) L=Jdi/(2, + ß;). 



Hierbei sind die positiven Größen % und S/, die „Hanpt- 
intensitäten" der Entropiestrahlung von der Schwingungszahl v, 
durch die Werte von ^V und ^/ bestimmt. Durch Substitution 
in (127) erhält man hieraus für die Entropie, welche in der 
Zeit dt durch das Flächenelement da in der Richtung des 
Elementarkegels d^ hindurchgestrahlt wird, den Ausdruck 



dt 



dG cos 19- dn Cdv{2y + 2/] 



und für monochromatische geradlinig polarisierte Strahlung: 

(130) dt da cosV?- d£2 Qy dv — S^ dv^mß- cosi^- d& dcp da dt. 
Für unpolarisierte Strahlen ist Ö^ = S/, und aus (129) wird: 

CO 

L = 2 Cüydv. 



Bei gleichmäßiger Strahlung nach allen Richtungen ergibt sich 
dann für die gesamte Entropiestrahlung nach einer Seite, ge- 
mäß (128) 

' CO 

271 da dt' I Sy dv . 



§ 99. Aus der Intensität der fortschreitenden Entropie- 
strahlung ergibt sich auch der Ausdruck für die räumliche 
Dichte der Strahlungsentropie, ganz ebenso wie die räumliche 
Dichte der Strahlungsenergie aus der Intensität der fort- 
schreitenden Energiestrahlung folgt. (Vgl. § 22.) Es ist näm- 
lich, analog der Gleichung (20), die räumliche Dichte s der 
Strahlungsentropie im Vakuum in irgendeinem Punkte: 

(131) s^^fLdQ, 

wobei die Integration über die von dem Punkte nach allen 
Richtungen des Raumes ausgehenden Elementarkegel zu er- 



Strahlung von beliebiger spektraler Energieverteilung 95 



strecken ist. Für gleichmäßige Strahlung ist L konstant, und 
man erhält: 

5 = -^. (132) 

Durch spektrale Zerlegung der Größe L nach der Gleichung (129) 
ergibt sich aus (131) auch die räumliche Dichte der mono- 
chromatischen Strahlungsentropie : 

§ = y/(ö + S>rfi2 

und für unpolarisierte und nach allen Richtungen gleichmäßige 
Strahlung : 

§ = 1^?-. (133) 

c 

§ 100. über die Art der Abhängigkeit der Entropie- 
strahlung S von der Energiestrahlung ^ gibt das Wien sehe Ver- 
schiebungsgesetz in der Form (119) sogleich Auskunft. Es folgt 
nämlich daraus mit Berücksichtigung von (133) und (24): 

^-^^[^] (1B4) 

und ferner, mit Berücksichtigung von (118): 

Daher auch: 

(136) 



oder: 



S = ^^(v)- (137) 

Diese Beziehungen sind zwar, wie die Gleichungen (118) 
und (119), zunächst nur für unpolarisierte und nach allen Eich- 
tuDgen gleichmäßige Strahlung abgeleitet, sie besitzen aber auch 
im Falle beliebiger Strahlung allgemeine Gültigkeit für jeden 
einzelnen geradlinig polarisierten Strahl. Denn da sich die 
einzelnen Strahlen gänzlich unabhängig voneinander verhalten und 
fortpflanzen, so kann die Intensität S der Entropiestrahlung eines 
Strahles auch nur von der Intensität der Energiestrahlung ^ 
des nämlichen Strahles abhängen. Jeder einzelne monochro- 
matische Strahl besitzt also außer seiner Energie auch seine 
durch (134) bestimmte Entropie und seine durch (136) bestimmte 
Temperatur. 



96 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodyyiamik 

§ 101« Die hier vorgenommene Erweiterung des Begriffs 
der Temperatur auf einen einzelnen monochromatischen Strahl 
bringt es mit sich, daß in einem von beliebigen Strahlen durch- 
setzten Medium an einer und derselben Stelle des Mediums im 
allgemeinen unendlich viele verschiedene Temperaturen bestehen, 
indem jeder einzelne Strahl, der diese Stelle trifft, seine be- 
sondere Temperatur besitzt, ja daß sogar die in der nämlichen 
Richtung fortschreitenden verschieden gefärbten Strahlen je nach 
der spektralen Energie Verteilung verschiedene Temperaturen auf- 
weisen. Zu allen diesen Temperaturen kommt schließlich noch 
die Temperatur des Mediums selber, welche auch ihrerseits von 
vornherein ganz unabhängig von der Temperatur der Strahlung ist. 
Diese Kompliziertheit der Betrachtungsweise liegt aber ganz in 
der Natur der Sache, und entspricht der Kompliziertheit der 
physikalischen Vorgänge in einem solcherweise durchstrahlten 
Medium. Nur im Falle des stabilen thermodynamischen Gleich- 
gewichts gibt es nur eine einzige Temperatur, die dann dem 
Medium selber und allen dasselbe durchkreuzenden Strahlen 
verschiedener Richtung und verschiedener Farbe gemeinsam ist. 

Auch in der praktischen Physik hat sich die Notwendigkeit, 
den Begriff der Strahlungstemperatur von dem der Körper- 
temperatur zu trennen, schon seit längerer Zeit geltend gemacht. 
So hat man es für vorteilhaft gefunden, neben der wirklichen 
Temperatur der Sonne von einer „scheinbaren" oder „Effektiv"- 
temperatur der Sonne zu sprechen, d. h. von derjenigen Tem- 
peratur, welche die Sonne haben müßte, um der Erde die tat- 
sächlich zu beobachtende Wärmestrahlung zuzusenden, w^enn sie 
wie ein schwarzer Körper strahlen würde. Die scheinbare Tem- 
peratur der Sonne ist nun offenbar nichts anderes als die wirk- 
liche Temperatur der Sonnenstrahlen^, sie hängt lediglich ab 
von der Beschaffenheit der Strahlen, ist also eine Eigenschaft der 
Strahlen und nicht eine Eigenschaft der Sonne. Daher wäre es wohl 
nicht nur bequemer, sondern auch exakter, diese Bezeichnung 
auch direkt anzuwenden, statt von einer doch nur fingierten 
und nur durch Einführung einer in Wirklichkeit unzutreffenden 
Voraussetzung verständlichen Temperatur der Sonne zu reden. 



^ im Durchschnitt genommen, da die Sonnenstrahlen verschiedener 
Farbe nicht genau die nämliche Temperatur besitzen. 



Strahlung von beliebiger spektraler Energieverteilung 97 



In neuerer Zeit haben Helligkeitsmessungen an mono- 
chromatischem Licht L. HoLBOKN und F. Kuelbaum^ zu der 
Einführung des Begriffs der „schwarzen" Temperatur einer 
strahlenden Oberfläche geführt. Die schwarze Temperatur einer 
strahlenden Oberfläche wird gemessen durch die Helligkeit der 
Strahlen, welche sie emittiert, sie ist im allgemeinen für jeden 
einzelnen Strahl von bestimmter Farbe, Richtung und Polarisation; 
den die Oberfläche emittiert, eine besondere, und stellt eben 
einfach die Temperatur dieses Strahles dar. Statt der unendlich 
vielen „schwarzen^^ Temperaturen der emittierenden Oberfläche 
haben wir hier also eine ganz bestimmte wirkliche Temperatur 
eines jeden emittierten Strahles, welche durch seine Helligkeit 
(spezifische Intensität) ^ und durch seine Schwingungszahl v nach 
Gleichung (136) gegeben ist, ohne jede Rücksicht auf seine Ab- 
stammung und auf seine Vorgeschichte. Die numerisch be- 
stimmte Form dieser Gleichung wird unten im § 162 angegeben 
werden. Da ein schwarzer Körper das maximale Emissions- 
vermögen besitzt, so kann die Temperatur eines emittierten 
Strahles niemals höher sein als die des emittierenden Körpers. 

§ 103. Machen wir noch eine einfache Anwendung der 
zuletzt gewonnenen Sätze auf den speziellen Fall der schwarzen 
Strahlung. Für diese ist nach (81) die gesamte räumliche 
Entropiedichte: 

s=:.±aTK (138) 

Also nach (132) die spezifische Intensität der gesamten Entropie- 
strahlung nach irgend einer Richtung: 

L= -^aT^ (189) 

und die gesamte Entropiestrahlung durch ein Flächenelement d er 
nach einer Seite, gemäß (128): 



c 



aT^dddt, (140) 



Wir wollen jetzt als spezielles Beispiel die beiden Hauptsätze 
der Thermodynamik anwenden auf den Fall, daß die Oberfläche 
eines schwarzen Körpers von der Temperatur T allseitig getroffen 
wird von schwarzer Strahlung der Temperatur T'. Dann emittiert 



^ L. HoLBORN und F. Kuklbaüm, Drüdes Ann. 10, p. 229, 1903. 
Planck, Wärmestrahlung, 7 



98 Folgerungen aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik 

der schwarze Körper pro Flächeneinheit und Zeiteinheit nach 
(7) und (76) die Energie: 



4 

und nach (140) die Entropie: 

3 
Dagegen absorbiert er die Energie: ~-T"^ und die Entropie: 

aC_rj,r3 

3 

Nach dem ersten Hauptsatz ist also die dem Körper im ganzen 
zugeführte Wärme, positiv oder negativ, je nachdem T größer 
oder kleiner als T ist: 

und nach dem zweiten Hauptsatz ist die Änderung der Gesamt- 
entropie positiv oder Null. Nun ändert sich die Entropie des 
Körpers um -~^ die Entropie der Strahlung im Vakuum da- 
gegen um: 

ö 

Folghch ist die Änderung der Gesamtentropie des betrachteten 
Systems pro Zeiteinheit und Flächeneinheit: 

^•^^^ + -^(7^^-n^o. 

Diese Beziehung ist in der Tat für alle Werte von T und T 
erfüllt. Denn der Minimalwert des Ausdrucks auf der linken 
Seite ist Null; derselbe wird erreicht für T'= T'. Dann ist der 
Vorgang reversibel. Sobald aber T von T verschieden ist, haben 
wir merkliche Entropievermehrung, der Prozeß ist also irreversibel. 
Im besonderen ergibt sich für T = die Entropievermehrung 
gleich 00, d. h. die Absorption von Wärmestrahlung durch einen 
schwarzen Körper von der absoluten Temperatur Null ist mit 
unendlich großer Entropievermehrung verknüpft, kann also durch 
keine endliche Kompensation rückgängig gemacht werden. Da- 
gegen ist für T' ~ die Entropievermehrung nur gleich — — T^ , 

d. h. die Emission eines schwarzen Körpers von der Tempe- 
ratur T, ohne gleichzeitige Absorption von Wärmestrahlung ist 



Strahlung von beliebiger spektraler Energieverteilung 99 

irreversibel, läßt sich aber durch eine Kompensation von 
mindestens dem angegebenen endlichen Betrage rückgängig 
machen. In der Tat: Läßt man die vom Körper emittierten 
Strahlen wieder auf ihn zurückfallen, etwa durch geeignete 
Spiegelung, so wird der Körper diese Strahlen zwar wieder 
absorbieren, aber notwendigerweise gleichzeitig neue Strahlen 
emittieren, und hierin liegt die vom zweiten Hauptsatz ge- 
forderte Kompensation. 

Allgemein kann man sagen: Emission ohne gleichzeitige 
Absorption ist irreversibel, während dagegen der umgekehrte 
Vorgang: Absorption ohne gleichzeitige Emission, in der Natur 
unmöglich ist. 

§ 103. Ein weiteres Beispiel der Anwendung der beiden 
Hauptsätze der Thermodynamik liefert die oben im § 70 be- 
trachtete irreversible Ausdehnung einer ursprünglich schwarzen 
Strahlung von dem Volumen V und der Temperatur T auf das 
größere Volumen F', aber diesmal bei Abwesenheit jeglicher 
absorbierenden und emittierenden Substanz. Dann bleibt nicht 
nur die Gesamtenergie, sondern auch die Energie jeder einzelnen 
Schwingungszahl v erhalten, also, wenn infolge diffuser Reflexion 
an den Wänden die Strahlung wieder nach allen Richtungen 
gleichförmig geworden ist : UyV = it/ V\ und hierdurch ist nach 
(118) auch Ty, die Temperatur der monochromatischen Strahlung 
von der Schwingungszahl v, im Endzustand bestimmt. Die Aus- 
führung der Berechnung kann allerdings erst mit Hilfe der 
späteren Gleichung (233) erfolgen. Die Gesamtentropie der 
Strahlung, d. h. die Summe der Entropien der Strahlungen 
aller Schwingungszahlen : 






muß nach dem zweiten Hauptsatz im Endzustand größer sein 
als im Anfangszustand. Da T/ für die verschiedenen Schwingungs- 
zahlen V verschiedene Werte besitzt, so ist die Endstrahlung 
nicht mehr schwarz. Daher erhält man durch nachträgliche 
Einbringung eines Kohlestäubchens in den Hohlraum eine end- 
liche Änderung der Energie Verteilung, und die Entropie steigt 
dabei weiter bis auf den in (82) berechneten Wert S\ 



Dritter Abschnitt. 



Emission und Absorption 

elektromagnetisclier Wellen durch einen 

linearen Oszillator. 



Erstes Kapitel. 
Einleitung. Schwingungsgleichung eines linearen Oszillators. 

§ 104. Das Hauptproblem der Theorie der Wärmestrahlung, 
dessen Lösung in diesem Abschnitt vorbereitet werden soll, ist 
die Bestimmung der Energieverteilung in dem von der schwarzen 
Strahlung gelieferten Normalspektrum, oder, was auf dasselbe 
hinauskommt, die Auffindung der im allgemeinen Ausdruck des 
WiENschen Verschiebungsgesetzes (119) noch unbestimmt ge- 
lassenen Funktion F. Zur Behandlung dieser Aufgabe wird es 
nötig sein, näher als bisher auf diejenigen Vorgänge einzugehen, 
welche die Entstehung und die Vernichtung der Wärmestrahlen 
bedingen, also auf den Akt der Emission und den der Absorption. 
Bei der Kompliziertheit dieser Vorgänge und der Schwierigkeit, 
darüber irgendwelche bestimmte Einzelheiten in Erfahrung zu 
bringen, wäre es freilich gänzlich aussichtslos, auf diesem Wege 
irgendwelche sichere Resultate zu gewinnen, wenn nicht als zu- 
verlässiger Führer in diesem dunkeln Gebiete der im § 51 ab- 
geleitete KmCHHOFFSche Satz benutzt werden könnte, welcher 
besagt, daß ein rings durch spiegelnde Wände abgeschlossenes 
Vakuum, in welchem beliebige emittierende und absorbierende 
Körper in beliebiger Anordnung verstreut sind, im Laufe der 
Zeit den stationären Zustand der schwarzen Strahlung annimmt, 
der vollständig bestimmt ist durch einen einzigen Parameter: 



Einleitung. Schwingungsgleichung eines linearen Oszillators 101 

die Temperatur, und insbesondere nicht abhängt von der Anzahl, 
der Beschaffenheit und der Anordnung der ponderablen Körper. 
Es ist also zur Untersuchung der Eigenschaften des Zustandes 
der schwarzen Strahlung ganz gleichgültig, welcher Art die 
Körper sind, welche man im Vakuum befindlich voraussetzt, ja 
es kommt nicht einmal darauf an, ob solche Körper in der 
Natur wirklich irgendwo vorkommen, sondern nur darauf, ob 
ihre Existenz und ihre Eigenschaften mit den Gesetzen der 
Elektrodynamik und der Thermodynamik überhaupt verträglich 
sind. Sobald es nur gelingt, für irgend eine beliebig heraus- 
gegriffene spezielle Art und Anordnung emittierender und ab- 
sorbierender Systeme einen Strahlungszustand im umgebenden 
Vakuum nachzuweisen, der sich durch absolute Stabilität aus- 
zeichnet, so kann dieser Zustand kein anderer sein als der der 
schwarzen Strahlung. 

Von der durch diesen Satz gewährleisteten Freiheit Gebrauch 
machend, wählen wir uns nun unter allen emittierenden und 
absorbierenden Systemen das denkbar einfachste aus, nämlich 
einen einzigen ruhenden Oszillator, bestehend aus zwei mit 
gleichen Elektrizitätsmengen von entgegengesetztem Vorzeichen 
geladenen Polen, welche auf einer festen gerade gerichteten 
Linie, der Achse des Oszillators, gegeneinander beweglich sind. 

Allgemeiner und den natürlichen Verhältnissen näher an- 
gepaßt wäre es freilich, die Schwingungen des Oszillators, wie 
sie durch die Bewegungen der beiden Pole bedingt werden, 
statt mit einem einzigen, mit drei Graden von Bewegungsfreiheit 
auszustatten, d. h. dieselben nicht geradlinig, sondern räumlich 
vorauszusetzen. Diese Annahme läßt sich vollkommen analog 
der hier gemachten einfacheren durchführen, entsprechend der 
Zerlegung einer räumlichen Bewegung in ihre drei geradlinigen 
aufeinander senkrechten Komponenten. Indessen können wir 
uns nach der oben dargelegten prinzipiellen Überlegung, ohne 
eine wesentliche Einbuße in der Allgemeinheit unserer Betrach- 
tungen befürchten zu müssen, von vornherein auf die Behand- 
lung einer einzigen Komponente beschränken. 

Dagegen könnte es prinzipielle Bedenken erregen, daß wir 
uns den ganzen Oszillator als ruhend vorstellen, da doch nach 
der kinetischen Gastheorie in Substanzen von endlicher Tempe- 
ratur alle darin enthaltenen frei beweglichen materiellen Partikel 



102 Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen 

im Mittel eine bestimmte endliche kinetische Energie der fort- 
schreitenden Bewegung besitzen. Indessen läßt sich auch dies 
Bedenken heben durch die Erwägung, daß mit der kinetischen 
Energie noch nicht die Geschwindigkeit festgelegt ist. Man 
braucht nur den Oszillator, etwa in seinem positiven Pole, mit 
einer verhältnismäßig bedeutenden, elektrodynamisch vollkommen 
unwirksamen trägen Masse belastet zu denken, um seine Ge- 
schwindigkeit, bei bestimmter kinetischer Energie, unter jeden be- 
liebigen Betrag herabzudrücken. Diese Überlegung hält natürlich 
auch dann noch Stand, wenn man, wie es jetzt mehrfach ge- 
schieht, alle Trägheit auf elektrodynamische Wirkungen zurück- 
führt. Denn diese Wirkungen sind jedenfalls von ganz anderer 
Art als die im folgenden zu betrachtenden, und können sie daher 
nicht beeinflussen. 

Der Zustand des angenommenen Oszillators sei vollständig 
bestimmt durch sein „Moment'^ f{t)y d. h. durch das Produkt 
aus der elektrischen Ladung des auf der positiven Seite der 
Achse gelegenen Poles in den Polabstand, und durch dessen 
Differentialquotienten nach der Zeit: 

(141) ^ = /»- 

Die Energie des Oszillators sei von der folgenden einfachen 
Form: 

(142) V=^Kf-\-\Lf\ 

wobei K und L positive Konstante bezeichnen, die von der 
Natur des Oszillators in irgend einer, hier nicht näher zu er- 
örternden Weise abhängen. 

§ 105. Würde bei den Schwingungen des Oszillators die 
Energie U genau konstant bleiben, so hätte man: y 

dU= Kfdf-^-Lf df =^0 
oder mit Rücksicht auf (141): 

(143) Kf{t) + Lf{t)=.0 

und daraus ergäbe sich als allgemeine Lösung dieser Differential- 
gleichung eine rein periodische Schwingung: 

f=Ccos{2 7tv^t — 0-) , 
wobei G und & die Integrationskonstanten, und v^ die Schwingungs- 
2ahl pro Zeiteinheit bedeutet: 



Einleitung. Sohwingungsgleichung eines linearen Oszillators 103 



Ein solcher mit konstanter Energie periodisch schwingender 
Oszillator würde weder von dem umgebenden elektromagnetischen 
Felde beeinflußt werden, noch würde er irgendwelche Strahlungs- 
wirkungen nach außen hin ausüben, er könnte also für die 
Wärmestrahlung im umgebenden Vakuum von keinerlei Be- 
deutung sein. 

Nach der Maxwell sehen Theorie bleibt nun aber die 
Schwingungsenergie ü des Oszillators im allgemeinen keineswegs 
konstant, sondern der Oszillator entsendet vermöge seiner Schwin- 
gungen nach allen Richtungen Kugel wellen in das umgebende 
Feld hinaus, und hiermit muß nach dem Prinzip der Erhaltung 
der Energie, wenn nicht andererseits von außen her Wirkungen 
auf den Oszillator ausgeübt werden, notwendig ein Verlust von 
Schwingungsenergie, also eine Dämpfung der Schwingungsampli- 
tude verbunden sein. Wir wollen zunächst den Betrag dieser 
Dämpfung berechnen. 

§ 106. Zu diesem Zweck gehen wir zunächst von folgender 
partikulären Lösung der Maxwell sehen Feldgleichungen (52) aus: 



©, = 



dxdx 
d*F 



c 


dydt 




1 d^F 




c dxdt 


0, 





y dyd% ^i 

wobei die Funktion F von x, y, %, t der Bedingung genügt: 

b'^F 



(145) 



bf" 



= c'^'AF, (146) 



Daß diese Größen wirklich allen ßedingungsgleichungen des 
Feldes genügen, erkennt man direkt durch Substitution in (52). 
Nehmen wir spezieller an, daß die Funktion F außer von 
der Zeit t nur von der Entfernung r des Feldpunktes x, y, % vom 
Anfangspunkt der Koordinaten abhängt, so verwandelt sich die 
Gleichung (146) in: 

b'^F _ _^J_( 2 ^F \ 
bf' ~ r» br \ brj 



104 Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen 



und die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist: 

(147) F=:^f(t-^)+^g(t + ^), 

wobei f und g zwei ganz beliebige Funktionen eines einzigen 
Arguments bedeuten. Die Funktion f entspricht einer Kugel- 
welle, die vom Anfangspunkt der Koordinaten nach außen, die 
Funktion g einer Kugelwelle, die von außen nach dem Anfangs- 
punkt der Koordinaten fortschreitet. Die Welle g kommt in der 
Natur nur unter ganz besonderen Umständen zu stände (vgl. 
unten § 169); wir lassen sie hier fort, da wir jetzt ohnehin 
keinerlei von außen auf den Oszillator fallende Wellen als vor- 
handen annehmen wollen, und erhalten daher: 

(148) F=^f{t-^). 

§ 107. Um nun die physikalische Bedeutung der vorliegen- 
den partikulären Lösung der Maxwell sehen Feldgleichungen 
kennen zu lernen, betrachten wir solche Punkte {x, y, z) des 
Feldes, welche dem Anfangspunkte der Koordinaten so nahe 

liegen, daß für alle Zeiten — /' klein ist gegen f. (Wenn f 

periodisch oder nahezu periodisch ist, so bedeutet dies, daß die 
Entfernung r vom Anfangspunkt klein ist gegen die Wellenlänge 

im Vakuum.) Dann ist auch — / klein gegen /, und a fortiori 

-y/' klein gegen /", und hierdurch vereinfachen sich, wie man 

leicht aus dem Ausdruck (148) von i^ erkennt, die Gleichungen (145) 
folgendermaßen : 

d'^F ^ 1 d'^F 



(149) 



* dxox 
S dyd% 



(S,= 



d''F 



^^x 


C 


dydt 


% 


= — 


1 d^F 


c dxdt 


§. 


= 0. 





Die elektrischen Gleichungen besagen, daß in der Nähe des An- 
fangspunktes der Koordinaten das elektrische Feld den Charakter 
eines elektrostatischen hat: 

r9 F 

(S = grad-^ = -grad7) 



Einleitung. Schwingungsgleichung eines linearen Oszillators 105 



mit der Potentialfunktion ; 



also entsprechend einem nach der positiven ^-Achse gerichteten 
elektrischen Dipol vom Moment f{p). Die magnetischen Gleichungen 
besagen, daß das magnetische Feld in der Nähe des Anfangs- 
punktes der Koordinaten herrührt von einem in der Kichtung der 
;i;-Achse fließenden Stromelement, dessen Intensität multipliziert 
mit der Länge den Wert/(^) besitzt. Dies ist genau dasjenige 
Stromelement, welches durch die Momentänderung des obigen 
Dipols bedingt ist. 

Hierdurch ist gezeigt, daß durch die Gleichungen (145) 
und (148), welche im ganzen unendlichen Räume mit Ausschluß 
des Punktes r = und seiner nächsten Umgebung Gültigkeit 
besitzen, dasjenige elektromagnetische Feld dargestellt wird, 
welches von einem im Koordinatenanfangspunkt befindlichen 
nach der ;^- Achse gerichteten elektrischen Dipol vom Moment f{f) 
hervorgerufen wird. Um diesen Dipol mit dem anfangs be- 
trachteten Oszillator identifizieren zu können, ist nur noch die 
Einführung der Voraussetzung nötig, daß für alle Zeiten die 

Lineardimensionen des Oszillators klein sind gegen die Größe ^, 

also auch, falls der Oszillator periodisch schwingt, klein gegen 
die Wellenlänge dieser Schwingung im Vakuum. Denn sonst 
würde das elektromagnetische Feld in der Nähe des Oszillators 
nicht mehr durch fif) und f [i] allein bestimmt sein, vielmehr 
würde die Schwingung eine merkliche Zeit brauchen, um sich 
von einer Stelle des Oszillators zu einer anderen fortzupflanzen. 
§108. Zur Bestimmung der vom Oszillator ausgestrahlten 
Energie berechnen wir die Energiemenge, welche durch eine 
um den Oszillator als Mittelpunkt beschriebene Kugelfläche 
gemäß dem Poynting sehen Satze nach außen strömt. Doch 
darf man nicht etwa die nach dem genannten Satze in einem 
unendlich kleinen Zeitintervall dt durch die Kugelfläche nach 
außen strömende Energie gleich der während desselben Zeit- 
intervalls vom Oszillator ausgestrahlten Energie setzen. Denn 
im allgemeinen strömt die elektromagnetische Energie nicht 
immer in der Richtung nach außen, sondern sie strömt ab- 
wechselnd hin und her, und man w^ürde auf diese Weise für 



106 Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen 

die Größe der Ausstrahlung zu Werten gelangen, welche bald 
positiv, bald negativ sind und überdies noch wesentlich vom 
Eadius der zugrunde gelegten Kugel abhängen, und zwar in 
der Weise, daß sie mit abnehmendem Radius ins Unbegrenzte 
wachsen, — was dem Begriff der ausgestrahlten Energie wider- 
spricht. Diese wird vielmehr nur dann unabhängig von dem 
Kugelradius r gefunden, wenn man nicht für ein Zeitelement dt, 
sondern für eine endliche, hinreichend groß gewählte Zeit den 
Betrag der im ganzen durch die Kugelfläche nach außen strömen- 
den Energie berechnet. Sind die Schwingungen rein periodisch, 
so kann man dafür die Zeit einer Periode wählen; sind sie es 
nicht, was wir hier der Allgemeinheit wegen annehmen müssen, 
so läßt sich für die mindestens notwendige Größe der Zeit von 
vornherein kein anderes allgemeines Kriterium angeben, als das- 
jenige, daß die ausgestrahlte Energie sich als unabhängig ergibt 
von dem Radius der zugrunde gelegten Kugel. In der Theorie 
der Wärmestrahlung handelt es sich immer um so schnelle 
Schwingungen, daß man hier praktisch stets mit einer gegen 
eine Sekunde sehr kleinen Zeit auskommt. 

Am einfachsten gestaltet sich die Berechnung der durch die 
Kugelfläche strömenden Energie, wenn wir den Radius r der 

Kugel so groß wählen, daß für alle Zeiten — / groß gegen f. 

c 

Dann ist auch — f groß gegen /, und a fortiori ^ / groß gegen f. 
c c 

Hierdurch gehen die Feldgleichungen (145) mit Berücksichtigung 

von (146) und (148) über in: 

®« = ^/t'-y) §. = -^/(^-t) 



^. = -^^f[*-i) 4 = 



Hier sind die Verhältnisse aller Komponenten unabhängig von 
der Zeit, also auch ihre Richtungen konstant, und die Gleichungen: 



Einleitung. Schwingung sgleichung eines linearen Oszillators 107 

zeigen, daß die elektrische Feldstärke ©, die magnetische Feld- 
stärke § und der Radiusvektor r gegenseitig senkrecht stehen. 
Die magnetische Feldstärke steht außerdem senkrecht auf der 
durch die ;?;-Achse und r bestimmten Meridianebene, die elektrische 
Feldstärke liegt also in der Meridianebene. Es sind mithin 
reine Transversalwellen, senkrecht der Meridianebene polarisiert, 
die sich nach außen fortpflanzen, mit der Feldstärke: 



e = ö = 



"j/ic^ + 2/^ pf r\ siiiT?- 



c' r' 



n'-^)=^^'hf) 



wenn & den Winkel des Radiusvektor r mit der ;?;- Achse, der 
Achse des Oszillators, bezeichnet. 

Nun ist nach dem Poynting sehen Satz die in der Zeit dt 
durch das Kugelflächenelement c?o- == r^dQ nach außen strömende 
Energie : 



-^dt d<T e§ = "^/'^[t-^yndt (150) 

=^ -^üinh^^ d& dcp p(t-~]dt, 

also für die ganze Kugelfläche [cp von bis 2;r, ^ von bis n) 
und für das Zeitintervall von ^ bis ^ -f T: 

t + T 

2 



/'-('-t) 



^3 dt 



In diesem Ausdruck kommt der Kugelradius r nur noch in 
dem Argument von /' vor, und in der Tat ist die hier berechnete 
durch die Kugelfläche vom Radius r in der Zeit von t h\^ t -{■ T 
nach außen strömende Energie ofi'enbar gleich der in dem gleich- 
langen, aber um — zurückliegenden Zeitintervall, von t bis 

t y- T, von dem im Mittelpunkt der Kugel befindlichen 

c 

Oszillator ausgestrahlten Energie. 

Daher erhalten wir für die vom Oszillator in der Zeit von t 

bis^+7'ausgestrahlte oder emittierte Energie den Ausdruck: 



<+ T 

2 

Sc» 

t 



ff\i)dt. (151) 



108 Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen 

Nach dem Prinzip der Erhaltung der Energie ist die in der 
Zeit T ausgestrahlte Energie gleich der in der nämlichen Zeit 
erfolgten Abnahme der Schwingungsenergie des Oszillators U, also : 

t-\- T t+ T 

t t 

oder: 

t 

§ 109. Aus dieser für ein relativ großes Zeitintervall T 
gültigen Beziehung läßt sich naturgemäß kein eindeutiger Schluß 
ziehen auf das für jeden einzelnen Zeitpunkt t gültige Schwingungs- 
gesetz des Oszillators, und in der Tat genügen auch die hier 
gegebenen Daten noch durchaus nicht, um den Verlauf der 
Schwingungen, bei gegebenem Anfangszustand, bis ins einzelne 
eindeutig zu bestimmen. Damit eine exakte Lösung des 
Schwingungsproblems überhaupt vorhanden ist, müßte die Natur 
des Oszillators in allen ihren Einzelheiten, an der Oberfläche 
und im Innern, genau bekannt sein. Dann würde aber die Be- 
handlung der Aufgabe mit solchen mathematischen Schwierig- 
keiten verknüpft sein, daß die allgemeine Durchführung der 
Theorie nicht wohl möglich wäre. 

Nun ist zu bedenken, daß es in der ganzen Theorie der 
Licht- und Wärmestrahlung gar nicht auf die exakte Lösung des 
Schwingungsproblems, d. h. auf die absolut genaue Berechnung 
der Schwingungsfunktion f{t) ankommt, sondern nur auf eine 
angenäherte Lösung von demselben Grade der Genauigkeit, wie 
ihn die feinsten physikalischen Messungen liefern können. Diese 
beziehen sich aber, wie schon in § 3 betont wurde, immer nur 
auf solche Zeitintervalle, welche gegen die Dauer einer einzigen 
Schwingungsperiode außerordentlich groß sind. Daher können 
die Ergebnisse auch der feinsten Strahlungsmessungen niemals 
über den Inhalt der Energiegleichung (152) hinausgehen, und 
jede Differentialgleichung iüTf{t), welche mit dieser Gleichung ver- 
träglich ist, liefert für den Oszillator ein zulässiges Schwingungs- 
gesetz. ^ Von dieser Überlegung Gebrauch machend wollen wir 



^ Dies gilt immer, wenn nur hinreichend große Werte von T in 
Betracht kommen. Für kleinere Werte von T läßt sich möglicherweise 



Einleitung. Schwingung sgleichung eines linearen Oszillators 109 

nun aus der Gleichung (152) das denkbar einfachste Schwingungs- 
gesetz für den Oszillator ableiten. 

Würde man den in (152) mit dt multiplizierten Ausdruck 
direkt gleich Null setzen, so erhielte man als Schwingungsgesetz 
eine nichtlineare Differentialgleichung. Daher formen wir das 
Integral noch um, indem wir schreiben: 

tJrT 

4t[^+^ft)-i^ffy*-^- (153) 






Um diese mit (152) ganz identische Gleichung noch weiter zu 
vereinfachen, führen wir eine neue naheliegende Voraussetzung 
ein, die wir fortan stets festhalten wollen, und deren physi- 
kalische Bedeutung im nächsten Paragraph erhellen wird. Wir 
setzen nämlich fest, daß für alle Zeiten: 

~Yff klein gegen U. (154) 

c 

Diese Bedingung läßt sich durch geeignete Wahl der Kon- 
stanten K und L allgemein erfüllen. Denn nach (142) ist im 
allgemeinen : 

]/Z/' von der Größenordnung "^K'f, 

also auch yLf von der Größenordnung yKf oder —7=-f', 

yL 

folglich, durch Substitution in (154): 

oder Tsl/^ klein gegen 1. (155) 

Wir wollen zur Abkürzung schreiben: 

2n 



3c3 



= 0-. (156) 



Nach dieser ein für allemal gemachten Festsetzung, daß ö* 
eine kleine Zahl ist, erhalten wir aus (153) in merklicher 
Annäherung: 



an Stelle der einfachen linearen Differentialgleichung (158) ein anderes 
Schwingungsgesetz aufstellen, das den Vorgängen in der Natur noch besser 
angepaßt ist. 



110 Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen 



t 
und daraus, indem wir den mit dt multiplizierten Ausdruck 
gleich Null setzen und den Wert dU aus (142) substituieren, 
die lineare homogene Differentialgleichung: 

(158) Kf^Lf-^^,f=0 J^\.;, 

als Schwingungsgleichung des Oszillators. Dieselbe unterscheidet 
sich von der Gleichung (143) für ungedämpfte Schwingungen 
durch das Dämpfungsglied mit f^ 

§ 110. um die Differentialgleichung (158) zu integrieren, 
setzen wir: 

(159) /"(!!) = e«« + ~\ 

Dann wird die Differentialgleichung befriedigt, wenn 

(160) ^+L«2_ 2 ^3^^^ 

Diese in co kubische Gleichung hat eine reelle positive Wurzel 
und zwei komplexe Wurzeln. Die erstere hat keine physi- 
kalische Bedeutung, weil hierfür die Funktion f (t) mit wachsen- 
der Zeit ungeheuer große Werte annimmt. Daher berücksichtigen 
wir nur die komplexen Wurzeln, indem wir setzen: 

(161) (o = a±ßi {ß>0) 

und nach Substitution in (160) das Keelle vom Imaginären 
trennen: 

K+L(u' - ß') - ^(«ä - 3«/S^) = 

und: •2Laß-^{Zu^ß-ß^ = Q. 

Die zweite Gleichung ergibt: 

(162) /5^==- ^G^La-^^a- 
und dies in die erste Gleichung substituiert: 

iT + 3 c3 L2 f^ - 8 L «2 _!_ 1^ ^ . 

u C 



^ Eine direkte Ableitung dieser Gleichung aus der Elektronentheorie 
ist kürzlich entwickelt worden von M. Abraham, Elektromagnetische Theorie 
der Strahlung (Leipzig, B. G. Teubner), p. 72, 1905. 



Einleitung, Schwingung sgleichung eines linearen Oszillators 111 

Diese Gleichung in a hat nur eine einzige reelle Wurzel. Schreibt 
man sie mit Benutzung von (156) in der Form: 

+ Sc^L^a — 81/«-^ + — — ^ = 



und bedenkt, daß g eine kleine Zahl ist, so erhellt, daß die 
reelle Wurzel a nahe gleich Null ist, und es ergibt sich mit 
Weglassung der Glieder mit höheren Potenzen von a als erste 
Annäherung: 



9ci 




a = 


4 71^ 


K 


dementsprechend 


nach (162): 





(163) 



(164) 

Die gefundenen Werte von a und ß denken wir uns in (161) 
und in (159) substituiert, setzen dann für «' eine beliebige 
komplexe Konstaute, und erhalten hierauf durch Abspaltung 
des reellen Teiles der Funktion f ip) vom imaginären die reelle 
Lösung der Schwingungsgleichung (158) in folgender Form: 

f{t)^ C'e-'cos[ßt-{)). (165) 

Der Oszillator führt also schwach gedämpfte Schwingungen aus, 
deren Periode und Dämpfung durch die Werte von ß und cc 
bestimmt sind. Die Amplitude C und die Phasenkonstante & 
hängen vom Anfangszustand ab. 

Bezeichnen wir mit v^ die Anzahl der Schwingungen in 
der Zeiteinheit, so ist 

^ -^ (r66) 



27r 2n y L 

also, nach Gleichung (144), bis auf die begangene kleine Ver- 
nachlässigung ebensogroß wie im Falle der ungedämpften 
Schwingungen. 

Für das logarithmische Dämpfungsdekrement der Schwin- 
gungen, d. h. für den natürlichen Logarithmus des Quotienten 

zweier um die Zeit — einer Schwingung auseinanderliegenden 

Werte von f{t) ergibt sich: 



112 Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen 



(167) loge-:=-^ = ^^-,.2.|/^ = ., 

wodurch die oben in (156) zur Abkürzung eingeführte Kon- 
stante G eine einfache physikalische Bedeutung erhält. 

Statt durch die Energiekonstanten K und L kann man die 
Natur des Oszillators auch durch die Schwingungskonstanten v^ 
und G charakterisieren, und erhält dann aus (166) und (167): 

(168) A'=i|i^, i = 4^'^- 



Mit den neuen Konstanten lautet die Schwingungsgleichung (165): 
(169) f{t)= Ce-<^^otcos{27iv^t-^). 

§ 111. Nachdem wir bisher nur solche Schwingungen des 
Oszillators betrachtet hatten, die ohne jede Einwirkung von außen 
erfolgen und daher lediglich in dem Abklingen einer durch einen 
beliebig gegebenen Anfangszustand bedingten Erregung bestehen, 
wollen wir nun auch noch den allgemeineren Fall untersuchen, 
daß gleichzeitig von außen her auf den Oszillator gewisse Wir- 
kungen ausgeübt werden, oder mit anderen Worten, daß der 
Oszillator sich in einem von vornherein gegebenen elektromagne- 
tischen Felde befindet. Die elektrische und die magnetische Feld- 
stärke dieses äußeren Feldes bezeichnen wir von jetzt an mit (£ 
und mit §. Dann erweitert sich die Energiegleichung (157) da- 
durch, daß die Energie U des Oszillators jetzt außer durch die 
Ausstrahlung von Energie auch noch durch die Arbeit geändert 
wird, welche das äußere elektromagnetische Feld an dem Oszillator 
leistet, und diese Arbeit wird, da die Achse des elektrischen 
Dipols mit der ;i;- Achse zusammenfällt, für ein Zeitelement dt 
ausgedrückt durch die Größe {^^'df= (B^-f-dt, wobei ©^ die 
;?;-Komponente der äußeren elektrischen Feldstärke am Orte des 
Oszillators bezeichnet, d. h. derjenigen elektrischen Feldstärke, 
w^elche am Orte des Oszillators bestehen würde, wenn derselbe 
gar nicht vorhanden wäre. Die übrigen Komponenten des 
äußeren Feldes haben keinen Einfluß auf die Schwingungen 
des Oszillators. 

Da nun die Energie U des Oszillators im Zeitelement dt 
um den Betrag der angegebenen äußeren Arbeit vergrößert 



Einleitung. Schwingungsgleichung eines linearen Oszillators 113 



wird, so ist die während der hinlänglich großen Zeit T vom 
Oszillator absorbierte Energie:^ 



t + T 

'^J'-dt (170) 

t 



f' 



und die vervollständigte Energiegleichung (157) lautet: 



t + T 

du 2 

t 



/(- 



Daraus folgt, wenn man wieder den mit dt multiplizierten 
Ausdruck = setzt und den Wert von U aus (142)- substituiert, 
als Schwingungsgleichung des Oszillators: 

I^f+Lf--^f = (S^ (171) 

oder, wenn man nach (168) für die Konstanten K und L die 
Konstanten v^ und cf einführt: 

lß7l^V^^f+47l^vJ'- -2(7f =S(7C^^^. (172) 

Sobald man aus dieser Gleichung mittels des gegebenen 
Anfangszustandes und der gegebenen äußeren Feldstärke (S^ die 
Schwingungsfunktion f{t) des Oszillators berechnet hat, ist auch 
die Aufgabe gelöst, die Rückwirkung des Oszillators auf das 
äußere elektromagnetische Feld zu bestimmen. Denn außerhalb 
des Oszillators superponieren sich die Komponenten des ursprüng- 
lich gegebenen Feldes: die „primäre" Welle und die Kompo- 
nenten der vom Oszillator emittierten Kugelwelle (145): die 
„sekundäre" Welle, wobei F durch (148) gegeben ist, überall 
einfach durch Addition, und damit ist der ganze Vorgang für 
alle Zeiten eindeutig bestimmt. 



* Man sieht hieraus, daß die „absorbierte Energie" im allgemeinen 
auch negativ sein kann, d. h. daß unter Umständen durch die auffallende 
Strahlung dem Oszillator direkt Energie entzogen wird. Beispiele für 
diesen (in der Wärmestrahlung nicht realisierbaren) Fall werden wir im 
ersten Kapitel des fünften Abschnitts finden. 

Planck, Wärmestrahlung. 8 



114 Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen 



Zweites Kapitel. Ein Resonator unter der Einwirkung einer 
ebenen periodisclien Welle. 

§ 113. Als erste Anwendung der Scliwingungsgleichung (172) 
betrachten wir den Fall, daß eine ebene einfach periodische 
Welle, die sich längs der ic- Achse fortpflanzen möge und deren 
elektrische Feldstärke in die Richtung der ;^-Achse fällt, den im 
vorigen Kapitel betrachteten Oszillator trifft. Dann haben wir 
für die primäre, erregende Welle nach den allgemeinen Maxwell- 
schen Gleichungen (52): 

®. = §, = 

e=Ccos^' ^ "^ '^ 



^^{t-~)-^ 



= 



Hierbei ist v die Schwingungszahl, C (positiv) die Amplitude 
und ^ die Phasenkonstante der primären Welle. 

Die Schwingungen des Oszillators werden im allgemeinen 
von seinem Anfangszustand abhängen. Wenn aber die Zeit t 
hinlänglich groß genommen wird, nämlich wenn (Tv^t eine 
große Zahl ist, so wird nach (169) der Anfangszustand für die 
Schwingungen des Oszillators gänzlich bedeutungslos werden, und 
dieselben sind dann durch die primäre Welle allein vollkommen 
bestimmt. In diesem Falle, den wir im folgenden ausschließlich 
betrachten werden, spielt der Oszillator die Rolle eines Reso- 
nators, seine Schwingungen erfolgen in derselben Periode wie 
die der ihn erregenden primären Welle. Setzt man in die 
Schwingungsgleichung (172) den Wert von ©^ für den Ort des 
Oszillators ic = 0: 

(173) (g^= Ccos(27ri/^- ^), 
so ergibt dieselbe integriert: 

(174) /W = ^^°3^cos(2^W-,^-r), 
wobei . 1 

(175) ctg.= -^^. ^^5^-'! 

Um den Winkel y eindeutig zu bestimmen, setzen wir noch 
fest, daß er zwischen und n liegt. Dann ist sin;^ ebenso 
wie C stets positiv. 



Tfy^ 0*0 ' V 



M 



<r^' 



Ein Resonator unter d. Mnwirkung einer ebenen period. Welle 115 



§ 118. Wenn das Verhältnis der Schwingungszahl v der 
primären Welle zu der Eigenschwingungszahl Vq des Resonators 
mittelgroß und von 1 merklich verschieden ist, so nimmt, da c 
eine kleine Zahl ist, ctg y große Werte an, positiv oder negativ, 
je nachdem v kleiner oder größer als v^. Dadurch wird der 
Winkel y nahezu oder nahezu ti, und die dem sin/ pro- 
portionale Schwingungsamplitude des Eesonators wird klein. 
Auch für die Grenzfälle v — und v = cc werden die Schwin- 
gungen des Resonators unmerklich, da in beiden Fällen der 

Quotient -^^^ kleine Werte annimmt. Damit also ein merk- 
liches Mitschwingen des Resonators stattfindet, müssen die 
Schwingungszahlen v und v^ nahezu übereinstimmen. In diesem 
Falle weicht die Phase der Resonatorschwingung merklich ab 
von der der primären Welle, da der Phasenunterschied gerade / 
beträgt. Für v =^ v^ wird die Schwingungsamplitude des Reso- 
nators ein Maximum, und der Phasenunterschied / wird gleich ^ . 

Li 

Dann geht in demselben Augenblick, wo die äußere Feldstärke (S^ 
ihren Maximalwert erreicht, fit) durch Null hindurch, d. h. der 
elektrische Dipol ist in diesem Augenblick ungeladen und daher 
der Ladungsstrom fit) in ihm in der größten Entwickelung 
begriffen. Überhaupt ist dann fit) einfach proportional (g^, 
und damit die vom Resonator absorbierte Energie (170) ein 
Maximum. 

§ 114. Im allgemeinen Falle, bei beliebigem Verhältnis 
von V zu i/q, ist die vom Resonator absorbierte Energie nach (170) 
pro Zeiteinheit: 



tJ 



f dt=Wt\ 



wo der Wert von (B^ aus (173) zu entnehmen ist, während / 
sich nach (174) ergibt zu: 

t = ^^i;^^ sin (2 Tri; ^-19- -7) (176) 

= Q^ % i [sm (2;r vt — &) cos / — cos [2n vt — &) sm ;'] . 

Bedenkt man nun, daß der zeitliche Mittelwert von sin(27ivt — &) 
cos{27i vt — Ü-) gleich Null, und der von cos2(2;r vt — &) gleich i 

8* 



116 Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen 



ist, so folgt für die pro Zeiteinheit vom Resonator absorbierte 
Energie: 

also positiv. Da der ganze Vorgang periodisch ist, so muß 
diese Energie zugleich auch die emittierte Energie darstellen. 
In der Tat ergibt sich aus (176): 

t = ^ COS (2 TT vt — ß- — y) 

und für die vom Resonator pro Zeiteinheit emittierte Energie 
nach (151): 

_2_T:2_ 3c^(7^sin^y 

Für den zeitlichen Mittelwert der Energie des Resonators ergibt 
sich aus (142) und (168) auf ähnliche Weise: 

(178) ^ 3c3.„(V+^-) ^2si^2 

§ 115. Fassen wir nun die Rückwirkung der Resonator- 
schwingungen auf die primäre Welle kurz ins Auge. Während 
sich die Komponenten der Feldstärken der primären und der 
sekundären, vom Resonator emittierten Welle überall einfach 
durch Addition übereinanderlagern, ist das mit den Energie- 
strahlungen keineswegs der Fall. Denn schon aus dem Umstand, 
daß der Resonator vermöge seiner Schwingungen nach allen 
Richtungen des Raumes Energie durch Strahlung emittiert, 
folgt nach dem Prinzip der Erhaltung der Energie, daß er 
durch seine Schwingungen gleichzeitig der primären Welle 
Energie entziehen muß. In der Tat ergibt sich bei näherer 
Betrachtung, daß die primäre und die sekundäre Welle da, wo 
sie sich gemeinsam fortpflanzen, nämlich in denjenigen vom 
Resonator ausgehenden Richtungen, die mit der positiven aj-Achse 
kleine Winkel bilden, stets in der Weise interferieren, daß sie 
sich gegenseitig schwächen, und eine direkte Berechnung der 
Energieströmung nach dem Poynting sehen Satz, auf die aber 
hier nicht näher eingegangen zu werden braucht, zeigt, daß die 
Schwächung der primären Welle im gaazen genommen gerade 
gleich ist der vom Resonator absorbierten Energie. Der Resonator 



Ein Resonator unter d. Einwirkung stationärer Wärmestrahlung 117 

absorbiert also pro Zeiteinheit aus der primären Welle einen 
bestimmten, durch (177) ausgedrückten Energiebetrag und zer- 
streut ihn nach allen Kichtungen. 



Drittes Kapitel. Ein Resonator unter der Einwirkung stationärer 
Wärmestrahlung. Entropie und Temperatur des Resonators. 

§ 116. Nachdem wir im vorigen Kapitel die Schwingungs- 
gleichuijg (172) eines linearen Oszillators auf den speziellen Fall 
angewendet haben, daß eine ebene periodische Welle als Erreger 
dient, wollen wir uns jetzt den Oszillator einer stationären 
Wärmestrahlung ausgesetzt denken. Dieser Fall unterscheidet 
sich insofern wesentlich von dem vorigen, als eine ebene 
periodische Welle niemals, auch nicht bei entsprechend großer 
Schwingungszahl, als Wärmestrahlung gedeutet werden kann. 
Denn zu einer endlichen Wärmestrahlungsintensität gehört 
nach § 16 immer auch ein endlicher Öffnungswinkel der Strahlen, 
und nach § 18 immer ein Spektralbezirk von endlicher Breite. 
Eine absolut ebene und absolut periodische Welle besitzt aber 
den Öffnungswinkel Null und die Spektralbreite Null. Daher 
kann auch bei einer ebenen periodischen Welle weder von 
Entropie noch von Temperatur der Strahlung die Eede sein. 
Die nähere Erklärung dieses für die elektromagnetische Theorie 
der Wärmestrahlung prinzipiell wichtigen Umstandes werden wir 
im nächsten Abschnitt kennen lernen. 

Wir stellen uns also nun den Oszillator in einem allseitig 
durch vollständig reflektierende Wände begrenzten, von beliebiger 
Wärmestrahlung erfüllten Vakuum befindlich vor. Dann wird 
sich im Verlauf der Zeit, wie in jedem nach außen abgeschlossenen, 
mit beliebiger emittierender und absorbierender Substanz be- 
setzten Eaum, ein stationärer Zustand herausbilden, in welchem 
das Vakuum von unpolarisierter, nach allen Richtungen gleich- 
mäßiger Wärmestrahlung durchzogen wird. Von dieser Wärme- 
strahlung absorbiert und emittiert der Oszillator nur solche 
Strahlen, deren Schwingungszahl nahe gleich v^ ist; folglich übt 
er auf diese, und nur auf diese, einen Einfluß aus. Für alle 
übrigen Strahlenarten verhält er sich wie eine diathermane 
Substanz: sie streichen über ihn hinweg, ohne ihn zu alterieren 
oder von ihm alteriert zu werden. 



118 Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen 



§ 117. Wir fragen nun nach dem Zusammenhang, welcher 
nach Eintritt des stationären Zustandes zwischen den Resonator- 
schwingungen und der Wärmestrahlung im Vakuum besteht. 
Die Gleichung (172) verlangt nur die Berücksichtigung der 
Komponente (£^ der erregenden Welle am Orte des Oszillators 
als Funktion der Zeit. Diese Größe setzt sich aus allen den 
Oszillator treffenden Wärmestrahlen zusammen und läßt sich, 
wie kompliziert sie auch sein möge, für ein begrenztes Zeit- 
intervall, etwa von t =^ bis t = %, als FouEiERSche Reihe 
schreiben: 

(179) e. = ^\cos(l^-^..), 

71 = 

wobei die Summation über alle positiven ganzen Zahlen n zu 
erstrecken ist, während die Konstanten C^ (positiv) und i^-^ von 
Glied zu Glied beliebig variieren können. Das Zeitintervall %, 
die Grundperiode der Foueiee sehen Reihe, wollen wir so groß 
wählen, daß alle Zeiten t, die wir in der Folge betrachten, in 
dies Zeitintervall hineinfallen, also < ^ < S. Daher ist jeden- 
falls das Produkt v^X eine ungeheuer große Zahl. Außerdem 
aber wollen wir immer t so groß nehmen, daß der Zustand des 
Oszillators zur Zeit t = auf die Vorgänge zur Zeit t gar nicht 
mehr von Einfluß ist. Dies erfordert, nach (169), daß das 
Produkt (jv^t, und um so mehr 

(180) (tVq% eine große Zahl 

ist. Diese Bedingungen lassen sich ohne weiteres erfüllen, da 
ja die Größe von % nach oben hin durch nichts begrenzt ist. 
§ 118. Wenn wir auch über die Funktion ©^ im einzelnen 
nichts wissen, so steht sie doch in einem angebbaren Zusammen- 
hang mit den Eigenschaften der Wärmestrahlung. Zunächst 
haben wir für die räumliche Strahlungsdichte im Vakuum nach 
der Maxwell sehen Theorie: 

Da nun wegen des stationären, nach allen Richtungen gleich- 
mäßigen Strahlungszustandes die genannten sechs Mittelwerte 
einander gleich sind, so folgt: 

471 



Ein Resonator unier d. Einwirkung stationärer Wärmestrahlung 119 
und aus (179): 

ferner für die spezifische Intensität der in irgendeiner Richtung 
fortschreitenden Strahlung nach (21): 

^=1^ = ^2'«- (182) 

§ 119. Nehmen wir nun auch die spektrale Zerlegung der 

letzten beiden Gleichungen vor. Zunächst haben wir nach (22): 

u=jyx^dv^-f^^Cl. (183) 



Auf der rechten Seite der Gleichung zerfällt die Summe 2 i^ 
die einzelnen den Ordnungszahlen n entsprechenden Glieder, von 
denen jedes einer einfach periodischen „ Partiais chwingung" mit 

der Schwingungszahl v == ^ entspricht. Genau genommen stellt 

diese Beziehung keine stetige Aufeinanderfolge von Schwingungs- 
zahlen V dar, da n eine ganze Zahl ist. Aber n ist für die 
hier in Betracht kommenden Schwingungszahlen so ungeheuer 
groß, daß die den fortlaufenden Werten von n entsprechenden 
Schwingungszahlen v sehr dicht beieinander liegen. Daher 
umfaßt auch das Intervall dv, obwohl gegen v unendlich klein, 
dennoch eine große Anzahl von Partialschwingungen , etwa n', 

wobei: .,/ 

dv^^- (184) 

Setzen wir nun in der Gleichung (183) die dem Intervall dv ent- 
sprechenden Energiedichten, die ja von denen der übrigen 
Spektralbezirke unabhängig sind, auf beiden Seiten einander 
gleich, so ergibt sich: 

n 

oder nach (184): 

n •\- n' 

^% 1 ^T^^o 32 



Stt 



^2'^"=l^-^"' (185) 



wobei wir mit Cl den Mittelwert von Gl in dem Intervall von 
n bis 71 -\- n bezeichnen. Daß ein solcher Mittelwert, dessen 
Größe unabhängig ist von n\ falls nur n' klein gegen n ge- 



120 Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen 

nommen wird, überhaupt existiert, ist natürlich nicht von vorn- 
herein selbstverständlich, sondern durch eine besondere, der 
stationären Wärmestrahlung eigentümliche Eigenschaft der 
Funktion ©^ bedingt. Dagegen läßt sich, da viele Glieder zu dem 
Mittelwert beitragen, über die Größe eines einzelnen Gliedes Gl 
gar nichts aussagen, und ebensowenig etwas über den Zusammen- 
hang zweier aufeinanderfolgender Glieder. Dieselben sind viel- 
mehr als völlig unabhängig voneinander anzusehen. 

In ganz ähnlicher Weise ergibt sich mit Benutzung von (24) 
für die spezifische Intensität eines monochromatischen geradlinig 
polarisierten, nach irgendeiner Richtung fortschreitenden Strahles : 

(186) ^'=-^^i- 

Man ersieht hieraus u. a., daß nach der elektromagnetischen 
Strahlungstheorie ein monochromatischer Licht- oder Wärme- 
strahl keineswegs durch eine einzelne einfach periodische Welle 
dargestellt wird, sondern stets durch eine Übereinanderlagerung 
einer großen Anzahl von einfach periodischen Wellen, aus denen 
die Intensität des Strahles durch Bildung eines Mittelwertes sich 
zusammensetzt. Dem entspricht auch die aus der Optik be- 
kannte Tatsache, daß zwei Strahlen von derselben Farbe, aber 
verschiedener Herkunft niemals miteinander interferieren, was 
notwendig der Fall sein müßte, wenn jeder Strahl einfach 
periodisch wäre. 

§ 130, Nachdem wir den Zusammenhang der den Eesonator 
erregenden Schwingung (£^ mit der im Vakuum stattfindenden 
Wärmestrahlung, soweit er sich angeben läßt, festgestellt haben, 
berechnen wir die entsprechende Schwingung des Resonators, 
die sich aus (172) und (179) durch einen einfachen Vergleich 
mit (174) und (175) folgendermaßen ergibt: 

n = 

wobei gesetzt ist: 

(188) ^=-« und ctg;'„ = ^ 



Zunächst erkennt man hieraus, wie schon in § 113 bemerkt 
wurde, daß nur diejenigen in ©^ enthaltenen Partialschwingungen 



Mn Besonator unter d. Einwirkung stationärer Wärmestrahlung 121 



merklichen Einfluß auf die Schwingungen des Resonators haben, 
für welche — nahe gleich 1 ist. Wenn v von einem Werte, 

der merklich kleiner ist als ?^, durch v^ hindurch zu einem 
Werte, der merklich größer ist als v^, übergeht, so wächst 
der Winkel y von durch ^ hindurch bis n. Je kleiner das 

Dämpfungsdekrement a des Resonators ist, um so schmaler ist 
das Gebiet der Schwingungszahlen v, in welchem y von oder 
von n merklich verschieden ist, und um so steiler erfolgt inner- 
halb dieses Gebietes das Anwachsen des Winkels y von bis n. 
Jedoch ist wichtig zu bemerken, daß, wie klein auch g sei, für 
zwei benachbarte Glieder der Summe 2? z* ß- ^^^ ^^^ Ordnungs- 
zahlen n und n -{- 1, y stets nur sehr wenig verschiedene Werte 
annimmt. Denn es ist nach (188): 

ctgr„ + i - Ctg/, = ^^^^^^^^ —, 

271 



also nach (180) klein. Bei dieser Berechnung ist davon Ge- / 
brauch gemacht, daß n groß gegen 1 und daß — nahe = 1. '~~^ 

Man kann also sagen, daß der Winkel y zwar schnell, aber 
doch merklich stetig von bis tt wächst, wenn v durch v^ 
hindurchgeht. Ganz anders verhalten sich die Größen C^ 
und ^ , die sich von einem Glied der Foueier sehen Reihe 
zum andern sprungweise und gänzlich unregelmäßig ändern 
können. 

§121. Die vom Resonator in der Zeiteinheit absorbierte 
Energie ergibt sich nach (170) durch die Bildung des zeitlichen 
Mittelwertes von ^J, wobei ©^ aus (179), und /" aus (187) zu 
entnehmen ist. Die Berechnung ergibt ganz analog dem Aus- 
druck (177): 

71 = 00 

n = 

Man ersieht auch hier wieder, daß nur diejenigen Partial- 
schwingungen vom Resonator merklich absorbiert werden, deren 
Schwingungszahl v der Eigenschwingungszahl v^ des Resonators 







122 Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen 



nahe liegt; denn nur für diese weicht ^" merklich von 

Null ab. 

Dividieren wir die vom Resonator absorbierte Energie durch 
die spezifische Intensität ^^ der auf ihn treffenden monochro- 
matischen Strahlung von der Schwingungszahl v^^, so erhalten 
wir eine Größe, die wir als ein Maß für das Absorptions- 
vermögen des Resonators ansehen können. 

§ 122. Jetzt führen wir den zwar nicht von vornherein 
selbstverständlichen, aber durch die elementarsten Erfahrungen 
auf dem Gebiete der Wärmestrahlung bewährten und von uns 
schon seit dem § 12 fortwährend benutzten Satz ein, daß das 
Absorptionsvermögen unabhängig ist von der Intensität der auf- 
fallenden Strahlung. Für den vorliegenden Fall ergibt sich dann 
durch Vergleichung von (189) und (18ö), daß der Quotient 



(190) 



2' 





C^sin^j^« 



ZGl 



= A 



unabhängig ist von den Amplituden C,^. Der Wert von A läßt sich 
leicht aus dem speziellen Fall ableiten, daß alle Amplituden C^ 
einander gleich sind. Dann wird der Mittelwert Gl gleich Gl 
selber, und es folgt: 





Der Wert der Summe 2 ^^^^ sich am einfachsten berechnen 
durch Verwandlung in ein Integral. Wir schreiben zunächst: 



wobei A n, die Differenz zweier aufeinanderfolgenden Ordnungs- 
zahlen, gleich 1. Die entsprechenden Schwingungszahlen seien v 

und V + dv, dann ist -^r- = dv, und: 



A^f^är, 



WO nun y^ nach § 120 sich stetig mit v ändert. Die Substitution 
von (188) ergibt: 



Ein Resonator unter d. Einwirkung stationärer Wärmestrahlung 123 



A= ■ '" 






Zum Werte dieses Integrals tragen nur diejenigen Glieder merk- 
lich bei, für welche v nahezu gleich v^ ist. Daher läßt sich 
einfacher schreiben: 

CO 

^ - j_ r d^ 



1 + 2 2 





und, wenn man statt v als Integrationsvariable einführt: 

2n{v - Vq) 



X = 



+ 00 



. _ (7 r dX _ (T 

Somit erhalten wir aus (190): 

-^ C ^ sin' Yn 0- — 



und aus (186) für die spezifische Intensität der monochromatischen 
Strahlung von der Schwingungszahl v^ : 

Ü 

Ebensogroß wie die vom Resonator in der Zeiteinheit absorbierte 
Energie (189) ist wegen des stationären Zustandes die von ihm 
in der Zeiteinheit emittierte Energie, wie man auch direkt 
durch Berechnung der Größe (151) mit Benutzung von (187) 
finden kann. 

§ 133. Für den zeitlichen Mittelwert der Energie des 
Eesonators endlich ergibt sich aus (142), (168) und (187) durch 
einen Vergleich mit (178): 





oder auch, da zum Wert der Summe nur diejenigen Glieder 



n:^ x/ cju^ «r^A^r^^ 




124 Emission und Absorption elektro^nagneiischer Wellen 

merklich beitragen, deren Schwingungszahl i/ der Eigenschwingungs- 
zahl Vq des Resonators nahe liegt: 

CO >-, n . o 



Durch Vergleich mit (192) ergibt sich so die einfache Be- 
ziehung: 

(193) f/ = ^^o 

zwischen der mittleren Schwingungsenergie des Resonators und 
der spezifischen Strahlungsintensität eines monochromatischen 
geradlinig polarisierten Strahles von der Periode des Reso- 
nators. Hierbei ist besonders bemerkenswert, daß die Dämpfungs- 
konstante G des Resonators in diese Relation gar nicht eingeht. 
Ferner erhält man mit Rücksicht auf (24): 



(194) ü 



C^Uo 



als Beziehung zwischen der mittleren Energie des Resonators 
und der räumlichen Strahlungsdichte der Schwingungszahl v^ im 
stationären Strahlungszustand. 

Endlich ergibt sich durch Vergleichung mit (185): 

wodurch die Energie des Resonators direkt in Zusammenhang 
gebracht wird mit der elektrischen Feldstärke (179) der ihn er- 
regenden Welle. Der Mittelwert von C« ist, wie in (185), zu 
bilden aus einer großen Anzahl von Partialschwingungen, deren 
Schwingungszahlen v der Eigenzahl v^ des Resonators nahe 
liegen. 

§ 124. Wir denken uns nun mit dem betrachteten System, 
das aus einem gleichmäßig durchstrahlten, von vollständig und 
diffus reflektierenden Wänden begrenzten Vakuum und dem 
darin befindlichen ruhenden Resonator besteht, eiue unendlich 
kleine reversible Zustandsänderung vorgenommen, etwa so, daß 
wir die Strahlung adiabatisch und unendlich langsam kom- 
primieren, wie das im vorigen Abschnitt beschrieben wurde. 
Dann bleibt nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik 
die Gesamtentropie des Systems ungeändert, dagegen wird durch 



Ein Resonator unier d. Einwirkung stationärer Wärmestrahlung 125 

die Kompression die Intensität ^ jeder einzelnen Schwingungs- 
zahl verändert, und infolgedessen auch die Energie U des Reso- 
nators. Denn diese ist im stationären Zustand nach (193) pro- 
portional der Intensität ^^ der ihn erregenden monochromati- 
schen Strahlung. Der Resonator wird also einen Teil der durch 
die Kompression erzeugten Strahlungsenergie absorbieren und 
diesen Energiebetrag der freien Wärmestrahlung im Vakuum 
entziehen. 

Zur bequemeren Übersicht können wir uns jeden unend- 
lich kleinen Kompressionsvorgang so in zwei Epochen zerlegt 
denken, daß in der ersten Epoche die Kompression stattfindet 
und dabei die Strahlung sich verhält, als ob der Resonator gar 
nicht vorhanden wäre, und daß dann in der zweiten Epoche 
der Resonator soviel Energie aus der ihn erregenden Strahlung 
absorbiert, daß die durch die Vorgänge der ersten Epoche ge- 
störte Beziehung (193) wieder in Gültigkeit tritt. Während der 
ersten Epoche bleibt nach den Ergebnissen des vorigen Ab- 
schnitts die Entropie der Wärmestrahlung im Vakuum für sich 
konstant; während der zweiten Epoche aber ändert sich die 
Entropie der Wärmestrahlung durch Abgabe von Wärme an 
den Resonator. Da nun die Gesamtentropie des Systems kon- 
stant bleiben muß, so folgt daraus, daß nicht nur der freien 
Wärmestrahlung, sondern auch dem Resonator eine 
Entropie zukommt, deren Änderung die Entropieänderung 
der freien Wärmestrahlung gerade kompensiert. Da der thermo- 
dynamische Zustand des Resonators allein von seiner Energie U 
abhängt, so ist auch die Entropie S des Resonators durch ZJ bestimmt. 

§ 135. Es ist leicht, die Beziehung zwischen der Entropie 
des Resonators und der räumlichen Entropiedichte der mono- 
chromatischen Vakuumstrahlung von der Schwingungszahl v^ im 
stationären Zustand aufzustellen. Denn nach dem zweiten 
Hauptsatz ist der stationäre Zustand unter allen Zuständen 
dadurch ausgezeichnet, daß in ihm die Gesamtentropie des 
Systems ein Maximum besitzt. Die Gesamtentropie besteht aber 
aus der Entropie des Resonators: S, und aus der Entropie (113) 
der äußeren Strahlunnc: 



V 



'J^dv, 



126 Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen 



wobei V das Volumen des gleichmäßig durchstrahlten Vakuums 
bedeutet. Dann ist also für den absolut stabilen Strahluugs- 
zustand, d. h. für einen Resonator in einem von schwarzer 
Strahlung erfüllten Vakuum von bestimmtem Volumen: 

CO 

dS-^ V Cs^ dv=^0 



00 

oder; A^Sü+ V f^d\idv==0. 

du J ^'^ 

u 

Die einzige Bedingung, welcher die Variation 8 zu genügen hat, 
ist die, daß die Gesamtenergie des Systems die nämliche 
bleibt, also: 

00 

8U+vJ8\xdv=:-0. 



Wir wollen nun die räumliche Energiedichte u und infolgedessen 
auch die räumliche Entropiedichte § aller Strahlenarten unvariiert 
lassen bis auf einen schmalen Spektralbezirk in der Umgebung 
der Schwingungszahl v^, von der Breite Av^, wobei Av^ klein 
gegen v^^ im übrigen aber beliebig ist. Dann reduzieren sich 
die letzten Gleichungen auf: 



und 

Hieraus folgt: 
(196) 



l^8U-\-Vp^8viAv.=0 
du o Uo " 

8U-\- V 8\\ At> =0. 



dS 
dU 



Die vier Größen S, U, §q, u^ hängen, bei gegebenem v^, von einer 
einzigen Variabein ab. Denn S ist eine bestimmte Funktion 
von U, §>Q eine solche von u^, und U ist mit u^ durch die Be- 
ziehung (194) verbunden. Man kann daher, bei konstantem v^, 

auch schreiben: 

dS ^ dü^ ^ c^ 

d§Q ~~ dUo ~~ Sttj'o^ 

und erhält hieraus durch Integration, mit Fortlassung der 
physikalisch bedeutungslosen Integrationskonstanten: 



Ein Resonator unter d. Einwirkung stationärer Wärmestrahlung 127 



s = ^r--^h (197) 

als Beziehung zwischen der Entropie des Resonators und der 
räumlichen Dichte der Strahlungsentropie von der Schwingungs- 
zahl Vq im stationären Zustand. Ferner nach (133): 

5 = ^S„ (198) 

als Beziehung zwischen der Entropie des Resonators und der 
spezifischen Intensität der monochromatischen geradlinig polari- 
sierten Entropiestrahlung von der Schwingungszahl v^, 

§ 136. Die Gleichung (196) besitzt eine einfache physi- 
kalische Bedeutung, sie liefert nämlich mit Rücksicht auf (117): 

|^ = ]r. (199) 

wobei T die Temperatur der den Resonator erregenden Strahlung 
bedeutet. Wenn wir also allgemein den reziproken Wert der 

d 9 

Größe -fjT 1 welche nur von der Energie und der natürlichen 

Beschaffenheit des Resonators abhängt, als „Temperatur des 
Resonators" definieren, so gilt der Satz, daß im stationären 
Strahlungszustand die Temperatur des Resonators 
gleich ist der Temperatur der ihn erregenden mono- 
chromatischen Strahlung. 

§ 127. Über die Abhängigkeit der Entropie Ä eines Reso- 
nators von seiner Energie U kann man etwas erfahren aus dem 
Wien sehen Verschiebungsgesetz, indem man etwa in die Form (134) 
desselben v — v^, und für 2^ und ^^ die sich aus (198) und (193) 
ergebenden Werte setzt. Man erhält dann: 



S 



= f[-^), (200) 



wobei die Funktion F außer ihrem Argument nur universelle 
Konstante enthält, also namentlich auch keine auf die natür- 
liche Beschaffenheit des Resonators bezügliche Konstante. Dies 
ist die einfachste unter allen bisher von uns auf- 
gestellten Formen des WiENschen Verschiebungs- 
gesetzes, da die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c in ihr über- 
haupt nicht, und die Schwingungszahl v^ nur ein einziges Mal 
in der ersten Potenz vorkommt. Es ist auch leicht zu ver- 



128 Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen 



stehen, daß die Einfachheit der mathematischen Relation ihren 
Grund haben wird in der Einfachheit des durch die Resonator- 
schwingungen dargestellten physikalischen Vorganges. 

Dieser Umstand läßt darauf schließen, daß von dieser ein- 
fachen Beziehung aus am ehesten ein Einblick in die Natur 
der Verschiebungsfunktion F zu gewinnen sein wird. Wenn die 
analytische Form dieser universellen Funktion gefunden ist, so 
ergibt sich nach § 92 f. ohne weiteres daraus das Gesetz der 
Energieverteilung im Normalspektrum. Eine Lösung dieser Auf- 
gabe scheint aber nicht möglich zu sein ohne ein näheres Ein- 
gehen auf den Begriff der Entropie, und dieser Begriff wird, vom 
Standpunkte der elektromagnetischen Strahlungstheorie aus, erst 
dann vollkommen verständlich, wenn man ihn mit dem der 
Wahrscheinlichkeit in Zusammenhang bringt, wie im nächsten 
Abschnitt näher ausgeführt werden soll. 



Vierter Abschnitt. 

Entropie und Wahrscheinlichkeit. 



Erstes Kapitel. Einleitung. Grundlegende Sätze und Definitionen. 

§ 128. Da mit der Einführung von Wahrscheinlichkeits- 
betrachtungen in die elektromagnetische Strahlungstheorie ein 
vollkommen neues, den Grundlagen der Elektrodynamik gänz- 
lich fremdes Element in den Bereich der Untersuchungen ein- 
tritt, so erhebt sich gleich zu Beginn dieses Abschnitts die 
prinzipielle Vorfrage nach der Berechtigung und nach der 
Notwendigkeit solcher Betrachtungen. Man könnte nämlich bei 
oberflächlicher Überlegung leicht zu der Schlußfolgerung neigen, 
daß für Wahrscheinlichkeitsrechnungen in einer rein elektro- 
dynamischen Theorie überhaupt kein Platz vorhanden wäre. 
Denn da die elektromagnetischen Feldgleichungen zusammen 
mit den Anfangs- und den Grenzbedingungen den zeitlichen 
Verlauf eines elektrodynamischen Vorganges bekanntlich ein- 
deutig bestimmen, so wären Betrachtungen, die außerhalb der 
Feldgleichungen stehen, prinzipiell unberechtigt, in jedem Falle 
aber entbehrlich. Entweder führen sie nämlich zu denselben 
Ergebnissen wie die elektrodynamischen Grundgleichungen — 
dann wären sie überflüssig; oder sie führen zu anderen Er- 
gebnissen — dann wären sie unrichtig. 

Trotz dieses scheinbar unausweichlichen Dilemmas steckt 
in jener Überlegung doch eine Lücke. Denn die Ergebnisse, 
zu denen in der elektromagnetischen Wärmestrahlungstheorie die 
elektrodynamischen Grundgleichungen allein genommen führen, 
sind keineswegs eindeutig, sondern sie sind im Gegenteil viel- 
deutig, und sogar von unendlich hoher Ordnung vieldeutig. 
Knüpfen wir, um dies einzusehen, an das spezielle im letzten 

Planck, Wärmestrahlung. 9 



130 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



Kapitel betrachtete Beispiel an, daß ein Resonator von der dort 
betrachteten elementaren Art sich in einem nach allen Rich- 
tungen gleichmäßig durchstrahlten Vakuum befindet. Wir zogen 
dort den Schluß, daß sich im Laufe der Zeit ein stationärer 
Schwingungszustand herstellt,, in welchem die vom Resonator in 
der Zeiteinheit absorbierte und emittierte Energie einen kon- 
stanten, der Intensität ^^ der ihn erregenden monochromatischen 
Strahlung proportionalen Wert besitzt. Aber diesen Schluß 
konnten wir, wie zu Beginn des § 122 ausdrücklich hervor- 
gehoben wurde, nur thermodynamisch, keineswegs elektro- 
dynamisch begründen, während man doch vom Standpunkt der 
elektrodynamischen Strahlungstheorie aus verlangen müßte, daß, 
wie alle Begriffe^ so auch alle Sätze der Wärmestrahlung aus 
rein elektrodynamischen Überlegungen heraus entwickelt werden. 
Wollte man nun versuchen, den allgemeinen Zusammenhang 
zwischen der vom Resonator absorbierten Energie und der 
Intensität der ihn erregenden Strahlung ganz ohne die Ein- 
mischung thermodynamischer Erfahrungen auf rein elektro- 
dynamischem Wege abzuleiten, so würde man bald finden, daß 
es einen solchen allgemeinen Zusammenhang gar nicht gibt, 
oder mit anderen Worten, daß man über die vom Resonator 
absorbierte Energie, bei gegebener Intensität der ihn erregenden 
Strahlung, vom Standpunkt der reinen Elektrodynamik aus über- 
haupt gar nichts aussagen kann, solange von den Werten der 
Amplituden G^ und der Phasenkonstanten &^ der einzelnen in 
der erregenden Strahlung enthaltenen Partialschwingungen nichts 
Näheres bekannt ist. Denn sowohl die absorbierte Energie als 
auch die Intensität der erregenden Strahlung werden durch ge- 
wisse Mittelwerte dargestellt, die aus den Größen C„ und ß-^ 
jedesmal in verschiedener Weise zu bilden sind, und die daher 
nicht allgemein aus einander berechnet werden können, ebenso- 
wenig, wie man etwa den Mittelwert von C^^ aus dem Mittelwert 
von Cn allgemein berechnen kann. Wenn also auch die Intensität 
der Strahlung, die von allen Seiten auf den Resonator fällt, für 
alle Spektralbezirke als Funktion der Richtung und eventuell der 
Zeit vollständig gegeben ist, und auch der Anfangszustand des 
Resonators bekannt ist, so lassen sich die Schwingungen des 
Resonators daraus doch noch nicht eindeutig berechnen, auch nicht, 
annähernd, auch nicht für hinreichend lange Zeitepochen. Viel- 



Einleitung, Grundlegende Sätze und Definitionen 131 

mehr kann der Resonator, falls über die Einzelwerte der C^ 
und &^^ geeignet verfügt wird, durch die nämliche auffallende 
Strahlungsintensität zu gänzlich verschiedenartigen Schwingungen 
veranlaßt werden. Ja, wir werden später, im ersten Kapitel 
des nächsten Abschnitts, einen speziellen, mit allen elektro- 
dynamischen Gesetzen vollkommen verträglichen Vorgang näher 
besprechen, wo der Eesonator, so seltsam das klingt, die von 
allen Seiten auf ihn fallende Strahlung vollständig und fort- 
während absorbiert, ohne überhaupt jemals die geringste Menge 
Energie auszustrahlen (§ 172); ferner auch einen anderen Vor- 
gang, wo die vom Eesonator absorbierte Energie sogar negativ 
ist,^ wo also die auffallende Strahlung dem Eesonator Energie 
entzieht, bis seine Energie gleich Null wird! (§ 173) 

An einem einzigen solchen Beispiel sehen wir, daß durch 
die Intensität der erregenden Strahlung die Schwingungen des 
Eesonators noch keineswegs bestimmt sind, und daß daher in 
einem Falle, wo nach den Gesetzen der Thermodynamik und 
nach allen Erfahrungen ein eindeutiges Eesultat zu erwarten 
ist, die reine Elektrodynamik vollkommen im Stiche läßt, da 
für sie die vorliegenden Daten noch lange nicht hinreichen, um 
die in den elektrodynamischen Differentialgleichungen auftreten- 
den Konstanten eindeutig zu bestimmen. 

§ 139. Ehe wir diesen Umstand und die damit für die 
elektrodynamische Theorie der Wärmestrahlung verbundene 
Schwierigkeit weiter verfolgen, möge darauf hingewiesen werden, 
daß bei der mechanischen Wärmetheorie, speziell der kinetischen 
Gastheorie, genau der gleiche Umstand und die gleiche Schwierig- 
keit vorliegt. Denn wenn etwa in einem strömenden Gase zur 
Zeit ^ = an jeder Stelle die Geschwindigkeit, die Dichte und 
die Temperatur des Gases gegeben ist und außerdem die Grenz- 
bedingungen vollständig bekannt sind, so wird man nach allen 
Erfahrungen erwarten, daß dadurch der zeitliche Verlauf des 
Vorganges eindeutig bestimmt ist. Vom rein mechanischen 
Standpunkt aus ist das aber keineswegs der Fall; denn durch 
die sichtbare Geschwindigkeit, die Dichte und die Temperatur 
des Gases sind noch lange nicht die Orte und die Geschwindig- 
keiten aller einzelnen Moleküle gegeben, und diese müßte man 



^ Vgl. die Anmerkung zu § 111. 



132 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



genau kennen, wenn man aus den Bewegungsgleichungen den 
zeitlichen Verlauf des Vorganges vollständig berechnen w^ollte. 
Auch hier läßt sich leicht zeigen, daß bei den nämlichen 
Werten der sichtbaren Geschwindigkeit, der Dichte und der 
Temperatur unendlich viele gänzlich verschiedenartige Vorgänge 
mechanisch möglich sind, von denen einige den Grundsätzen 
der Thermodynamik, namentlich dem zweiten Hauptsatz, direkt 
widersprechen. 

§ 130. Aus diesen Überlegungen sehen wir, daß, wenn es sich 
um die Berechnung des zeitlichen Verlaufs eines thermodynami- 
schen Vorganges handelt, sowohl die mechanische Wärmetheorie 
als auch die elektrodynamische Theorie der Wärmestrahlung 
mit derjenigen Formulierung der Anfangs- und Grenzbedingungen, 
welche in der Thermodynamik zur eindeutigen Bestimmung des 
Vorganges vollkommen hinreicht, keineswegs auskommt, sondern 
daß vom Standpunkt der reinen Mechanik bez. Elektrodynamik 
betrachtet noch unendlich viele Lösungen des Problems existieren. 
Infolgedessen bleibt, falls man nicht überhaupt ganz darauf ver- 
zichten will, die thermodynamischen Vorgänge mechanisch bez. 
elektrodynamisch zu begreifen, nur die eine Möglichkeit übrig, 
durch Einführung von besonderen ergänzenden Hypothesen die 
Anfangs- und Grenzbedingungen insoweit näher zu präzisieren, 
daß die mechanischen oder elektrodynamischen Gleichungen auf 
ein eindeutiges und mit der Erfahrung übereinstimmendes Resultat 
führen. Wie man eine derartige Hypothese zu formulieren hat, 
dafür läßt sich aus den Prinzipien der Mechanik oder Elektro- 
dynamik selber natürlicherweise kein Anhaltspunkt gewinnen; 
denn diese lassen ja gerade den Fall ganz offen. Ebendeswegen 
ist aber auch von vornherein jede mechanische oder elektro- 
dynamische Hypothese zulässig, welche eine nähere, durch 
direkte Messungen gar nicht kontrollierbare Spezialisierung der 
gegebenen Anfangs- und Grenzbedingungen enthält. Welcher 
Hypothese vor den übrigen der Vorzug zu geben ist, darüber 
kann die Entscheidung nur dadurch gewonnen werden, daß man 
die Resultate, zu denen die Hypothese führt, hinterher im Lichte 
der thermodynamischen Erfahrungssätze prüft. 

§ 131. Nun ist es sehr bemerkenswert, daß, obwohl hier- 
nach die definitive Prüfung der verschiedenen zulässigen Hypo- 
thesen erst a posteriori erfolgen kann, man doch schon durch 



Einleitung. Grundlegende Sätze und Definitionen 133 

eine Betrachtung a priori, ohne sich irgendwie auf die Thermo- 
dynamik zu stützen, einen festen Anhaltspunkt für den Inhalt 
der aufzustellenden Hypothese gewinnen kann. Fassen wir näm- 
lich einmal wieder das obige Beispiel (§ 128) ins Auge, daß ein 
Resonator hei gegebenem Anfangszustand einer Strahlung von 
gegebener Intensität ausgesetzt ist. Dann ist, wie damals be- 
sprochen wurde, der Schwingungsvorgang im Resonator, solange 
man die unkontrollierbaren Einzelwerte der G^ und i9'^ in der 
erregenden Strahlung ganz offen läßt, unendlich vieldeutig. Wenn 
man nun aber alle die unendlich verschiedenen Fälle, wie sie 
den verschiedenen bei der gegebenen Strahlungsintensität mög- 
lichen Werten der G^ und &^ entsprechen, näher untersucht, 
und die Resultate, zu denen sie einzeln führen, miteinander ver- 
gleicht, so findet man, daß die ungeheure Mehrzahl dieser Fälle 
in den Mittelwerten zu ganz übereinstimmenden Resultaten führt, 
während diejenigen Fälle, in denen sich merkliche Abweichungen 
zeigen, nur in verhältnismäßig verschwindend geringer Anzahl 
auftreten, nämlich dann, wenn gewisse ganz spezielle weitgehende 
Bedingungen zwischen den einzelnen Größen G^ und t^-^ erfüllt 
sind. Nimmt man also an, daß solche spezielle Bedingungen 
nicht gelten, so ergibt sich, wie verschieden auch die Kon- 
stanten G^ und &^ im übrigen gewählt werden mögen, für den 
Resonator eine Schwingung, die, wenn auch natürlich nicht in 
allen Einzelheiten, so doch in bezug auf alle meßbaren Mittel- 
werte — und diese sind die einzigen, welche kontrolliert werden 
können — eine ganz bestimmte genannt werden kann. Und, 
was nun das Bemerkenswerte dabei ist: gerade die auf diese 
Weise erhaltene Schwingung entspricht den Forderungen des 
zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik, wie im nächsten Ab- 
schnitt näher ausgeführt werden wird (vgl. § 182). 

In der Mechanik verhält es sich genau ebenso. Wenn 
man, um auf das vorige Beispiel (§ 129) zurückzukommen, alle 
nur denkbaren Lagen und Geschwindigkeiten der einzelnen Gas- 
moleküle ins Auge faßt, die mit den gegebenen Werten der 
sichtbaren Geschwindigkeit, der Dichte und der Temperatur des 
Gases verträglich sind, und für jede Kombination derselben den 
mechanischen Vorgang genau nach den Bewegungsgleichungen 
berechnet, so findet man ebenfalls, daß in der ungeheuren Mehr-^ 
zahl der Fälle Vorgänge resultieren, die, wenn auch nicht in 



134 Entropie und WahrseheinlichkeU 



den Einzelheiten, so doch in allen meßbaren Mittelwerten mit- 
einander übereinstimmen, und die außerdem dem zweiten Haupt- 
satz der Thermodynamik Genüge leisten. Nur einige wenige 
besondere Fälle, in denen zwischen den Koordinaten und den 
Geschwindigkeiten der Moleküle ganz spezielle Bedingungen be- 
stehen, liefern abweichende Ergebnisse. 

§ 133. Nach diesen Betrachtungen ist klar, daß die Hypo- 
thesen, deren Einführung oben als notwendig nachgewiesen 
wurde, ihren Zweck vollständig erfüllen, wenn ihr Inhalt nichts 
weiter besagt, als daß derartige besondere Fälle, die speziellen 
Bedingungen zwischen den einzelnen direkt nicht kontrollierbaren 
Konstanten entsprechen, in der Natur nicht vorkommen. In der 
Mechanik leistet dies die Hypothese, ^ daß die Wärmebewegungen 
„molekular-ungeordnet" sind, in der Elektrodynamik leistet das 
Entsprechende die Hypothese der „natürlichen Strahlung", welche 
besagt, daß zwischen den zahlreichen verschiedenen Partial- 
schwingungen (179) eines Strahles keine anderen Beziehungen 
bestehen, als diejenigen, welche durch die meßbaren Mittelwerte 
bedingt sind (§ 181). Wenn wir zur Abkürzung alle Zustände 
und alle Vorgänge, für welche eine solche Hypothese gilt, als 
„elementar ungeordnet" bezeichnen, so liefert der Satz, daß in 
der Natur alle Zustände und alle Vorgänge, welche 
zahlreiche unkontrollierbare Bestandteile enthalten, 
elementar ungeordnet sind, die Vorbedingung, aber auch 
die sichere Gewähr für die eindeutige Bestimmbarkeit der meß- 
baren Vorgänge, sowohl in der Mechanik als auch in der 
Elektrodynamik, und zugleich für die Gültigkeit des zweiten 
Hauptsatzes der Thermodynamik, womit dann selbstverständlich 
auch der für den zweiten Hauptsatz charakteristische Begriff der 
Entropie und der damit unmittelbar verbundene der Temperatur 
seine mechanische bez. elektrodynamische Erklärung finden muß. 
Zugleich folgt hieraus, daß die Begriffe der Entropie und der 
Temperatur ihrem Wesen nach an die Bedingung der elemen- 
taren Unordnung geknüpft sind. Eine rein periodische absolut 
ebene Welle besitzt weder Entropie noch Temperatur, weil sie 



^ L. BoLTZMANN, Vorlesungcn über Grastheorie, 1, p. 21, 1896. Wiener 
Sitzungsber., 78, Juni 1878, am Schluß. Vgl. auch S. H. Bürbury, Naturc, 
51, p. 78, 1894. 



Einleitung. Grundlegende Sätze und Definitionen 135 



gar keine unkontrollierbaren Größen enthält, also auch nicht 
elementar ungeordnet sein kann, ebensowenig wie das bei der 
Bewegung eines einzelnen starren Atoms der Fall ist. Erst das 
unregelmäßige Zusammenwirken sehr vieler Partialschwingungen 
verschiedener Perioden, die sich unabhängig voneinander nach 
den verschiedenen Richtungen des Raumes fortpflanzen, oder 
das ungeregelte Durcheinanderschwirren sehr vieler Atome schafft 
die Vorbedingung für die Gültigkeit der Hypothese der elemen- 
taren Unordnung und somit für die Existenz einer Entropie und 
einer Temperatur. 

§ 133. Welche mechanische bez. elektrodynamische Größe 
stellt nun aber die Entropie eines Zustandes dar? Offenbar 
hängt diese Größe irgendwie mit der „Wahrscheinlichkeit" des 
Zustandes zusammen. Denn da die elementare Unordnung und 
der Mangel jeglicher Einzelkontrolle zum Wesen der Entropie 
gehört, so können nur kombinatorische oder Wahrscheinlichkeits- 
betrachtungen die nötigen Anhaltspunkte zur Berechnung ihrer 
Größe liefern. Schon die Hypothese der elementaren Unordnung 
selbst ist ja ihrem Wesen nach ein Wahrscheinlichkeitssatz, da 
sie aus einer ungeheuren Anzahl von gleichmöglichen Fällen 
eine bestimmte Anzahl herausgreift und dieselben als in der 
Natur nicht existent bezeichnet. 

Da nun der Begriff der Entropie, ebenso wie der Inhalt 
des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik, ein universeller 
ist, und da andererseits die Wahrscheinlichkeitssätze nicht minder 
universelle Bedeutung besitzen, so ist zu vermuten, daß der 
Zusammenhang zwischen Entropie und Wahrscheinlichkeit ein 
sehr enger sein wird. Wir stellen daher unseren ferneren Aus- 
führungen folgenden Satz an die Spitze: Die Entropie eines 
physikalischen Systems in einem bestimmten Zustand 
hängt lediglich ab von der Wahrscheinlichkeit dieses 
Zustandes. Die Zulässigkeit und Fruchtbarkeit dieses Satzes 
wird sich später in verschiedenen Fällen zeigen. Einen all- 
gemeinen strengen Beweis desselben zu liefern werden wir aber 
hier nicht versuchen. Ja, ein derartiger Versuch würde offenbar 
an dieser Stelle nicht einmal einen Sinn haben. Denn solange 
die „Wahrscheinlichkeit" eines Zustandes nicht zahlenmäßig 
definiert ist, läßt sich der obige Satz auch nicht zahlenmäßig 
auf seine Richtigkeit prüfen. Man könnte sogar vielleicht auf 



136 Entropie und Wahrscheinlichkeit 

den ersten Blick vermuten, daß er aus diesem Grunde überhaupt 
keinen bestimmten physikalischen Inhalt besitzt. Indessen läßt 
sich durch eine einfache Deduktion zeigen, daß man, ohne noch 
auf den Begriff der Wahrscheinlichkeit eines Zustandes näher 
einzugehen, auf Grund des obigen Satzes doch schon in der 
Lage ist, die Art der Abhängigkeit der Entropie von der Wahr- 
scheinlichkeit ganz allgemein zu fixieren. 

§ 134. Bezeichnet nämlich S die Entropie, W die Wahr- 
scheinlichkeit eines physikalischen Systems in einem bestimmten 
Zustand, so besagt der obige Satz, daß 

(201) S = f{W), 

wobei f[W) eine universelle Funktion des Arguments W bedeutet. 
Wie man nun auch W näher definieren möge, soviel läßt sich 
jedenfalls dem mathematischen Wahrscheinlichkeitsbegriffe als 
feststehend entnehmen, daß die Wahrscheinlichkeit eines Systems, 
das aus zwei voneinander ganz unabhängigen Systemen zu- 
sammengesetzt ist, gleich dem Produkte der Wahrscheinlich- 
keiten der beiden Einzelsysteme ist. Denken wir uns z. B. als 
erstes System irgendeinen Körper auf der Erde, als zweites 
System einen durchstrahlten Hohlraum auf dem Sirius, so ist 
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich der irdische Körper in 
einem bestimmten Zustand 1, und zugleich die Hohlraumstrahlung 
in einem bestimmten Zustand 2 befindet: 

(202) W=W^'W^, 

wenn W^ und W^ die Wahrscheinlichkeiten dafür sind, daß sich 
das betreffende System in dem betreffenden Zustande befindet. 
Sind nun S^ und S^ die Entropien der Einzelsysteme in den 
beiden Zuständen, so ist nach (201): 

Aber nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik ist 
die Gesamtentropie beider voneinander unabhängigen Systeme: 
S= S^ + S^, folglich nach (201) und (202): 

Cjf. jitJ^r^'^' Aus dieser Funktionalgleichung läßt sich /"berechnen. Differentiiert 
J /» ;' man nämlich auf beiden Seiten nach W^, bei konstantem W^j 

•^ '^'^ ' so kommt: 

W,f{W,W,) = f{W,). 



Einleitung. Grundlegende Sätze und Definitionen 137 

Differentiiert man ferner nach W^, bei konstantem W^, so kommt: 

oder f{W)+ Wf{W)== 0. 

Das allgemeine Integral dieser Differentialgleichung zweiter 
Ordnung ist: 

f{W) = k log W + const. Also nach (201): 

S = k\ogW-i-const, (203) 

wodurch die Abhängigkeit der Entropie von der Wahrscheinlich- 
keit allgemein bestimmt ist. Die universelle Integrationskonstante k 
ist für ein irdisches System dieselbe wie für ein kosmisches, und 
wenn ihr numerischer Wert für dieses bestimmt ist, gilt er 
auch für jenes. Die zweite, additive, Integrationskonstante hat, 
weil die Entropie S eine willkürliche additive Konstante ent- 
hält, keine physikalische Bedeutung, und kann nach Belieben 
fortgelassen werden. 

§ 135. Die Beziehung (203) enthält eine allgemeine Methode, 
um den Ausdruck der Entropie S durch Wahrscheinlichkeits- 
betrachtungen zu berechnen. Doch wird dieselbe natürlich erst 
dann von praktischem Nutzen, wenn die Größe W der Wahr- 
scheinlichkeit eines physikalischen Systems in einem gegebenen 
Zustand zahlenmäßig angegeben werden kann. Die Aufsuchung 
der allgemeinsten und präzisesten Definition dieser Größe gehört 
zu den wichtigsten Aufgaben der mechanischen bez. elektro- 
dynamischen Wärmetheorie. Zunächst erfordert sie ein näheres 
Eingehen auf den Begriff des „Zustandes" eines physikalischen 
Systems. 

Unter dem „Zustand'* eines physikalischen Systems zu einer 
bestimmten Zeit verstehen wir den Inbegriff aller derjenigen 
voneinander unabhängigen Größen, durch welche der zeitliche 
Verlauf der in dem System stattfindenden Vorgänge, soweit sie 
der Messung zugänglich sind, bei gegebenen Grenzbedingungen 
eindeutig bestimmt wird; die Kenntnis des Zustandes ist also 
genau äquivalent der Kenntnis der „Anfangsbedingungen". Daher 
ist z. B. bei einem aus unveränderlichen Molekülen bestehenden 
Gase der Zustand bestimmt durch das Gesetz der Raum- und 
Geschwindigkeitsverteilung, d. h. durch die Angabe der Anzahl 
der Moleküle, deren Koordinaten und Geschwindigkeitskompo- 



138 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



nenten innerhalb je eines einzelnen kleinen , Intervalls'' oder „Ge- 
bietes" liegen. Die auf die verschiedenen Gebiete entfallenden 
Molekülzahlen sind im allgemeinen ganz unabhängig voneinander, 
da der Zustand ja kein Gleichgewichts- oder stationärer Zustand 
zu sein braucht; sie müssen also alle einzeln bekannt sein, wenn 
der Zustand des Gases als gegeben betrachtet werden soll. Dagegen 
ist es für die Charakterisierung des Zustandes nicht erforderlich, 
nähere Details bezüglich der innerhalb eines einzelnen Elementar- 
gebiets befindlichen Moleküle anzugeben; denn hier tritt als Er- 
gänzung die Hypothese der molekularen Unordnung ein, welche 
trotz der mechanischen Unbestimmtheit die Eindeutigkeit des 
zeitlichen Vorganges verbürgt. 
^ ^„^ i Bei einem Licht- oder Wärmestrahl ist der Zustand be- 

L^^ ^r \ stimnit durch die Richtung, die spektrale Energieverteilung und 
iP^rf^(^J^hM^-\\ den Polarisationszustand (§ 17). Näheres über die Amplituden 
' und Phasen der einzelnen periodischen Partialschwingungen des 
Strahles zu wissen ist nicht nötig, da auch hier die Hypothese 
der elementaren Unordnung als Ergänzung eingreift. 

Man sieht, daß der so definierte Zustandsbegriff, im statisti- 
schen Sinne, wohl zu unterscheiden ist von dem Zustands- 
begriff im absolut mechanischen oder elektrodynamischen Sinne, 
nach welchem ein Zustand erst dann als gegeben betrachtet 
werden darf, wenn die Koordinaten und Geschwindigkeitskom- 
ponenten jedes einzelnen Moleküls, bez. die Amplituden und 
Phasen aller einzelnen Partialschwingungen genau bekannt sind. 
In einem derartigen Zustand würden gar keine unkontrollier- 
baren Elemente mehr vorkommen und daher auch keinerlei 
Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen am Platze sein. 

§ 186. Wenn wir nun von der Wahrscheinlichkeit TF eines 
bestimmten elementar ungeordneten Zustandes reden, so ist damit 
ausgedrückt, daß ein solcher Zustand auf verschiedene Arten 
realisiert werden kann. Denn jeder Zustand, der viele gleichartige 
unkontrollierbare Bestandteile enthält, entspricht einer gewissen 
„Verteilung", nämlich im ersten Beispiel der Verteilung der 
Koordinaten und der Geschwindigkeitskomponenten auf die Gas- 
moleküle, im zweiten Beispiel der Verteilung der Amplituden 
und Phasen auf die einzelnen Partialschwingungen. Eine Ver- 
teilung ist aber immer eine Zuordnung einer Gruppe von unter 
sich gleichartigen Elementen (Koordinaten, Geschwindigkeits- 



Einleitung. Grundlegende Sätze und Definitionen 139 

komponenten, Amplituden, Phasen) zu einer anderen Gruppe 
von unter sich gleichartigen Elementen (Molekülen, Partialschwin- 
gungen). Solange man nun einen bestimmten Zustand ins Auge 
faßt, kommt es offenbar nur darauf an, wieviel Elemente der 
beiden Gruppen einander wechselseitig zugeordnet sind, nicht aber 
darauf, welche individuellen Elemente der einen Gruppe be- 
stimmten individuellen Elementen der anderen Gruppe zugeordnet 
sind. Daher kann ein bestimmter Zustand durch eine große 
Anzahl voneinander verschiedener individueller Zuordnungen zu- 
stande kommen. Nennen wir also jede besondere Verteilung, bei 
der die Elemente der einen Gruppe den Elementen der anderen 
Gruppe individuell zugeordnet sind, eine „Komplexion"^ so enthält 
ein bestimmter Zustand im allgemeinen eine große Anzahl von 
verschiedenen Komplexionen. Diese Zahl, d. h. die Anzahl 
der Komplexionen, welche ein gegebener Zustand um- 
faßt, definieren wir nun als die Wahrscheinlichkeit W des 
Zustandes, und erhalten dadurch ein Mittel, um in gegebenen 
Fällen W und dann aus (203) die Entropie S des Zustandes zu 
berechnen. Nähere Erläuterungen über die Art dieser Be- 
rechnung werden in den nächsten beiden Kapiteln ausführlich 
zur Sprache kommen. 

§ 187. Hier sei nur noch auf einen Punkt hingewiesen, 
in dem sich die hier gebrauchte Definition der Wahrscheinlich- 
keit von der sonst üblichen der mathematischen Wahrschein- 
lichkeit eines Ereignisses unterscheidet. Die letztere wird be- 
kanntlich als ein echter Bruch definiert, nämlich als der Quotient 
aus der Anzahl der dem Ereignis günstigen durch die Anzahl 
aller gleichmöglichen Fälle. Im Unterschied davon wird hier die 
Wahrscheinlichkeit W eines physikalischen Zustandes durch eine 
ganze Zahl, und zwar durch eine große Zahl ausgedrückt. Man 
könnte versucht sein, den Unterschied der beiden Definitionen 
dadurch zu beseitigen, daß man die Anzahl der Komplexionen, 
welche ein Zustand umfaßt, noch dividiert durch die Anzahl 
„aller möglichen" Komplexionen, und diesen Quotienten als die 
Wahrscheinlichkeit des Zustandes bezeichnet. Allein es würden 
hier bei der Frage nach der Anzahl aller möglichen Komplexionen 
unter Umständen Schwierigkeiten entstehen, die wir lieber ver- 
meiden wollen, indem wir jene Frage gar nicht aufwerfen und 
bei der oben gegebenen Definition der Wahrscheinlichkeit W 



140 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



eines Zustandes stehen bleiben. Für die Berechnung der Entropie 
wird der besprochene Unterschied ohnehin belanglos, da er 
nach (203) nur auf die Hinzufügung einer additiven negativen 
Konstanten hinausläuft. 



Zweites Kapitel. Entropie eines idealen einatomigen Gases. 

§ 138. Im vorigen Kapitel wurde die Berechtigung und 
die Notwendigkeit der Einführung von Wahrscheinlichkeits- 
betrachtungen in die mechanische und in die elektrodynamische 
Theorie der Wärme nachgewiesen, und aus dem allgemeinen 
Zusammenhang der Entropie S mit der Wahrscheinlichkeit W, 
welcher in der Gleichung (203) ausgedrückt ist, eine Methode 
abgeleitet, um die Entropie eines physikalischen Systems in 
einem gegebenen Zustand zu berechnen. Bevor nun diese 
Methode zur Bestimmung der Entropie der strahlenden Wärme 
angewendet wird, soll sie in diesem Kapitel dazu benutzt werden, 
um die Entropie eines idealen einatomigen Gases in einem 
beliebig gegebenen Zustand zu berechnen. Alles Wesentliche 
dieser Berechnung findet sich zwar schon in den zum Teil 
noch weiter ausgreifenden Untersuchungen von L. Boltzmann^ 
über die mechanische Theorie der Wärme; indessen wird es 
sich doch empfehlen, hier auf jenen ganz einfachen Fall be- 
sonders einzugehen, einmal um die Berechnungsweise und die 
physikalische Bedeutung der mechanischen Entropie mit der- 
jenigen der Strahlungsentropie bequemer vergleichen zu können, 
dann aber hauptsächlich deshalb, um die Bedeutung der uni- 
versellen Konstanten k der Gleichung (203) in der kinetischen 
Gastheorie klar hervortreten zu lassen ; und dazu genügt natürlich 
die Behandlung eines einzigen speziellen Falles. 

§ 139. Wir denken uns ein ideales, aus N gleichartigen 
einatomigen Molekülen bestehendes Gas in einem gegebenen 
Zustand und fragen nach der Entropie des Gases in diesem 
Zustand. Da der Zustand als gegeben vorausgesetzt ist, so ist 
das Gesetz der Raum- und der Geschwindigkeitsverteilung als 
bekannt anzunehmen (§ 135). Betrachten wir also das Raum- 



* L. BoLTZMÄNN, Sitzungsber. d. Akad. d. Wissensch. zu Wien (II) 76, 
p. 373, 1877. Vgl. auch Gastheorie 1, p. 38, 1896. 



Entropie eines idealen einatomigen Gases 141 



gebiet, welches durch die ßaumkoordinaten x, y, % und ihre 
Differentiale dx, dy, d%, und das Geschwindigkeitsgebiet, welches 
durch die Geschwindigkeitskomponenten |, r,, J und ihre Differen- 
tiale d^, d?], d^ charakterisiert wird, so ist die Anzahl der 
Moleküle, deren Koordinaten und Geschwindigkeiten zugleich in 
diesen beiden Gebieten liegen, als gegeben anzusehen. Die Aus- 
dehnung eines solchen „Elementargebietes^^; 

dx' dydz' d^'drj ' d^ = da 

ist klein gegen die äußere Begrenzung des Gesamtgebietes, aber 
doch immerhin so groß zu denken, daß sich viele Moleküle 
darin befinden; denn sonst könnte der Zustand nicht elementar 
ungeordnet sein. Wir setzen daher die Anzahl der in dem 
Elementargebiet da befindlichen Moleküle gleich: 

f{^,y.^.lr].S)'da, (204) 

f ist hier als eine endliche bekannte Funktion der Koordinaten 
und der Geschwindigkeitskomponenten anzusehen, deren analyti- 
scher Ausdruck das gesamte Verteilungsgesetz und damit den 
Zustand des Gases eindeutig darstellt. Denn auf die speziellere 
Anordnung der Moleküle innerhalb eines einzelnen Elementar- 
gebietes kommt es weiter nicht an. Wir wollen f als stetig 
und differentiierbar voraussetzen; im übrigen muß /"nur die eine 
Bedingung erfüllen, daß sich durch Integration über alle Elementar- 
gebiete die Gesamtzahl der Gasmoleküle ergibt: 



ff da 



N. (205) 

§ 140. Es handelt sich jetzt im wesentlichen um die Be- 
stimmung der Wahrscheinlichkeit W für die gegebene Raum- 
und Geschwindigkeitsverteilung, welche nach § 136 gleich ist 
der Anzahl von Komplexionen, die dieser Verteilung entsprechen. 
Zu diesem Zwecke nehmen wir zunächst, was bisher nicht wesent- 
lich war, alle Elementargebiete da als gleich groß an. 

Nun kann man die gegebene Eaum- und Geschwindigkeits- 
verteilung anschauhch illustrieren dadurch, daß man die ver- 
schiedenen gleich großen Elementargebiete numeriert, die Nummern 
nebeneinander schreibt, und unter jede Nummer die Anzahl der 
Moleküle setzt, welche in dem betreffenden Gebiet Hegen. Hätten 
wir z. B. nur 10 Moleküle und nur 7 Elementargebiete, so würde 
eine bestimmte Verteilung durch folgendes Ziffernbild dargestellt: 



142 


Entropie und 


Wahrscheinlichkeit 




1 2 3 


4 


5 6 7 




1 2 





1 4 2, 


welche 


38 besagt, daß 








1 Molekül im 1. 


Elementargebiet, 




2 Moleküle „ 2. 




j» 




Molekül „ 3. 




*j 




. . 4. 




j, 




1 . . 5. 




?> 




4 Moleküle ,, 6. 




•> 




9 7 




,, liefen. 



Diese bestimmte Verteilung kann nun durch viele verschiedene 
individuelle Zuordnungen oder Komplexionen realisiert werden, 
je nachdem ein bestimmtes ins Auge gefaßtes Molekül in dieses 
oder in jenes Elementargebiet zu liegen kommt. Um sich eine 
einzelne derartige Komplexion zu versinnbildlichen, kann man die 
Moleküle mit Ziffern versehen, diese nebeneinander schreiben, und 
unter jede Molekülziffer die Nummer desjenigen Elementargebiets 
setzen, welchem das betreffende Molekül bei dieser Komplexion 
angehört. Für die oben angeführte Verteilung erhalten wir so 
als Ausdruck einer einzelnen dazugehörigen beliebig heraus- 
gegriffenen Komplexion das folgende Ziffernbild: 

r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
^ ^ 16175622667. 

Hierdurch ist ausgedrückt, daß 

das 2. Molekül . . . im 1. Elementargebiet, 
„ 6. u. 7. Molekül . . ,, 2. „ 

„ 4. Molekül . . . „ 5. „ 

„ 1., 5., S.u. 9. Molekül „ 6. 
„ 3. u. 10. Molekül . ,, 7. „ liegt. 

Wie man durch einen Vergleich mit der vorigen Tabelle un- 
mittelbar erkennt, entspricht diese Komplexion in der Tat in 
allen Stücken dem oben angegebenen Verteilungsgesetz, und 
ebenso lassen sich leicht viele andere Komplexionen angeben, 
welche zu dem nämlichen Verteilungsgesetz gehören. Die 
gesuchte Zahl aller möglichen Komplexionen ergibt sich nun 
durch die Betrachtung der unteren der beiden Ziffernreihen (206). 
Denn da die Anzahl der Moleküle gegeben ist, so enthält die 



Entropie eines idealen einatomigen Gases 143 



Ziffernreihe eine bestimmte Anzahl Stellen. Da ferner das 
Verteilungsgesetz gegeben ist, so kommt jede Ziffer (d. h. jedes 
Elementargebiet) stets gerade so oft in der Reihe vor, als die 
Anzahl der Moleküle beträgt, die in dem betreffenden Elementar- 
gebiet liegen. Im übrigen bedingt jede Veränderung des Ziffern- 
bildes eine neue individuelle Zuordnung der Moleküle zu den 
Gebieten, also eine neue Komplexion. Die Anzahl der möglichen 
Komplexionen, oder die Wahrscheinlichkeit W des gegebenen 
Zustandes, ist also gleich der Anzahl der unter den genannten 
Bedingungen möglichen „Permutationen mit Wiederholung^^. 
In dem gewählten einfachen Zahlenbeispiel ergibt sich hierfür 
nach einer bekannten Formel der Ausdruck: 

l!2!0!'o!l!4 T2r = 37800. 

Die Form dieses Ausdrucks ist so gewählt, daß sie leicht 
auf den hier vorliegenden Fall der Gasmoleküle verallgemeinert 
werden kann. Der Zähler enthält die Fakultät oder Faktorielle 
der Gesamtzahl N der betrachteten Moleküle, der Nenner das 
Produkt der Fakultäten der Molekülzahlen, welche in jedem 
einzelnen Elementargebiet liegen, und welche in unserem Falle 
durch den Ausdruck (204) gegeben sind. 

Daher erhalten wir für die gesuchte Wahrscheinlichkeit der 
gegebenen Eaum- und Geschwindigkeits Verteilung, und somit des 
gegebenen Gaszustandes : 

w= 

n{fda)\ 

Das Zeichen 77 bedeutet das Produkt, erstreckt über alle 
Elementargebiete da. 

§ 141. Daraus ergibt sich nach (203) für die Entropie des 
Gases in dem gegebenen Zustand: 

S = k logiV! -- k^\og{fdG)\ + const. 

Die Summation 2 ist über alle Elementargebiete da zxn er- 
strecken. 

J)2i f d(7 eine große Zahl ist, so läßt sich für die Fakultät 
derselben die STiELiNGsche Formel anwenden, welche für eine 
große Zahl n abgekürzt lautet:^ 



^ Vgl. z. B. E. CzuBER, Wahrscheinlichkeitsrechnung (Leipzig, 
B. a. Teubner), p. 22, 1903. 



144 



Entropie und Wahrscheinlichkeit 



i 



k^^ 



••=(Trv^ 



(207) 7i\ = \-\ y27in. 

Also, mit Fortlassung unwesentlicher Griieder: 

\ogn\ = n{[ogn — 1). 

Daher wird, wenn man fda statt n setzt: 

S = klogNl -k^fd(7[log{fd(7)- 1] + const. 

Das Summenzeichen 2 ersetzen wir weiterhin durch das Integral- 
zeichen. Ferner wollen wir alle additiven konstanten Glieder in die 
const aufgenommen denken. Dazu gehört zunächst das Glied mit Nl, 
ferner der Faktor c^ö- hinter dem Logarithmus, weil alle Elementar- 
gebiete gleich groß sind, und weil ^f da = N konstant ist, end- 
lich das Glied mit — 1. So bleibt für die Entropie des Gases 
der Ausdruck übrig: 

(208) S = const -k ff log f da , 

gültig für jede beliebige gegebene Raum- und Geschwindigkeits- 
verteilung der Gasmoleküle, also für jeden Zustand des Gases. 
§ 143. Wir wollen nun speziell die Entropie des Gases 
in einem Gleichgewichtszustand bestimmen, und fragen 
daher zunächst nach derjenigen Form des Verteilungsgesetzes, 
welches dem thermodynamischen Gleichgewicht entspricht. Nach 
dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik ist ein Gleichgewichts- 
zustand durch die Bedingung ausgezeichnet, daß bei gegebenen 
Werten des Gesamtvolumens V und der Gesamtenergie U die 
Entropie S ihren Maximalwert annimmt. Setzen wir also das 
Gesamtvolumen der Gasmoleküle: 

V = \ \ \ dx dy dz 

und die Gesamtenergie derselben: 

(209) C^=f/(|^ + ^' + eV^^ 

als gegeben voraus [m Masse eines Moleküls), so muß für den 
Gleichgewichtszustand die Bedingung gelten: 

^.5 = 
oder nach (208): 

(210) J[\ogf+\)Sfda=^0, 



Entropie eines idealen einatomigen Gases 145 



wobei die Variation Sf sich auf eine beliebige mit den ge- 
gebenen Werten von N, V und U verträgliche Änderung des 
Verteilungsgesetzes bezieht. 

Nun ist wegen der ünveränderlichkeit der Gesamtzahl N 
der Moleküle nach (205): 

CSfd(T== 

und wegen der ünveränderlichkeit der Gesamtenergie U nach (209) : 

f{l' + r]^ + ^')Sfda = 0, 

Folglich ist zur Erfüllung der Bedingung (210) für alle zu- 
lässigen Sf hinreichend und notwendig, daß 

log/'+ /5(|2 + rj^ + J^) = const 
oder: f = ae-ß(^' + v' + r-) ^ (211) 

wobei a und ß konstant. Im Gleichgewichtszustand ist also 
die Eaumverteilung der Moleküle gleichmäßig, d. h. unabhängig 
von X, y, z, und die Geschwindigkeitsvei-teilung ist die bekannte 
Maxwell sehe. 

§ 143. Die Werte der Konstanten a und ß ergeben sich 
aus denen von iV, V und TJ. Denn die Substitution des gefundenen 
Ausdrucks von f in (205) ergibt: 

+ 00 

N= Va fffe-ß(^' + ^' + ^')d^d7]d^=Vciljy 

-00 

und die Substitution von f in (209) ergibt: 

+ 00 

u= ^'^^ffji^' + v' + S')'e-ß'^^'+^'^^'^ dl dn d^, 



00 

3 

4 ' ■— ß 



^=-^-4(7)^ 



Daraus folgt: 

'^- -V" iT^trj ' P = -jiT 

und daraus endlich nach (208) der Ausdruck der Entropie *S 
des Gases im Gleichgewichtszustand bei gegebenen Werten 
von N, V und U: 

S= const H-Ä iV (flog Z7+ log V). (212) 

Planck, Wärmestrahlung. 10 



146 Entropie und Wahrscheinlichkeit 

Hier enthält die additive Konstante Glieder mit N und mit m, 
nicht aber solche mit U oder mit V. 

§ 144. Die hier durchgeführte Bestimmung der Entropie 
eines einatomigen Gases stützt sich lediglich auf den allgemeinen 
durch die Gleichung (203) ausgedrückten Zusammenhang zwischen 
Entropie und Wahrscheinlichkeit; insbesondere haben wir bei 
unserer Berechnung an keiner Stelle von irgend einem speziellen 
Satz der Lehre von den Gasen Gebrauch gemacht. Daher ist 
es von Wichtigkeit, zu sehen, wie nun aus dem gefundenen 
Ausdruck der Entropie das gesamte thermodynamische Verhalten 
eines einatomigen Gases, namentlich die Zustandsgieichung und 
die Werte der spezifischen Wärme, direkt mittels der Haupt- 
sätze der Thermodynamik erschlossen werden kann. Denn aus 
der allgemeinen thermodynamischen Definitionsgleichung der 
Entropie : 
(213) rf5=^^^^^ 

ergeben sich die partiellen Differentialquotienten von S nach U 

und nach V: 

( dS \ _ J^ ( dS \ __ _p 

[dUJv T' \dVJu~ T' 

Folglich für unser Gas, mit Benutzung von (212); 

(2141 {M\ -a_m:_jl 

und 

Die zweite dieser Gleichungen: 

kNT 

enthält die Gesetze von Botle, Gay Lussac und Avogadro, 
das letztere deshalb, weil der Druck nur von der Anzahl N, 
nicht von der Beschaffenheit der Moleküle abhängt. Schreibt 
man sie in der gewöhnlichen Form: 

BnT 

WO n die Anzahl der Grammoleküle oder der Mole des Gases, 
bezogen auf Og = 32 g, und E die absolute Gaskonstante be* 
zeichnet: 



Entropie eines idealen einatomigen Gases 147 

i?= 831-105-^--, (216) 



grad 



SO ergibt sich durch Vergleichung : 



k = ^. (217) 

Nennen wir also w das Verhältnis der Molzahl zur Molekülzahl, 
oder, was dasselbe ist, das Verhältnis der Molekülmasse zur 
Molmasse, a? = ^r^, so kommt: 

k^aR. (218) 

Hieraus kann man, wenn co gegeben ist, die universelle Kon- 
stante k berechnen, und umgekehrt. 
Die Gleichung (214) lautet: 

U^^kNT. (219) 

Da nun andererseits die Energie eines idealen Gases: 

U=Anc^T, 
wo Cy die Wärmekapazität eines Mol bei konstantem Volumen 
in Kalorien, A das mechanische Wärmeäquivalent bedeutet: 

^ = 419.10^-^, (220) 

so folgt: 

_ 3 kN 
^^ ~ 2 An 

und mit Berücksichtigung von (217): 

_S R _ 3 831.10^ _ 
^-- 2 A - 2 419.10^ - ^'^ ^^^^) 

als Molwärme irgend eines einatomigen Gases bei konstantem 
Volumen in Kalorien.^ 

Für die Molvvärme c^ bei konstantem Druck folgt aus dem 
ersten Hauptsatz der Thermodynamik: 

E 



also mit Rücksicht auf (221) 

_ _ 2 

S ~ ^y ~ "3" 

wie für einatomige Gase bekannt 



_ 2 Cp _ b 



^ Vgl. F. RiCHARz, WiED. Ann. 67, p. 705, 1899. 

10' 



148 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



Die mittlere EDergie oder die mittlere lebendige Kraft L 
eines Moleküls ergibt sich aus (219) zu: 

(222) IL^L^^UT. 

Man sieht, daß sich alle diese Beziehungen lediglich aus 
der Identifizierung des mechanischen Ausdrucks (208) mit dem 
thermodynamischen Ausdruck (213) der Entropie ergeben. 



Drittes Kapitel. 

Bereclinung der Strahlungsentropie und Folgerungen daraus. 

Energieverteilungsgesetz. Elementarquanta. 

§ 145. Nachdem wir gesehen haben, wie man für ein 
ideales Gas den Ausdruck der Entropie direkt aus der Wahr- 
scheinlichkeit des Zustandes berechnen kann, und wie sich 
daraus alle thermodynamischen Eigenschaften des Gases durch 
eine direkte Anwendung der Hauptsätze der Thermodynamik 
ableiten lassen, wollen wir jetzt denselben Gedankengang für 
die strahlende Wärme durchführen. Aus dem Wien sehen 
Verschiebungsgesetz erhielten wir in der Gleichung (119) einen 
Ausdruck für die räumliche Entropiedichte § als Funktion der 
räumlichen Energiedichte u, ferner in der Gleichung (134) einen 
Ausdruck für die Entropie S eines einzelnen Strahles als Funktion 
seiner spezifischen Intensität ^, endlich in der Gleichung (200) 
einen Ausdruck für die Entropie S eines der Wärmestrahlung 
ausgesetzten Resonators als Funktion seiner Energie U. Jeder 
dieser drei Ausdrücke enthält eine bis jetzt noch unbekannt 
gebliebene universelle Funktion eines einzigen Arguments, und 
die Berechnung dieser Funktion ist es, worauf es im folgenden 
ankommt. Wenn diese Aufgabe für eine der drei genannten 
Ausdrücke gelöst ist, sind damit auch die beiden anderen Aus- 
drücke gefunden, vermöge der bekannten früher abgeleiteten Be- 
ziehungen zwischen den Größen §, 2 und S untereinander, und 
der Größen u, ^ und U untereinander. Wir können daher von 
vornherein an irgend eine jener drei Gleichungen anknüpfen. 
Am meisten empfiehlt es sich natürlich, die einfachste unter 
ihnen auszuwählen, und das ist, wie schon früher hervorgehoben, 
die Resonatorgleichung (200): 



Berechnung der Strahlungsentropie und Folgerungen daraus 149 



(?) 



(223) 



wenn wir die Schwingungszahl der Eigenperiode des Reso- 
nators von jetzt an kurz mit v ohne Index bezeichnen. Die 
Funktion F enthält außer ihrem Argument nur universelle 
Konstante. 

§ 146. Bei der näheren Untersuchung der Entropie eines 
Resonators von gegebener Energie ist die erste Frage die nach 
der Art der elementaren Unordnung, auf welcher die Entropie 
beruht und ohne welche sie keine Bedeutung besitzt (§ 132). 
Die Antwort hierauf gibt ein Blick auf die Gleichungen (187) 
und (195). Hiernach sind die Schwingungen eines der statio- 
nären Wärmestrahlung ausgesetzten Resonators zusammengesetzt 
aus einer großen Reihe von Partialschwingungen, und seine 
Energie ist ein Mittelwert aus sehr vielen im einzelnen nicht 
kontrollierbaren Größen. Diese zahlreichen voneinander un- 
abhängigen Partialschwingungen sind es also, die bei dem Reso- 
nator in bezug auf die elementare Unordnung dieselbe Rolle 
spielen, die bei einem Gase den zahlreichen durcheinander- 
fliegenden Molekülen zukommt. So wenig man bei einem 
Gase von einer endlichen Entropie sprechen kann, wenn alle 
Moleküle gleiche und gleichgerichtete, oder auch nur in irgend 
einer Weise geordnete Geschwindigkeiten besitzen, ebensowenig 
kommt einem Resonator eine endliche Entropie zu, wenn seine 
Schwingungen etwa einfach periodisch sind oder wenn sie über- 
haupt nach irgend einem bestimmten Gesetz erfolgen, das alles 
bis ins einzelne regelt. Denn dann ist der Schwingungsvorgang 
nicht mehr elementar ungeordnet. Daher besitzt z. B. ein Reso- 
nator, der von außen überhaupt nicht erregt wird, dessen 
Schwingungen also einfach mit konstanter Dämpfung nach 
Gleichung (169) abklingen, keine endliche Entropie und keine 
endliche Temperatur, obwohl er eine endliche Energie besitzen 
kann. 

Ob nun die Resonatorschwingungen elementar ungeordnet 
sind oder nicht, kann man offenbar gar nicht beurteilen, wenn 
man den Zustand des Resonators nur zu einem bestimmten 
Zeitpunkt berücksichtigt. Denn dann bleibt es noch ganz un- 
entschieden, ob der Zustand sich mit der Zeit regelmäßig oder 
regellos ändert. Damit stimmt auch ganz überein, daß wir die 



150 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



Energie TJ eines der stationären Wärmestrahlung ausgesetzten 
Resonators nur als einen zeitlichen Mittelwert definieren können, 
wie in § 123 geschehen ist. Aus diesem Grund besitzt auch 
die Entropie S eines Resonators nicht für einen Zeitpunkt, 
sondern nur für ein Zeitintervall Bedeutung, das viele Resonator- 
schwingungen umfaßt, und wir können nur von einem zeitlichen 
Mittelwert der Entropie reden. ^ Kurz gesagt: bei den Wärme- 
schwingungen eines Resonators ist die Unordnung eine zeitliche, 
während sie bei den Molekularbewegungen eines Gases eine 
räumliche ist. Doch fällt dieser Unterschied für die Be- 
rechnung der Entropie des Resonators nicht so schwer ins 
Gewicht, als es vielleicht auf den ersten Anblick scheinen 
möchte; denn er läßt sich durch eine einfache Betrachtung 
beseitigen, was im Interesse einer gleichförmigen Behandlung 
von Vorteil ist. 

Der zeitliche Mittelwert U der Energie eines einzelnen in 
einem stationär durchstrahlten Vakuum befindlichen Resonators 
ist nämlich offenbar identisch mit dem in einem bestimmten 
Zeitpunkt genommenen Mittelwert der Energien einer sehr 
großen Anzahl N von genau gleichbeschaffenen Resonatoren, 
die sich in dem nämlichen stationären Strahlungsfelde befinden, 
aber so weit voneinander entfernt, daß ihre Schwingungen sich 
nicht direkt merklich beeinflussen. Natürlich muß zu diesem 
Zweck das Feld von hinreichender räumlicher Ausdehnung ge- 
nommen werden. Damit ist die Frage nach der Verteilung der 
Energie unter die einzelnen Partialschwingungen eines einzigen 
Resonators zurückgeführt auf die räumliche Verteilung der 
Energie auf die N Resonatoren, wie es dem bei den Gas- 
molekülen behandelten Fall besser entspricht. 

§ 147. Um nun die Entropie dieses Systems von N in einem 
stationären Strahlungsfelde befindlichen gleichbeschaffenen Reso- 
natoren in einem gegebenen Zustand zu berechnen, müssen wir 
nach den Ausführungen des § 135 zunächst nach denjenigen 
Größen fragen, welche den physikalischen Zustand des Systems 
bestimmen. Das ist hier einzig und allein die mittlere Energie U 



^ Bei der Anwendung auf nichtstationäre Felder muß das dem 
Mittelwert zugrunde gelegte Zeitintervall so klein genommen werden, daß 
das Feld als stationär betrachtet werden kann. Vgl. § 3. 



Berechnung der Strahlungsentropie und Folgerungen daraus 151 



eines einzelnen Resonators, bez. die Gesamtenergie U^ des ganzen 
Systems von Resonatoren, welche mit U durch die Gleichung: 

N-ü= CI^ (224) 

zusammenhängt. Denn da das Strahl ungsfeld stationär ist, so 
ist durch die Energie der physikalische Zustand des ganzen 
Systems bestimmt.^ In diesem Punkt liegt der wesentlichste 
Unterschied zwischen dem hier behandelten Fall und dem 
früheren eines Gases. Denn dort war der Zustand bedingt 
durch die Art der Raum- und Geschwindigkeitsverteilung unter 
den Molekülen, die von vornherein ganz beliebig angenommen 
werden konnte. Erst wenn das Verteilungsgesetz gegeben war, 
konnte der Zustand als bekannt angenommen werden. Hier 
dagegen genügt die Angabe der Gesamtenergie ü^ der iV Reso- 
natoren für die Bestimmung des Zustandes; die speziellere Art 
der Verteilung der Energie U^ unter die einzelnen Resonatoren 
unterliegt nicht mehr der Kontrolle, sie ist ganz dem Zufall, 
der elementaren Unordnung, anheimgegeben. Denn die Be- 
dingung, daß das Strahlungsfeld stationär ist, bedeutet hier 
nicht etwa einen speziellen Fall unter vielen anderen, sondern 
sie gehört hier mit zu den notwendigen Voraussetzungen; sonst 

könnte man den Quotienten -^ nicht mehr, wie wir es getan 

haben, mit dem zeitlichen Mittelwert der Energie eines einzelnen 
Resonators identifizieren. 

§ 148. Es handelt sich nun weiter um die Wahrscheinlich- 
keit W des durch die Energie Uj^ bestimmten Zustandes der 
JV Resonatoren , d.h. um die Anzahl der individuellen Zu- 
ordnungen oder Komplexionen, welche der Verteilung der 
Energie Z7^ auf die iV Resonatoren entsprechen (§ 136). Wir 
könnten hier ganz analog wie bei den Gasmolekülen verfahren, 
indem wir nur berücksichtigen, daß der gegebene Zustand des 
Resonatorensystems nicht, wie dort, eine einzige, sondern eine 
große Anzahl von verschiedenen Verteilungsgesetzen zuläßt, da 
die Anzahl der Resonatoren, welche eine bestimmte Größe der 
Energie besitzen (besser: welche in ein bestimmtes „Energie- 
gebiet^* hineinfallen), keine vorgeschriebene ist, sondern variieren 



^ Das „System" umfaßt natürlich nur die N Resonatoren selber; das 



Strahlungsfeld gehört nicht mit dazu. 



152 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



kann. Betrachten wir nun alle mögliche Arten Yon Energie- 
verteilungsgesetzen und berechnen für jedes derselben die ihm 
entsprechende Anzahl von Komplexionen, genau wie bei den 
Gasmolekülen, so erhalten wir durch Addition sämtlicher so 
erhaltener Komplexionszahlen die gesuchte Wahrscheinlichkeit W 
des gegebenen physikalischen Zustandes. 

Schneller und bequemer als auf dem angegebenen Wege 
kommen wir folgendermaßen zu demselben Ziele. Wir teilen 
die gegebene Gesamtenergie ZT^y in eine große Anzahl P gleiche 
Teile von der Größe s, deren jeden wir ein Energieelement 
nennen. Dann ist: 

(225) P = ^' 

Diese P Energieelemente sind nun auf alle mögliche Weise unter 
die iV^ Kesonatoren zu verteilen, wobei es aber nicht darauf an- 
kommt, welche Energieelemente, sondern nur wieviel Energie- 
elemente auf einen bestimmten Resonator entfallen. Denken 
wir uns also die N Resonatoren numeriert und die Ziffern 
nebeneinander in eine Reihe geschrieben, und zwar jede Ziffer 
so oft, als die Zahl der Energieelemente beträgt, die auf den 
betreffenden Resonator entfallen, so erhalten wir durch eine 
solche Ziffernreihe das Bild einer bestimmten Komplexion, in 
welcher jedem individuellen Resonator eine bestimmte Energie 
zukommt. Die Anordnung der Ziffern in der Reihe ist für die 
Komplexion gleichgültig, da eine bloße Umstellung der Ziffern 
an der Energie eines bestimmten Resonators nichts ändert. 
Besitzt in der Komplexion ein Resonator gar keine Energie, 
so kommt seine Ziffer in der Reihe gar nicht vor. Die Ge- 
samtzahl der Zifferstellen ist notwendig P, d. h. die Zahl der 
zu verteilenden Energieelemente. Somit ist die Anzahl aller 
möglichen verschiedenen Komplexionen gleich der Anzahl der 
möglichen „Kombinationen mit Wiederholung von lY Elementen 
zur P. Klasse'': 



(N- 1)!P! 

und dies ist zugleich die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ge- 
gebenen Zustandes der N Resonatoren. Wenn beispielsweise 
y — 3j P — ^, so sind die Bilder aller möglichen Kom- 
plexionen : 



Berechnung der Strahlungsentropie und Folgerungen daraus 153 

1111 1133 2222 

1112 1222 2223 

1113 1223 2233 

1122 1233 2333 

1123 1333 3333 

Die Anzahl aller möglichen KomplexioDen ist hier TF= 15, wie 
es der Formel entspricht. 

Für die Entropie S^^ des Eesonatorsystems erhalten wir 
daher nach Gleichung (203), da N und P große Zahlen sind, 
mit Weglassung der additiven Konstanten: 

und mit Benutzung der Stikling sehen Formel (207): 

^^= k[[N -{- P)\o%[N -\- P)~i\^logiV- PlogP}. 

Ersetzt man nun nach (225) P durch 11^^ und nach (224) Z7^- 
durch Uy so ergibt sich nach leichter Umformung für die Entropie 
der N gleichbeschaffenen Eesonatoren: 

und für die Entropie eines einzelnen Resonators: 

Ein Vergleich dieses Ausdrucks mit (223) zeigt, daß das Energie- 
element 6 proportional der Schwingungszahl v der Eigenperiode 
des Eesonators sein muß. Wir setzen daher: 

E^hv, (226) 

wobei h konstant, und erhalten dadurch: 

. = .{(l + i^)log(n-iL)_--log^) (227) 

als Lösung des behandelten Problems. 

§ 149. Auffallend an diesem Resultat ist zunächst das 
Auftreten einer neuen universellen Konstante h von der Dimension 
eines Produkts aus Energie und Zeit. Hierin liegt ein wesent- 
licher Unterschied gegenüber dem Ausdruck der Entropie eines 
Gases, wo die Größe eines Elementargebiets, die wir do nannten, 



s-*- 

^--N 



154 Entropie und Wahrscheinlichkeit 

aus dem Schlußresultat ganz verschwindet, da sie sich nur in 
der physikalisch bedeutungslosen additiven Konstanten geltend 
macht. Es kann wohl keinem Zweifel unterliegen, daß die 
Konstante h bei den elementaren Schwingungsvorgängen in 
einem Emissionszentrum eine gewisse Rolle spielt, zu deren Er- 
gründung von elektrodynamischer Seite her unsere bisherige 
Theorie jedoch keine näheren Anhaltspunkte liefert.^ Und doch 
wird die Thermodynamik der Strahlung erst dann zum voll- 
ständig befriedigenden Abschluß gelangt sein, wenn die Kon- 
stante h in ihrer vollen universellen Bedeutung erkannt ist. Ich 
möchte dieselbe als ,, elementares Wirkungsquantum" oder als 
„Wirkungselement" bezeichnen, weil sie von derselben Dimension 
ist wie diejenige Größe, welcher das Prinzip der kleinsten 
Wirkung seinen Namen verdankt. 

§ 150. Es ist von Interesse sich besonders zu vergewissern, 
daß man zu dem nämlichen Ausdruck der Entropie wie oben 
gelangt, wenn man bei der Berechnung der Anzahl von Kom- 
plexionen, die einem gegebenen Zustand entsprechen, nicht von 
vornherein auf die Energie, die ja immerhin eine zusammen- 
gesetzte Größe ist, Bezug nimmt, sondern direkt auf den elektro- 
magnetischen Zustand der einzelnen Resonatoren zurückgeht, 
was für die Berechnung nicht ganz so einfach, aber allgemeiner 
und daher rationeller ist. Es handelt sich hierbei im wesent- 
lichen um die richtige Ausmessung der „Elementargebiete" des 
Zustandsbereichs, da deren Größe ja der Berechnung der 
Komplexionen zugrunde gelegt wird und somit in letzter Linie 
den Maßstab für die Vergleichung der Wahrscheinlichkeiten ver- 
schiedener Zustände liefert. Der elektromagnetische Zustand 
eines Resonators ist nach § 104 bestimmt durch die Werte 
von f und /. Trägt man also in einer Koordinatenebene f als 
Abszisse, f als Ordinate auf, so entspricht jeder Punkt der Ebene 
einem bestimmten Zustand des Resonators, und umgekehrt. 
Doch ist die Größe eines Flächenelements in dieser Ebene 
keineswegs im allgemeinen ein Maß der Wahrscheinlichkeit dafür, 
daß der Zustand des Resonators durch einen Punkt innerhalb 
des Flächenelements dargestellt wird. Dieser einfache Satz gilt 
vielmehr nur dann, wenn man als Ordinate statt / den der 



* Vgl. die Anmerkung in § 109. 



Berechnung der Strahlungsentropie und Folgerungen daraus 155 

Koordinate f entsprechenden „Impuls" (oder das „Moment" von /], 
nämlich die Größe: 

dU 



Bf 



9 



d.h. nach (142): 9 = Lf (228) 

nimmt. ^ Wir denken uns also f und g als die Koordinaten 
eines Punktes der Zustandsehene, und fragen zunächst nach 
der Größe der Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Energie des 
Eesonators zwischen den Werten U und U -\- /\U liegt. Diese 
Wahrscheinlichkeit wird gemessen durch die Größe desjenigen 
Flächenstücks in der Ebene der Zustandsvariabeln f und g, 
welches von den Kurven ü = const und U -\- AU = const be- 
grenzt wird. 

Nun ist die Energie des Resonators in dem Zustands- 
punkt (f, g) nach (142) und (228) gegeben durch: 

folglich ist die Kurve U = const eine Ellipse mit den Halbachsen: 

l/^ und iJTUL, 
Ihr Flächeninhalt beträo;t mithin: 



nJ^'^l2'UL=^27tUl 



K V 



wenn man nach Gleichung (166) die Schwingungszahl v der 
Eigenperiode des Resonators einführt. Ebenso ergibt sich der 
Flächeninhalt der Ellipse TJ ■\- ATJ — const als: 

V 

Die Differenz der beiden Flächenräume, das Maß der gesuchten 
Wahrscheinlichkeit, beträgt mithin . Denken wir uns nun 

die ganze Zustandsebene durch eine große Anzahl derartiger 
Ellipsen so in einzelne Abschnitte geteilt, daß die von je zwei 
aufeinanderfolgenden Ellipsen begrenzten ringförmigen Flächen- 
stücke einander gleich sind, d. h. so, daß 



* Vgl. z. B. L. BoLTZMANN, Gastheoi'ie II, p. 62 fF., 1898, oder 
J. W. GiBBs, Elementary Principles in Statistical Mechanics, Chapter I, 1902. 



156 Entropie und Wahrschemlichkeit 



= const , 



so erhalten wir dadurch diejenigen Abschnitte A U der Energie, 
welche gleichen Wahrscheinlichkeiten entsprechen und welche 
daher als die Energieelemente zu bezeichnen sind. Setzen wir 
die Größe eines Energieelements /\U = s und die const der 
letzten Gleichung gleich h, so kommen wir genau zu der früheren 
Gleichung (226) zurück, ohne daß wir das WiENSche Verschiebungs- 
gesetz herangezogen haben. Zugleich zeigt sich uns hier das 
elementare Wirkungsquantum h in einer neuen Bedeutung, 
nämlich als die Größe eines Elementargebiets in der Zustands- 
ebene eines Kesonators, gültig für Resonatoren von ganz be- 
liebiger Schwingungsperiode. Der Umstand, daß die Konstante h 
als eine bestimmte endliche Größe eingeführt wird, ist charak- 
teristisch für die ganze hier entwickelte Theorie. Würde man h 
unendlich klein annehmen, so käme man zu einem Strahlungs- 
gesetz, welches als ein spezieller Fall aus dem allgemeinen 
hervorgeht (das RAYLEiGHsche Gesetz, vgl. § 154 und nament- 
lich § 166). 

§ 151. Die Gleichung (227) führt zunächst mit Rücksicht 
auf die Beziehungen (198) und (193) zu dem Ausdruck der 
Entropiestrahlung 2 eines monochromatischen geradlinig polari- 
sierten Strahles von der spezifischen Strahlungsintensität ^ und 
der Schwingungszahl v: 

als bestimmtere Fassung der Gleichung (134) des Wien sehen 
Verschiebungsgesetzes. 

Ferner folgt mit Rücksicht auf (197) und (194) die räum- 
liche Entropiedichte § einer gleichmäßigen monochromatischen 
unpolarisierten Strahlung in ihrer Abhängigkeit von der räum- 
lichen Energiedichte u: 

(230) ^ = ^{(l + 3-^)log(l + ^)-,-^log3|^) 

als bestimmtere Fassung der Gleichung (119). 

§ 153. Nun wollen wir in jede der drei Gleichungen (227), 
(229), (230) die Temperatur T des Resonators bez. der mono- 
chromatischen Strahlung einführen und die Energiegrößen U, ^ 



Berechnung der Strahlungsentropie und Folgerungen daraus 157 

und u durch die Temperatur T ausdrücken. Wir benutzen 
dazu je eine der Gleichungen (199), (135) und (117), und er- 
halten dann: 
Für die Energie des Kesonators: 

TJ=-^' (231) 

Für die spezifische Intensität eines monochromatischen gerad- 
linig polarisierten Strahles von der Schwingungszahl v: 

' ^=^^'^ (232) 

Für die räumliche Energiedichte der gleichmäßigen mono- 
chromatischen unpolarisierten Strahlung von der Schwingungs- 
zahl v: 

Unter allen verschiedenartig zusammengesetzten Strahlungen ist 
die schwarze Strahlung dadurch ausgezeichnet, daß alle darin 
enthaltenen monochromatischen Strahlen die nämliche Tempe- 
ratur besitzen (§ 93). Daher liefern diese Gleichungen auch 
das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum, d. h. im 
Emissionsspektrum eines in bezug auf das Vakuum schwarzen 
Körpers. 

Bezieht man die spezifische Intensität eines monochromati- 
schen Strahles nicht auf die Schwingungszahl v, sondern, wie 
es in der Experimentalphysik gewöhnlich geschieht, auf die 
Wellenlänge X, so erhält man, mit Benutzung von (15) und (16), 
den Ausdruck: 

^A = ^--T5^— (234) 

als die Intensität eines monochromatischen geradlinig polarisierten 
Strahles von der Wellenlänge X, der von einem auf der Tempe- 
ratur T befindlichen schwarzen Körper senkrecht zur Oberfläche 
in das Vakuum emittiert wird. Die dazu gehörige räumliche 
Strahlungsdichte der unpolarisierten Strahlung ergibt sich durch 

Q .TT" 

Multiplikation von Ei mit 



158 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



Zur Geschichte der Gleichung (234) vgl. weiter unten § 189. 
Ihre experimentelle Prüfung hat bisher eine gute Übereinstimmung 
mit der Erfahrung ergeben.^ Doch sind nach 0. Lummee und 
E. Peingsheim 2 die bisherigen Messungen noch nicht ausreichend, 
um vom rein experimentellen Standpunkt aus die Allgemein- 
gültigkeit jener Formel als gesichert hinstellen zu können. 

§153. Für kleine Werte von IT (d.h. klein gegen die 

Konstante ^j geht (234) über in die Gleichung: 
(235) E^=^-^'- ^^T 






welche das „Wien sehe Energie Verteilungsgesetz" ausspricht.^ 
Die spezifische Strahlungsintensität ^ wird dann nach (232): 

(236) ' ^ = ^.6~^2^ 

und die räumliche Energiedichte u nach (233): 

(237) „ = l!L^.e-^. 

Für die Energie eines Eesonators von der Schwingungszahl v 
erhält man dann aus (231): 

_ Al 

(238) TJ^hve ^^\ 

Die Entropie S des Eesonators als Funktion der Energie U 

wird dann nach (227), da der Quotient -r— kleine Werte an- 
nimmt: 

(239) S = -^log ^ 



hv ^ ehv 



Diese Beziehungen gelten also für jede Wellenlänge bei hin- 
reichend tiefen Temperaturen, und für jede Temperatur bei hin- 
reichend kurzen Wellen. 



^ Vgl. namentlich H. Rubens und F. Kurlbaum, Sitzungsber. d. Akad. 
d. Wissensch. zu Berlin, vom 25. Okt. 1900, p. 929. Drudes Ann. 4, 
p. 649, 1901; und F. Paschen, Drudes Ann. 4, p. 277, 1901. 

2 0. Lümmer und E. Pringsheim, Drudes Ann. 6, p. 210, 1901. 

3 W. Wien, Wied. Ann. 58, p. 662, 1896. 



Berechnung der Strahlungsentropie und Folgerungen daraus 159 

§ 154. Für große Werte von A T hingegen wird aus (234): 

^A==-^» (240) 

eine Beziehung, die zuerst von Lord Rayleigh^ aufgestellt 
worden ist, und die wir daher als „RAYLEiGHSches Strahlungs- 
gesetz" bezeichnen können. 

Für die spezifische Strahlungsintensität ^ ergibt sich dann 
aus (232): 

h i;2 T 

ü = ^ (241) 

und für die räumliche Energiedichte u der monochromatischen 
Strahlung aus (233): 

u = — ^i -• (242) 

Die Energie eines Resonators wird dann nach (231): 

U=-kT, (243) 

also einfach proportional der absoluten Temperatur und ganz 
unabhängig von der Schwingungszahl v der Eigenperiode, wie 
überhaupt von der natürlichen Beschaffenheit des Resonators. 
Für die Entropie S des Resonators als Funktion seiner 
Energie U endlich ergibt sich unter derselben Voraussetzung, da 

- — dann große Werte annimmt: 
hv ^ 

S=^klogU-{- const. (244) 

Es ist von Interesse, den einfachen für lange Wellen oder 
hohe Temperaturen gültigen Wert (243) der Schwingungsenergie 
eines Resonators zu vergleichen mit der früher in (222) be- 
rechneten mittleren lebendigen Kraft L der Bewegung eines ein- 
atomigen Moleküls bei der nämlichen Temperatur. Der Ver- 
gleich ergibt: 

U=iL. (245) 

Diese Beziehung, und damit auch die Identität der Konstanten k 
für die Molekularbewegungen und für die Strahlungsvorgänge, 
wird von einer ganz anderen Seite her in sehr bemerkenswerter 
Weise bestätigt durch eine Folgerung aus der Elektronentheorie. 
Nach den Anschauungen dieser Theorie hat man sich nämlich 



^ Lord Rayleigh, Phil. Mag. 49, p. 539, 1900. 



160 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



die von uns betrachteten linearen Schwingungen eines elementaren 
Oszillators vorzustellen als geradlinige Bewegungen eines Elek- 
trons. Dann muß nach einem Satz der statistischen Mechanik 
in einem von Wärmestrahlung erfüllten Gase beim thermo- 
dynamischen Gleichgewichtszustand die mittlere lebendige Kraft 
dieser geradlinigen Elektronenbewegung gleich sein dem dritten 
Teil der mittleren lebendigen Kraft der fortschreitenden Be- 
wegung eines Moleküls; denn die letztere Bewegung wird durch 
drei voneinander unabhängige Komponenten bestimmt, besitzt 
also drei Grade von Bewegungsfreiheit, während dagegen den 
Elektronenschwingungen in unserem Oszillator nur ein einziger 
Grad von Bewegungsfreiheit zukommt. Nun ist einerseits die 
mittlere lebendige Kraft der Elektronenschwingungen gleich der 
Hälfte der ganzen Schwingungsenergie , also i- U, andererseits 
ist der dritte Teil der mittleren lebendigen Kraft der fort- 
schreitenden Bewegung eines Moleküls gleich iL, also folgt 
daraus die Beziehung (245). Sind verschiedenartige Resonatoren 
mit verschiedenen Eigenschwingungen im Gase vorhanden, so 
müssen sie alle die nämliche mittlere Schwingungsenergie be- 
sitzen, ebenso wie die mittlere lebendige Kraft der fort- 
schreitenden Bewegung verschiedener Molekülarten die gleiche 
ist. In der Tat ist nach (243) U von 2> unabhängig. ^ 

§ 155. Für die räumliche Gesamtdichte u der schwarzen 
Strahlung bei irgend einer Temperatur T ergibt sich aus (233): 







CO 

w = 1 Vi dv 




= 


Cß 

STih r v^dv 




C3 / hv 

J e^^ -1 




oder: 


u = 


00 




+ 


2hv Bhv 

e ^^ +e ^^ 



...). 



+ ,.. v^ dv 



* Vgl. hierzu A. Einstein, Drudes Ann. 17, p. 132, 1905. Die dort 
hervorgehobene der Strahlungstheorie entgegenstehende Schwierigkeit rührt 
daher, daß die Beziehung (245) dort von vornherein als allgemeingültig 
vorausgesetzt wird, während nach der hier dargestellten Theorie der er- 
wähnte Satz der statistischen Mechanik nur für hinreichend große Werte 
des Produkts l T Gültigkeit beanspruchen kann. Näheres über diesen 
prinzipiell wichtigen Punkt s. § 166. 



Berechnung der Strahlung sentropie und Folgerungen daraus 161 



und durcli gliedweise Integration: 



u — 



(")«. (246) 



C 

wobei zur Abkürzung gesetzt ist: 

«=l + 2V + ^ + ^ + ---=l'0823. (247) 

Hierdurch ist das Stefan -Boltzmann sehe Gesetz (75) aus- 
gedrückt, mit der näheren Maßgabe, daß die Konstante dieses 
Gesetzes: 

«='^- (248) 

§ 156. Für diejenige Wellenlänge \^, welcher im Spektrum 
der schwarzen Strahlung das Maximum der Strahlungsintensität Ei 
entspricht, ergibt sich aus der Gleichung (234): 



V dl /A = ;.m 



Die Ausführung der Differentiation liefert, wenn man zur Ab- 
kürzung setzt: 

ch __ o 

e-ß + l^l =0. 

5 

Die Wurzel dieser transzendenten Gleichung ist: 

ß = 4,9651 , (249) 

mithin ist A T= 4t- > also konstant, wie es das Wien sehe Ver- 

Schiebungsgesetz verlangt. Durch Vergleichung mit (109) erhält 
man die Bedeutung der Konstanten b: 

ft = -^. (250) 

§ 157. Zahlenwerte. Mit Hilfe der gemessenen Werte 

von a und b lassen sich die universellen Konstanten h und k 

leicht berechnen. Es folgt nämlich aus den Gleichungen (248) 

und (250): 

h = — / , k = -f , (251) 

48nac 48 tt a ^ ' 

Planck, Wärmestrahlung. 11 



162 Entropie und Wahrschemliehkeit 

Dies ergibt mit den aügegebenen Werten der Konstanten a, 6, 
a, ß, c, in (79), (110), (247), (249) und (51): 

(252) Ä = 6,548. 10-27 erg-sec, k= 1,346- 10" i«-^^- 

§ 158. Zur Enthüllung der vollen physikalischen Bedeutung 
des elementaren Wirkungsquantums h wird es noch mannigfacher 
Forschungsarbeit bedürfen. Dagegen gestattet der gefundene 
Wert von k leicht, den allgemeinen Zusammenhang zwischen 
Entropie /S und Wahrscheinlichkeit W, wie er durch die uni- 
verselle Gleichung (203) ausgedrückt ist, nunmehr auch numerisch 
im C.G.S.-System anzugeben. Es ist nämlich danach ganz all- 
gemein die Entropie eines physikalischen Systems: 

(253) Ä=: 1,346. 10-16 -log TT ^^ 

zuzüglich einer willkürlichen additiven Konstanten. Diese 
Gleichung kann als die allgemeinste bisher existierende 
Definition der Entropie angesehen werden. 

In der Anwendung auf die kinetische Gastheorie erhalten 
wir aus Gleichung (218) für das Verhältnis der Molekülmasse 
zur Molmasse: 

(254) (« = A = i.||lH;ü. = 1,62.10-, 

d. h. auf ein Mol gehen 

- = 6,175-1023 



(O 



Moleküle, wobei immer das Sauerstoffmol Og = 32 g voraus- 
gesetzt ist. Daher ist z. B. die absolute Masse eines Wasserstoff- 
atoms (^Hg = 1,008 g) gleich 1,63 . 10-24g. Damit wird die An- 
zahl der bei 0^ C. und Atmosphärendruck in 1 ccm enthaltenen 
Moleküle eines idealen Gases: 

(255) « = -8^nF^-hr = 2.^6-io-. 

Die mittlere lebendige Kraft der fortschreitenden Bewegung 
eines Moleküls bei der absoluten Temperatur T= 1 ist nach 
(222) im absoluten C.G.S.-System: 

(256) |Ä; = 2,02. 10-1^ 

Allgemein wdrd die mittlere lebendige Kraft der fortschreitenden 



Berechnung der Strahlungsentropie und Folgerungen daraus 163 

Bewegung eines Moleküls durch das Produkt dieser Zahl und 
der absoluten Temperatur T ausgedrückt. 

Das Elementarquantum der Elektrizität, oder die freie 
elektrische Ladung eines einwertigen Ions oder Elektrons ist 
im elektrostatischen Maße: 

6 = « • 9658 . 3 . 101^ = 4,69 • IQ-i^ . (257) 

Da die hier benutzten Formeln mit absoluter Genauigkeit gelten 
so dürfen diese Zahlen so lange als die exaktesten Bestimmungen 
der genannten physikalischen Größen angesehen werden, bis die 
zur Berechnung der universellen Konstante k benutzten Werte der 
Strahlungskonstanten a und h durch neuere Messungen verbessert 
werden. 

§ 159. Natürliche Maßeinheiten. Alle bisher in Gebrauch 
genommenen physikalischen Maßsysteme, auch das sogenannte 
absolute C.G.S.-System, verdanken ihren Ursprung insofern dem 
Zusammentreffen zufälliger Umstände, als die Wahl der jedem 
System zugrunde liegenden Einheiten nicht nach allgemeinen, 
notwendig für alle Orte und Zeiten bedeutungsvollen Gesichts- 
punkten, sondern wesentlich mit Kücksicht auf die speziellen 
Bedürfnisse unserer irdischen Kultur getroffen ist. So sind die 
Einheiten der Länge und der Zeit aus den gegenwärtigen 
Dimensionen und der gegenwärtigen Bewegung unseres Planeten 
hergeleitet worden, ferner die Einheit der Maße und der Tempe- 
ratur aus der Dichte und den Fundamentalpunkten des Wassers, 
als derjenigen Flüssigkeit, die an der Erdoberfläche die wichtigste 
Rolle spielt, genommen bei einem Druck, der der mittleren Be- 
schaffenheit der uns umgebenden Atmosphäre entspricht. An 
dieser Willkür würde prinzipiell auch nichts Wesentliches ge- 
ändert werden, wenn etwa zur Längeneinheit die unveränder- 
liche Wellenlänge des Na-Lichtes genommen würde. Denn die 
Auswahl gerade des Na unter den vielen chemischen Elementen 
könnte wiederum nur etwa durch sein häufiges Vorkommen auf 
der Erde oder etwa durch seine für unser Auge glänzende 
Doppellinie, die keineswegs einzig in ihrer Art dasteht, gerecht- 
fertigt werden. Es wäre daher sehr wohl denkbar, daß zu einer 
anderen Zeit, unter veränderten äußeren Bedingungen, jedes der 
bisher in Gebrauch genommenen Maßsysteme seine ursprüngliche 
natürliche Bedeutung teilweise oder gänzlich verlieren würde. 

11* 



164 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



Dem gegenüber dürfte es nicht ohne Interesse sein, zu be- 
merken, daß mit Zuhilfenahme der beiden in dem Ausdrucke (227) 
der Strahlungsentropie auftretenden Konstanten h und h die Mög- 
lichkeit gegeben ist, Einheiten für Länge, Masse, Zeit und Tempe- 
ratur aufzustellen, welche, unabhängig von speziellen Körpern 
oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, 
auch außerirdische und außermenschliche Kulturen notwendig 
behalten und welche daher als „natürliche Maßeinheiten" be- 
zeichnet werden können. 

Die Mittel zur Festsetzung der vier Einheiten für Länge, 
Masse, Zeit und Temperatur werden gegeben durch die beiden 
erwähnten Konstanten h und A;, ferner durch die Größe der 
Lichtfortpflanzungsgeschwindigkeit c im Vakuum und durch die 
der Gravitationskonstante f. Bezogen auf Zentimenter, Gramm, 
Sekunde und Celsiusgrad sind die Zahlenwerte dieser vier Kon- 
stanten die folgenden: 

;i = 6,548. 10-27 _g^, 



sec 



Ä:= 1,346.10-16-^,-^^ 
sec^ grad 



sec 

/•= 6,685-10-8-^.^ 
' g sec* 

Wählt man nun die „natürlichen Einheiten" so, daß im neuen 
Maßsystem jede der vorstehenden vier Konstanten den Wert 1 
annimmt, so erhält man als Einheit der Länge die Größe: 



33 cm, 



]/5 = 4,03.10 
als Einheit der Masse: 

j/^ = 5,42. 10-^ g, 



als Einheit der Zeit: 

1,34. 10-^3 sec, 



f^^ _ 1 Q/( . in— 43 



c 
als Einheit der Temperatur: 



F. RiCHARz und 0. Krigar-Menzel, Wied. Ann, 66, p. 190, 1898. 



Berechnung der Strahlung sentropie und Folgerungen daraus 165 

1 1/^ = 3,63 . 1032 grad Geis . 

Diese Größen behalten ihre natürliche Bedeutung so lange bei, 
als die Gesetze der Gravitation, der Lichtfortpflanzung im Vakuum 
und die beiden Hauptsätze der Thermodynamik in Gültigkeit 
bleiben, sie müssen also, von den verschiedensten Intelligenzen 
nach den verschiedensten Methoden gemessen, sich immer wieder 
als die nämlichen ergeben. 

§ 160. Man bezeichnet häufig das Normalspektrum der 
Licht- und Wärmestrahlung als zusammengesetzt aus einer 
großen Anzahl von regelmäßigen periodischen Schwingungen. 
Diese Ausdrucksweise ist insofern vollkommen berechtigt, als 
sie an die Zerlegung der Gesamtschwingung in eine FouRiEESche 
Reihe, nach Gleichung (179), anknüpft, und eignet sich häufig in 
hervorragendem Maße dazu, die Betrachtungen bequem und über- 
sichtlich zu gestalten; sie darf aber nicht zu der Auffassung 
verleiten, als ob jene „Regelmäßigkeit" auf einer besonderen 
physikalischen Eigenschaft der elementaren Schwingungsvorgänge 
im Spektrum beruhe; denn die Zerlegbarkeit in eine FouRiEEsche 
Reihe ist mathematisch selbstverständlich und lehrt daher in 
physikalischer Beziehung nichts Neues. Man könnte im Gegen- 
teil mit vollem Rechte behaupten, daß es in der ganzen Natur 
keinen unregelmäßigeren Vorgang gibt als die Schwingungen in 
den Strahlen eines Normalspektrums. Insbesondere hängen diese 
Schwingungen in keiner irgendwie charakteristischen Weise zu- 
sammen mit den speziellen Vorgängen in den Emissionszentren 
der Strahlen, etwa mit der Periode oder mit der Dämpfung 
der emittierenden Oszillatoren; denn gerade das Normalspektrum 
ist ja dadurch vor allen anderen Spektren ausgezeichnet, daß 
alle von der speziellen Natur der emittierenden Substanz her- 
rührenden individuellen Verschiedenheiten vollkommen aus- 
geglichen und verwischt sind. Es wäre daher auch ein gänz- 
lich aussichtsloses Unternehmen, wenn man etwa versuchen 
wollte, aus den Elementarschwingungen in den Strahlen des 
Normalspektrums Schlüsse zu ziehen auf die speziellen Eigen- 
schaften der die Strahlen emittierenden Oszillatoren. 

Die schwarze Strahlung läßt sich in der Tat ebensowohl 
wie aus regelmäßig periodischen Schwingungen, so auch aus 
gänzlich unregelmäßigen Einzelimpulsen zusammengesetzt an- 



166 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



sehen. Die besonderen Regelmäßigkeiten, die wir an spektral 
zerlegtem monochromatischen Licht beobachten, rühren lediglich 
her von den besonderen Eigenschaften der benutzten Spektral- 
apparate: des dispergierenden Prismas (Eigenperioden der 
Moleküle), des Beugungsgitters (Spaltbreite). Daher ist es un- 
zutreffend, einen Unterschied zwischen Lichtstrahlen und Röntgen- 
strahlen, letztere als elektromagnetischen Vorgang im Vakuum 
angenommen, in dem Umstand zu erblicken, daß in ersteren 
die elementaren Schwingungen mit größerer Regelmäßigkeit er- 
folgen. Die Zerlegbarkeit in eine FouEiEßsche Reihe von 
Partialschwingungen mit konstanten Amplituden und Phasen 
gilt für beide Arten von Strahlen in ganz gleicher Weise. Was 
aber die Lichtschwingungen vor den Röntgenschwingungen aus- 
zeichnet, ist wesentlich die viel kleinere Schwingungszahl ihrer 
Partialschwingungen, welche die Möglichkeit ihrer spektralen 
Zerlegung bedingt, und außerdem wahrscheinlich auch die 
viel größere zeitliche Gleichmäßigkeit der Strahlungsintensität 
in jedem Gebiete des Spektrums, die aber keineswegs auf 
einer besonderen Eigenschaft der elementaren Schwingungs- 
vorgänge, sondern lediglich auf der Konstanz der Mittelwerte 
beruht. 

§ 161. Die im § 152 ausgedrückten Beziehungen zwischen 
Strahlungsintensität und Temperatur gelten für die Strahlung 
im reinen Vakuum. Befindet sich die Strahlung in einem 
Medium vom Brechungsexponenten n, so wird die Abhängigkeit 
der Strahlungsintensität von der Schwingungszahl und der 
Temperatur durch den Satz des § 39 geregelt, daß das Produkt 
der spezifischen Strahlungsintensität ^^ und des Quadrats der 
Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Strahlung für alle Substanzen 
den nämlichen Wert hat. Die Form dieser universellen Funk- 
tion (42) ergibt sich ohne weiteres aus (232) zu: 



(258) S?^ = ^2^ = — 



«V 



Da nun der Brechungsexponent n der Fortpflanzungsgeschwindig- 
keit umgekehrt proportional ist, so tritt für ein Medium mit 
dem Brechungsexponent w an die Stelle von (232) die allgemeinere 
Beziehung: 



Berechnung der Strahlung sentropie und Folgerungen daraus 167 

und ebenso an die Stelle von (233) die allgemeinere Beziehung : 
^^^nhp^,^^^, (260) 

e^"^ -1 

Diese Ausdrücke gelten natürlich zugleich für die Emission 
eines in bezug auf das Medium mit dem Brechungsexponenten n 
schwarzen Körpers. 

§ 163. Wir wollen die gefundenen Strahlungsgesetze nun 
dazu benutzen, um die Temperatur einer monochromatischen 
unpolarisierten Strahlung von gegebener Intensität zu berechnen, 
welche von einer kleinen Fläche (Spalt) in senkrechter Richtung 
emittiert und durch ein beliebiges System diathermaner, durch 
zentrierte brechende (oder spiegelnde) Kugelflächen voneinander 
getrennter Medien nahe der Achse hindurchgegangen ist. Eine 
solche Strahlung besteht aus homozentrischen Bündeln und ent- 
wirft daher hinter jeder brechenden Fläche ein reelles oder 
virtuelles Bild der emittierenden Fläche, wiederum senkrecht 
zur Achse. Das letzte Medium nehmen wir zunächst, wie das 
erste, als reines Vakuum an. Dann handelt es sich für die 
Bestimmung der Strahlungstemperatur nach Gleichung (232) nur 
um die Berechnung der spezifischen Strahlungsintensität ^y im 
letzten Medium, und diese ist gegeben durch die Gesamtintensität 
der monochromatischen Strahlung 7^, die Größe der Bildfläche i^, 
und den räumlichen Öffnungswinkel Q des durch einen Punkt 
des Bildes hindurchgehenden Strahlenkegels. Denn die spezi- 
fische Strahlungsintensität ^^ ist nach (13) dadurch bestimmt, 
daß durch ein Flächenelement da in senkrechter Richtung 
innerhalb des Elementarkegels d^ m der Zeit dt die dem 
Schwingungsintervall von v bis v -\- dv entsprechende Energie- 
menge: 

2^ydG dQ dv dt 

unpolarisierten Lichtes hin durchgestrahlt wird. Bedeutet nun d a 
ein Element der Bildfläche im letzten Medium, so besitzt hier- 
nach die gesamte betrachtete auf das Bild fallende mono- 
chromatische Strahlung die Intensität: 



168 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



= 2^,{da{d^ 



ly ist Yon der Dimension einer Energiemenge, da das Produkt dv*dt 
eine reine Zahl ist. Das erste Integral ist die ganze Fläche F 
des Bildes, das zweite ist der räumliche Öffnungswinkel ß des 
durch einen Punkt der Bildfiäche hindurchgehenden Strahlen- 
kegels. Daher erhält man: 

(261) I,=-2^,Fn, 

und daraus mit Benutzung von (232) als Temperatur der 
Strahlung: 

(262) ^ = ^--7^OT^— V 

'°n eU. +v 

Wenn das betrachtete diathermane Medium nicht das Vakuum 
ist, sondern den Brechungsexponenten n besitzt, so tritt an 
die Stelle von (232) die allgemeinere Beziehung (259), und man 
erhält statt der letzten Gleichung: 

(263) T - - 



log( 



2hv^FS2n^ ^' 



oder, mit Substitution der Zahlenwerte von c, h und k: 

^ 0,487. 10-^0. j/ 1 ^ T 

log(-^ ^ +l) 

Hierbei ist der natürliche Logarithmus zu nehmen, und ly ist in 
erg, V in reziproken Sekunden, F in Quadratzentimetern aus- 
zudrücken. Bei sichtbaren Strahlen wird man den Summanden 1 
im Nenner meistens weglassen können. 

Die so berechnete Temperatur bleibt der betrachteten 
Strahlung so lange erhalten, als sie sich in dem diathermanen 
Medium ungestört fortpflanzt, auch wenn sie sich bis in beliebige 
Entfernungen und in beliebig große Eäume ausbreitet. Denn 
wenn auch in größeren Entfernungen eine immer kleinere 
Energiemenge durch ein Flächenelement von bestimmter Größe 
hindurchstrahlt, so verteilt sich dieselbe dafür auf einen um so 
schmaleren, von dem Elemente ausgehenden Strahlenkegel, so daß 
der Wert von ^ ganz ungeändert bleibt. Daher ist die freie 



Berechnung der Strahlungsentropie und Folgerungen daraus 169 



Ausbreitung der Strahlung ein vollkommen reversibler Vorgang. 
Die ümkehrung desselben läßt sich etwa mit Hilfe eines passenden 
Hohlspiegels oder einer Sammellinse realisieren. 

Fragen wir nun weiter nach der Temperatur der Strahlung 
in den übrigen Medien, die zwischen den einzelnen brechenden 
oder spiegelnden Kugelflächen liegen. In jedem dieser Medien 
besitzt die Strahlung eine bestimmte Temperatur, die durch die 
letzte Formel gegeben ist, wenn man sie auf das von der Strahlung 
in diesem Medium erzeugte reelle oder virtuelle Bild bezieht. 

Die Schwingungszahl v der monochromatischen Strahlung 
ist selbstverständlich in allen Medien dieselbe; ferner ist nach 
den Gesetzen der geometrischen Optik das Produkt n^FQ in 
allen Medien gleich. Wenn daher auch noch die Gesamtintensität 
der Strahlung I^ bei der Brechung (oder Reflexion) an einer 
Fläche konstant bleibt, so bleibt auch T konstant, oder mit 
anderen Worten : Die Temperatur eines homozentrischen Strahlen- 
bündels wird durch regelmäßige Brechung oder Reflexion nicht 
geändert, falls dabei kein Energieverlust der Strahlung eintritt. 
Jede Schwächung der Gesamtintensität ly aber, durch Spaltung 
der Strahlung, sei es in zwei oder in viele verschiedene Rich- 
tungen, wie bei der difi'usen Reflexion, führt zu einer Erniedrigung 
der Temperatur T des Strahlenbündels. Tatsächlich findet ja 
im allgemeinen bei jeder Brechung oder Reflexion ein bestimmter 
Energie Verlust durch Reflexion oder Brechung, und mithin auch 
eine Temperaturerniedrigung statt. Hier kommt also der prinzi- 
pielle Unterschied scharf zur Geltung, den es macht, ob eine 
Strahlung lediglich durch freie Ausbreitung, oder ob sie durch 
Spaltung bez. Absorption geschwächt wird. Im ersten Fall bleibt 
die Temperatur konstant, im zweiten wird sie erniedrigt.^ 

§ 163. Nachdem die Gesetze der Emission eines schwarzen 
Körpers festgestellt sind, läßt sich mit Hilfe des Kiechhoff- 
schen Gesetzes (48) das Emissionsvermögen E eines beliebigen 
Körpers berechnen, wenn sein Absorptionsvermögen A, bez. sein 



^ Deshalb ist aber doch die reguläre Brechung und Reflexion kein 
irreversibler Vorgang. Denn die Entropie zweier kohärenter Strahlen ist 
nicht gleich der Summe der Entropien der Einzelstrahlen, weil dieselben 
nicht unabhängig voneinander sind im Sinne der Wahrscheinlichkeits- 
rechnung. Vgl. § 158 und § 134, sowie einen demnächst in Drcdes Annalen 
erscheinenden Aufsatz von M. Laue (Anm. bei der Korrektur). 



170 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



Eeflexionsvermögen 1 — Ä bekannt ist. Bei Metallen gestaltet 
sich diese Berechnung besonders einfach für lange Wellen, nach- 
dem E. Hagen und H. Kubens ^ experimentell gezeigt haben, 
daß das Reflexionsvermögen und überhaupt das ganze optische 
Verhalten der Metalle in dem genannten Spektralgebiete durch 
die einfachen Maxwell sehen Gleichungen des elektromagnetischen 
Feldes für homogene Leiter dargestellt wird und somit nur von 
der spezifischen Leitungsfähigkeit für stationäre galvanische 
Ströme abhängt. Daher läßt sich das Emissionsvermögen eines 
Metalls für lange Wellen vollständig ausdrücken durch seine 
galvanische Leitungsfähigkeit in Verbindung mit den Formeln 
für die schwarze Strahlung. ^ 

§ 164-. Es gibt aber auch einen Weg zur direkten theore- 
tischen Bestimmung sowohl der galvanischen Leitungsfähigkeit 
und damit des Absorptionsvermögens Ä als auch des Emissions- 
vermögens E von Metallen gerade für lange Wellen, wenn man 
von den Anschauungen der Elektronentheorie ausgeht, väe sie 
von E. RiECKE^ und namentlich vonP.DßUDE* für die thermischen 
und elektrischen Vorgänge in den Metallen ausgebildet worden 
sind. Hiernach beruhen alle diese Vorgänge auf den schnellen 
unregelmäßigen Bewegungen der Elektronen, die zwischen den ent- 
gegengesetzt elektrisch geladenen ponderablen Metallmolekülen 
hin und her fliegen und von ihnen, wie auch untereinander, beim 
Zusammenstoß abprallen, ähnlich wie Gasmoleküle, wenn sie ein 
festes Hindernis oder sich gegenseitig treffen. Die Geschwindig- 
keit der Wärmebewegungen der ponderablen Moleküle ist näm- 
lich gegen die der Elektronen zu vernachlässigen, weil im 
stationären Zustand die mittlere lebendige Kraft der Bewegung 
eines ponderablen Moleküles gleich derjenigen eines Elektrons 
ist (vgl. oben § 154), und weil die träge Masse eines ponderablen 
Moleküles die eines Elektrons um mehr als das Tausendfache 
übertrifft. Besteht nun im Innern des Metalls ein elektrisches 
Feld, so werden die entgegengesetzt geladenen Partikel nach 
entgegengesetzten Seiten getrieben, mit durchschnittlichen Ge- 
schwindigkeiten, die wesentlich mit von der mittleren freien 



^ E. Hagen und H. Rubens, Drudes Ann. 11, p. 873, 1903. 

* E. AscHKiNASs, Drudes Ann. 17, p. 960, 1905. 
3 E. RiECKE, WiED. Ann. 66, p. 353, 1898. 

* P. Drude, Drudes Ann. 1, p. 566, 1900. 



Berechnung der Strahlungsentropie und Folgerungen daraus 171 



Weglänge abhängen, und hieraus resultiert die Leitungsfähigkeit 
des Metalls für den galvanischen Strom. Andererseits ergibt 
sich das Emissionsvermögen des Metalls für strahlende Wärme 
aus der Berechnung der Stöße der Elektronen. Denn solange 
ein Elektron mit konstanter Geschwindigkeit in konstanter 
Richtung fliegt, bleibt seine kinetische Energie konstant und es 
findet keine Ausstrahlung von Energie statt; sobald es aber 
durch einen Stoß eine Änderung seiner Geschwindigkeitskompo- 
nenten erleidet, wird ein gewisser aus der Elektrodynamik zu 
berechnender Betrag von Energie, der sich stets in der Form 
einer Foueier sehen Reihe darstellen läßt, in den umgebenden 
Raum ausgestrahlt, ganz ebenso, wie man sich die Röntgen- 
strahlung entstanden denkt durch den Anprall der von der 
Kathode fortgeschleuderten Elektronen gegen die Antikathode. 
Durchführen läßt sich diese Berechnung bis jetzt allerdings 
nur unter der Voraussetzung, daß während der Zeit einer Partial- 
schwingung der Foueier sehen Reihe eine große Anzahl von Elektro- 
nenstößen stattfinden, d. h. für verhältnismäßig lange Wellen. 

Diese Methode kann man nun ofi'enbar dazu benutzen, um 
auf einem neuen, von dem früher eingeschlagenen ganz unab- 
hängigen Wege die Gesetze der schwarzen Strahlung für lange 
Wellen abzuleiten. Denn wenn man das so berechnete Emissions- 
vermögen E des Metalls dividiert durch das mittels der galva- 
nischen Leitungsfähigkeit bestimmte Absorptionsvermögen A des- 
selben Metalls, so muß nach dem Kiechhoff sehen Gesetz (48) 
das Emissionsvermögen des schwarzen Körpers, unabhängig von 
jeder speziellen Substanz, resultieren. Auf diese Weise hat 
H. A. LoEENTZ ^ in einer tiefgehenden Untersuchung das Strahlungs- 
gesetz eines schwarzen Körpers abgeleitet und ist dabei zu einem 
Resultat gekommen, das inhaltlich genau mit der Gleichung (240) 
übereinstimmt, wobei auch die Konstante k mit der Gaskonstante R 
wieder durch die Gleichung (217) zusammenhängt. Diese Art der 
Begründung der Strahlungsgesetze ist zwar auf das Gebiet langer 
Wellen beschränkt, aber dafür gewährt sie einen tieferen, höchst 
bedeutungsvollen Einblick in den Mechanismus der Elektronen- 
bewegungen und der durch sie bedingten Strahlungsvorgänge in 
Metallen. Zugleich wird dadurch die oben in § 160 geschilderte 



^ H. A. LoRENTz, Proc. Kon. Akad. v. Wet. Amsterdam 1903, p. G66. 



172 Entropie und Wahrscheinlichkeit 

Auffassung ausdrücklich bestätigt, wonach das Normalspektrum 
als zusammengesetzt aus einer großen Schar gänzlich unregel- 
mäßiger Elementarvorgänge betrachtet werden kann. 

§ 165. Eine weitere interessante Bestätigung des Strahlungs- 
gesetzes schwarzer Körper für lange Wellen und des Zusammen- 
hanges der Strahlungskonstanten k mit der absoluten Masse der 
ponderablen Moleküle hat vor kurzem J. H. Jeans ^ aufgefunden, 
auf einem schon vorher von Lord Eayleigh ^ beschrittenen Wege, 
welcher sich dadurch wesentlich von dem hier eingeschlagenen 
unterscheidet, daß er die Heranziehung von speziellen Wechsel- 
wirkungen zwischen der Materie (Moleküle, Oszillatoren) und dem 
Äther ganz vermeidet und im wesentlichen nur auf die Vor- 
gänge im durchstrahlten Vakuum eingeht. Den Ausgangspunkt 
dieser Betrachtungsweise liefert folgender Satz der statistischen 
Mechanik (vgl. oben § 154). Wenn in einem den Hamilton sehen 
Bewegungsgleichungen gehorchenden System, dessen Zustand 
durch die Werte einer großen Anzahl von unabhängigen Variabein 
bestimmt ist, und dessen Gesamtenergie sich additiv aus ver- 
schiedenen von den einzelnen Zustandsvariablen quadratisch 
abhängigen Teilen zusammensetzt, irreversible Prozesse statt- 
finden, so vollziehen sich diese durchschnittlich immer in 
der Richtung, daß die auf die einzelnen unabhängigen Zu- 
standsvariablen entfallenden Teilenergien sich gegenseitig aus- 
gleichen, so daß schließlich, bei Erreichung des statistischen 
Grleichgewichts, alle im Mittel einander gleich geworden sind. 
Nach diesem Satze läßt sich also in einem solchen System 
die stationäre Energieverteilung angeben, sobald man nur 
die unabhängigen Variabein kennt, durch welche der Zustand 
bestimmt ist. 

Wir denken uns nun ein reines Vakuum in der Form 
eines Würfels von der Kantenlänge l, mit metallisch spiegeln- 
den Seitenflächen. Legt man den Koordinatenanfangspunkt in 
eine Ecke des Würfels und die Koordinatenachsen in die an- 
stoßenden Kanten, so wird ein in diesem Hohlraum möglicher 
elektromagnetischer Vorgang dargestellt durch das folgende 
System von Gleichungen: 



1 J. H. Jeans, Phil. Mag., 10, p. 91, 1905. 

^ Lord Eayleigh, Nature 72, p. 54 und p. 243, 1905. 



Berechnung der StraMuvgsentropie und Folgeruyigen daraus 173 



(264) 



©^ = COS — - — • Sin — —' sin — - — (e^ cos27ivt-{-e^ sm27tvt), 
(g^ = Sin — - — .cos — ~-*sm — ^ — [e^ cos 2 711/^ + 62 sin znvt), 

rf, .anx .hny cn x , ^ ^, , . c\ a 

@^ = Sin — - — ■' sm — T-^'COS — - — [e^ cos27ivt-\-e^ sm ZTivt), 

f. .anx hny cnx ,, . ^ . t , r» a 

§^= sm — . — ♦ COS — ^-cos — - — [h^smzTivt—h^ co3 27ivt), 

^ anx .hny zn% ,, . r. . 1 , o a 

§^= cos—y — sin — T-^'COS — - — {fi^^m2nvt — h^ (io^27ivt\ 

f. anx hny . znx ,, . c\ ^ 1 > o a 

§^= cos — - — cos — j^' sm — - — {hQsm27tvt—h^ cosz.ti^^), 

wobei a, h, c irgend drei positive ganze Zahlen bedeuten. Die 
Grenzbedingungen sind in diesen Ausdrücken dadurch befriedigt, 
daß für die sechs Grenzflächen x = 0, x = l, y — 0, y = l, z = 0, 
% ^ l die tangentiellen Komponenten der elektrischen Feld- 
stärke ^ verschwinden. Die Maxwell sehen Feldgleichungen (52) 
werden ebenfalls, wie man durch Substitution erkennen kann, 
sämtlich befriedigt, wenn zwischen den Konstanten gewisse Be- 
ziehungen bestehen, welche sich alle in einen einzigen Satz zu- 
sammenfassen lassen: Bezeichnet man mit a eine gewisse positive 
Konstante, so bestehen zwischen den neun quadratisch angeord- 
neten Größen: 

ac h c ze 

2lv 2lv 277 



a 


a 


a 


«1 


^2 


es 



alle diejenigen Relationen, welche die neun sogenannten „Rich- 
tungskosinus" zweier orthogonaler rechtshändiger Koordinaten- 
systeme, d. h. die Kosinus der Winkel je zweier Achsen der 
beiden Systeme, erfüllen. 

Daher ist die Summe der Quadrate der Glieder jeder 
Horizontalreihe oder jeder Vertikalreihe = 1, also z. ß. 

^-^K + 6^ + = 1 (265) 

^? + ''l + ''l =a^ = el+ e\ + e] , 



174 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



Ferner ist die Summe der Produkte entsprechender Glieder in 
je zwei Parallelreihen gleich null. Also z. B. 

(266) aei + bßg + cßg = 0, 

a /^l + b ^2 4- c Äg = . 

Ferner gelten Relationen von der Form: 



also: 


hl _ e^ cc e^ hc 
a a 2lv a 2lv 


(267) 


K - 2Z^(C^2 ^^3)» ^S^ 



Wenn die ganzen Zahlen a, 6, c gegeben sind, so ist nach (265) 
die Schwingungszahl v unmittelbar dadurch bestimmt. Dann 
lassen sich von den sechs Größen e^, e^, e^, h^^, h^j h^ nur noch 
zwei beliebig wählen, die übrigen sind dann eindeutig, und zwar 
linear und homogen, durch sie bestimmt. Nimmt man z. B. 
ßj und 62 willkürlich an, so berechnet sich e^ aus (266) und dann 
folgen die Werte von h^, h^j h^ aus den Relationen von der 
Form (267). Zwischen den gestrichenen Konstanten e^', e^, e^y 
\', h^, h^ bestehen genau dieselben Beziehungen wie zwischen 
den ungestrichenen, von denen sie ihrerseits ganz unabhängig 
sind. Daher lassen sich auch von ihnen noch zwei beliebig 
wählen, etwa h^ und h^, so daß von allen in den obigen Glei- 
chungen vorkommenden Konstanten bei gegebenen a, b, c noch 
vier Konstante unbestimmt bleiben. Bildet man nun für jedes 
beliebige Zahlensystem a, b, c Ausdrücke von der Form (264) 
und summiert die entsprechenden Feldkomponenten, so erhält 
man wiederum eine Lösung der Maxwell sehen Feldgleichungen 
und Grenzbedingungen, welche aber nun so allgemein ist, daß 
sie jeden beliebigen in dem betrachteten Hohl Würfel möglichen 
elektromagnetischen Vorgang darzustellen vermag. Denn über 
die in den einzelnen partikulären Lösungen unbestimmt ge- 
bliebenen Konstanten e^, e^, h^\ h^ kann immer so verfügt 
werden, daß der Vorgang jedem beliebigen Anfangszustand {t = 0) 
angepaßt werden kann. 

Ist nun, wie wir bisher angenommen haben, der Hohlraum 
ganz von Materie entblößt, so ist der Strahlungsvorgang bei 
gegebenem Anfangszustand in allen seinen Einzelheiten eindeutig 



Berechnung der Strahlungsentropie und Folgerungen daraus 175 



bestimmt. Er zerfällt in eine Reihe von stehenden Schwingungen^ 
deren jede durch eine der betrachteten partikulären Lösungen 
dargestellt wird, und die vollständig unabhängig voneinander 
verlaufen. Von Irreversibilität kann also hierbei keine Rede 
sein, und daher auch nicht von der Tendenz zu einem Ausgleich 
der auf die einzelnen Partialschwingungen entfallenden Teil- 
energien. Sobald man aber auch nur eine Spur von Materie in 
dem Hohlraum befindlich annimmt, welche die elektrodynamischen 
Schwingungen beeinflussen können, z. B. einige Gasmoleküle, 
welche Strahlung emittieren und absorbieren, so wird der Vor- 
gang ungeordnet, und es wird sich, wenn auch langsam, ein 
Übergang von weniger wahrscheinlichen zu wahrscheinlicheren 
Zuständen vollziehen. Ohne nun auf irgendeine nähere Einzel- 
heit in der elektromagnetischen Konstitution der Moleküle ein- 
zugehen, kann man aus dem oben angeführten Satz der stati- 
stischen Mechanik den Schluß ziehen, daß unter allen möglichen 
Vorgängen derjenige einen stationären Charakter besitzt, bei 
welchem die Energie sich gleichmäßig auf alle unabhängigen 
Variabein des Zustandes verteilt hat. 

Bestimmen wir also diese unabhängigen Variabein. Zu- 
nächst sind es die Geschwindigkeitskomponenten der Gasmoleküle. 
Jeder der drei voneinander unabhängigen Geschwindigkeits- 
komponenten eines Moleküls entspricht mithin im stationären 
Zustand durchschnittlich die Energie \Lj wo L die mittlere 
Energie eines Moleküls darstellt und durch (222) gegeben ist 
(vgL § 154). Ebenso groß ist also die Teilenergie, welche im 
stationären Zustand durchschnittlich auf jede der unabhängigen 
Variabein des elektromagnetischen Systems entfällt. 

Nun ist nach den obigen Ausführungen der elektromagne- 
tische Zustand des ganzen Hohlraums für jede einzelne, je einem 
bestimmten Wertensystem der Zahlen a, b, c entsprechende 
stehende Schwingung in irgendeinem Zeitpunkt durch vier von- 
einander unabhängige Größen bestimmt. Folglich ist für die 
Strahlungsvorgänge die Anzahl der unabhängigen Zustands- 
variablen 4 mal so groß als die Anzahl der möglichen Werten- 
systeme der positiven ganzen Zahlen a, B, c. 

Wir wollen nun die Anzahl der möglichen Wertensysteme 
a, B, c berechnen, welche den Schwingungen innerhalb eines be- 
stimmten kleinen Spektralbezirks, etwa zwischen den Schwingungs- 



? 



176 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



zahlen v und v -\- dv, entsprechen. Nach (265) genügen diese 
Wertensysteme den Ungleichungen: 

(268) (^)^ < a^ + b^ + c^ < (M^^Jl)^ 

wobei nicht nur - — , sondern auch ~ als ffroße Zahl zu 

c c ^ 

denken ist. Versinnlichen wir uns jedes Wertensystem der a, B, c 
durch einen Punkt, indem wir die Werte der positiven ganzen 
Zahlen a, h, c als Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordi- 
natensystem auffassen, so erfüllen die so erhaltenen Punkte 
einen Oktanten des unendlichen Raumes, und die Bedingung (268) 
ist gleichbedeutend mit der, daß die Entfernung eines dieser 
Punkte vom Anfangspunkt der Koordinaten zwischen den 

Werten — ^ und — — liegt. Die gesuchte Zahl ist 

daher gleich der Zahl der Punkte, welche zwischen den beiden 

Kugelflächenoktanten gelegen sind, die den Radien und 

-^^-^ — entsprechen. Da nun jedem Punkt ein Würfel vom 

Volumen 1 entspricht, und umgekehrt, so ist jene Zahl einfach 
gleich dem Volumen der genannten Kugelschicht, also gleich: 

1 , (2lvV 2ldv 



-m 



und die Anzahl der entsprechenden unabhängigen Zustands- 
variabeln gleich dem Vierfachen davon: 

UnPv^dv \r 

— ? — ' 

Da nun auf jede unabhängige Zustands variable beim stationären 

Vorgang durchschnittlich die Teilenergie — entfällt, so kommt 

auf das Intervall der Schwingungszahlen von v bis v -\- dv im 
ganzen die Energie: 

UnPv'^dv j. 

s7^ ^• 

Dies ergibt, da das Volumen des Hohlraums l^ ist, für die 
räumliche Energiedichte der Schwingungszahl v: 

u dv =^ — —5 L, 



Berechnung der Strahlungsentropie und Folgerungen daraus 177 



und mit Substitution des Wertes von L aus (222): 

u = ^"^-^-^ . (269) 

§ 166. Ein Vergleich der letzten Formel mit (242) zeigt, 
daß wir durch die statistische Mechanik zu genau demselben 
Zusammenhang zwischen Strahlungsdichte, Temperatur und 
Schwingungszahl geführt werden, wie durch das aus den Resonator- 
schwingungen abgeleitete Strahlungsgesetz, allerdings nur für 
hinreichend lange Wellen, bez. hohe Temperaturen. Denn nur 
unter dieser Bedingung ist die G-leichung (242) gültig. x\.us 
dieser Beschränkung erwächst für die Anwendung der statisti- 
schen Mechanik auf die Strahl ungs Vorgänge eine gewisse Schwierig- 
keit. Denn würde man den Satz von der gleichmäßigen Energie- 
verteilung auf alle unabhängige Zustandsvariabeln vollständig 
unbeschränkt anwenden, so müßte jene Beziehung ganz allgemein 
für alle Temperaturen und Schwingungszahlen gelten, und das 
würde, wie man leicht sieht, die Unmöglichkeit einer stationären 
Energieverteilung zur Folge haben, da die Energiedichte zugleich 
mit der Schwingungszahl unbegrenzt zunehmen würde. 

Diese Schwierigkeit sucht J.H. Jeans ^ durch die Annahme 
zu heben, daß in einem mit emittierender und absorbierender 
Substanz versehenen durchstrahlten Hohlraum gar kein wirklich 
stabiler Strahlungszustand existiert, sondern daß die gesamte 
vorhandene Energie im Laufe der Zeit in Wärmestrahlung 
von immer höheren Schwingungszahlen übergeht, bis schließ- 
lich die Geschwindigkeit der Molekularbewegung unmerklich 
klein und die absolute Temperatur derselben daher gleich Null 
geworden ist. 

Einer solchen Annahme kann ich mich aber nicht an- 
schließen. Denn wenn je ein aus der alltäglichen Erfahrung 
genommener Satz dadurch an Zuverlässigkeit gewinnt, daß die 
verschiedensten aus ihm gezogenen Folgerungen sich als mit 
den feinsten Messungen in Übereinstimmung erweisen, so trifft 
dies bei dem Satze zu, daß die Strahlung in einem mit Materie 
versehenen Hohlraum einem Endzustand mit bestimmter end- 
licher Energieverteilung zwischen Materie und Äther zustrebt. 



1 J. H. Jeans, Proc. Koy. Soc. Vol. 76 A, p. 296, 545, 1905. 
Planck, Wärmestrahlung. 12 



178 Entropie und Wahrscheinlichkeit 



Alle bisher in der Theorie der Wärmestrahlung gezogenen, zum 
Teil auf den ersten Blick sehr kühn erscheinenden thermo- 
dynamischen Konsequenzen, von dem Kiechhoff sehen Satze 
der Proportionalität des Emissionsvermögens und des Absorptions- 
vermögens angefangen, beruhen auf der Annahme der Existenz 
1^,,^ h eines im thermo dynamischen Sinn absoluten Gleichgewichts- 
&>^^ P zustandes, und ihnen allen würde der Boden entzogen, wenn 
man jene Annahme fallen ließe; dagegen ist noch niemals eine 
Folgerung jenes Satzes im Widerspruch mit der Erfahrung be- 
funden worden. Andererseits hat sich bisher nicht die Spur 
einer Andeutung dafür gezeigt, die auf die Vermutung führen 
könnte, daß wir es bei der schwarzen Strahlung nicht mit einem 
wirklich stabilen Zustand zu tun haben, im Gegenteil: schon 
die einfache Tatsache, daß ein Körper durch Wärmestrahlung 
erwärmt werden kann, daß also strahlende Energie ohne 
Kompensation in Energie der Molekularbewegung übergehen 
kann, ließe sich von jenem Standpunkt aus wohl nur schwer 
mit dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik in Einklang 
bringen. 

Ich bin daher der Meinung, daß die besprochene Schwierig- 
keit nur durch eine unberechtigte Anwendung des Satzes von 
der Gleichmäßigkeit der Energie Verteilung auf alle unabhängigen 
Zustandsvariabeln hervorgerufen ist. In der Tat ist für die 
Gültigkeit dieses Satzes die Voraussetzung wesentlich, daß die 
Zustandsverteilung unter allen bei gegebener Gesamtenergie von 
vornherein möglichen Systemen eine „ergodische'^ ist,^ oder kurz 

I ausgedrückt, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Zustand 

des Systems in einem bestimmten kleinen „Elementargebiet" 

(§ 150) liegt, einfach proportional ist der Größe dieses Gebiets, 

/IfJwenn dasselbe auch noch so klein genommen wird. Diese 

\ Voraussetzung ist aber bei der stationären Energiestrahlung 

y nicht erfüllt; denn die Elementargebiete dürfen nicht beliebig 
% klein genommen werden, sondern ihre Größe ist eine endliche, 

1 durch den Wert des elementaren Wirkungsquantums h bestimmte. 

\ Nur wenn man das Wirkungselement h unendlich klein annehmen 
dürfte, würde man zu dem Gesetz der gleichmäßigen Energie- 
verteilung gelangen. In der Tat geht für unendlich kleines h, 



^ L. BoLTZMANN, Gastheoric II, p. 92, 101, 1898. 



Berechnung der Strahlungsentropie und Folgerungen daraus 179 

wie man aus der Formel (233) ersieht, die allgemeine Energie- 
verteilung in die spezielle hier abgeleitete (269) über, und es 
gelten dann überhaupt alle Beziehungen des § 154, entsprechend 
dem Rayleigh sehen Strahlungsgesetz. Dann werden, ent- 
sprechend dem Satz von der gleichmäßigen Energieverteilung, 
auch die Energien aller Resonatoren einander gleich, was im 
allgemeinen nicht der Fall ist. 

Natürlich muß dem Wirkungselement h auch eine direkte 
elektrodynamische Bedeutung zukommen; aber welcher Art diese 
ist, bleibt zunächst noch eine offene Frage. 



12 



Fünfter Abschnitt. 

Irreversible Strahlungsvorgänge. 



Erstes Kapitel. 
Einleitung. Direkte Umkehrung eines Strahiungsvorgangs. 

§ 167. Nach den Entwickelimgen im vorigen Abschnitt 
kann man die Natur der Wärmestrahlung innerhalb eines im 
stabilen thermodyna mischen Gleichgewicht befindlichen isotropen 
Mediums in allen Stücken als bekannt ansehen. Die Intensität 
der nach allen Richtungen gleichmäßigen Strahlung hängt für 
alle Wellenlängen ausschließlich von der Temperatur und von 
der Fortpflanzungsgeschwindigkeit ab, nach der Gleichung (259) 
für die schwarze Strahlung in einem beliebigen Medium. Aber 
damit ist die Aufgabe der Theorie noch nicht erledigt; dieselbe 
hat vielmehr auch davon noch Rechenschaft abzulegen, in 
welcher Weise und durch welche Vorgänge eine ursprünglich 
in dem Medium vorhandene ganz beliebig gegebene Strahlung, 
wenn das Medium nach außen durch eine undurchlässige Hülle 
abgeschlossen ist, allmählich in den stabilen, dem Maximum der 
Entropie entsprechenden Zustand der schwarzen Strahlung über- 
geht, ähnlich wie ein in ein festes Gefäß eingeschlossenes Gas, 
in dem ursprünglich beliebig gegebene Strömungen und Tempe- 
raturdifferenzen vorhanden waren, allmählich in den Zustand 
der Ruhe und der gleichmäßigen Temperaturverteilung übergeht. 

Diese sehr viel schwierigere Frage läßt sich bis jetzt nur 
in beschränktem Umfang beantworten. Zunächst ist nach den 
ausführlichen Erörterungen im ersten Kapitel des vorigen Ab- 
schnitts klar, daß man, da es sich hier um irreversible Prozesse 
handelt, mit den Prinzipien der reinen Elektrodynamik allein 
nicht auskommen wird. Denn der reinen Elektrodynamik ist,^ 



Einleitung. Direkte Umkehrung eines Strahlungsvorgangs 181 

ebenso wie der reinen Mechanik, der zweite Hauptsatz der 
Thermodynamik oder das Prinzip der Vermehrung der Entropie 
inhaltlich fremd. Dies zeigt sich am unmittelbarsten in dem 
Umstand, daß die Grundgleichungen sowohl der Mechanik als 
auch der Elektrodynamik die direkte zeitliche Umkehrung eines 
jeden Vorgangs gestatten, in geradem Widerspruch mit dem 
Prinzip der Vermehrung der Entropie. Selbstverständlich müssen 
hier alle Arten von Eeibung und galvanischer Stromleitung aus- 
geschlossen gedacht werden; denn diese Vorgänge gehören, da 
sie stets mit Wärmeerzeugung verbunden sind, nicht mehr der 
reinen Mechanik oder Elektrodynamik an. 

Setzt man dies voraus, so kommt in den Grundgleichungen 
der Mechanik die Zeit t nur in den Beschleunigungskomponenten, 
also in der Form des Quadrats ihres Differentials vor. Wenn 
man also in den Bewegungsgleichungen als Zeitvariable die 
Größe -- t statt t einführt, so behalten dieselben ihre Form 
unverändert bei, und daraus folgt, daß, wenn man bei einer 
Bewegung eines Systems materieller Punkte in irgend einem 
Augenblick die Geschwindigkeitskomponenten sämtlicher Punkte 
plötzlich umkehrt, die Bewegung genau rückwärts verlaufen muß. 
Für die elektrodynamischen Vorgänge in einem homogenen nicht- 
leitenden Medium gilt ganz Ähnliches. Wenn man in den Maxwell- 
schen Gleichungen des elektrodynamischen Feldes überall — t 
statt t schreibt, und außerdem das Vorzeichen der magnetischen 
Feldstärke § umkehrt, so bleiben die Gleichungen, wie man 
leicht sehen kann, unverändert, und daraus folgt, daß, wenn 
bei irgend einem elektrodynamischen Vorgang in einem ge- 
wissen Zeitpunkt die magnetische Feldstärke überall plötzlich 
umgekehrt wird, während die elektrische Feldstärke ihren Wert 
behält, der ganze Vorgang in umgekehrter Richtung ver- 
laufen muß. 

§ 168. So unmittelbar dieser Satz, daß alle rein elektro- 
dynamischen Vorgänge auch in umgekehrter Richtung verlaufen 
können, für die Ausbreitung elektrodynamischer Wellen im 
reinen Vakuum zu erweisen ist, so scheint er auf den ersten 
Blick seine Gültigkeit zu verlieren bei den im dritten Ab- 
schnitt von uns betrachteten Oszillatorschwingungen. Denn die 
Gleichung (171) für die Schwingungen eines solchen Oszillators 
lautet : 



182 Irreversible Strahlungsvorgänge 



(270) ür^+L/--^f = (£,, 

wobei ©^ die ;i;-Komponente der elektrisclien Feldstärke der er- 
regenden primären Welle am Orte des Oszillators bezeichnet. 
Führt man nun in dieser Gleichung die Differentiation von f, 
statt nach ^, nach -— t aus, so ändert das Dämpfungsglied sein 
Vorzeichen, und man könnte daher zu glauben versucht sein, 
daß ein Schwingungsvorgang nicht in umgekehrter Eichtung 
verlaufen kann. Das wäre aber ein Fehlschluß. Denn zu dem 
ganzen Schwingungsvorgang gehört nicht nur die Schwingung 
des Oszillators selber, sondern auch die ihn erregende primäre 
Welle, und wenn von einer Umkehrung des Vorgangs ge- 
sprochen wird, so muß nicht nur der Oszillator, sondern auch 
das äußere Feld in Betracht gezogen werden. Nun sendet der 
schwingende Oszillator nach dem, was wir früher (§ 107) ge- 
sehen haben, eine bestimmte Kugelwelle in das umgebende 
Vakuum hinaus, folglich wird er bei der Umkehrung des ganzen 
Vorgangs nicht nur von der umgekehrten ursprünglich primären 
Welle ©2, sondern zugleich auch von der umgekehrten Kugel- 
welle, d. h. von einer nach innen zu auf den Oszillator als 
Zentrum fortschreitenden Kugelwelle erregt, und es fragt sich, wie 
seine Schwingungen sich nun, unter diesem doppelten Einfluß, 
gestalten. Diese Frage soll im folgenden allgemein untersucht 
werden. 

§ 169. Zuerst betrachten wir die Eigenschaften der von 
außen nach innen auf den Oszillator als Zentrum zu fort- 
schreitenden Kugelwelle, welche die Umkehrung der direkten 
vom Oszillator ausgesandten Kugelwelle darstellt. Die direkte 
Welle ist gegeben durch die Gleichungen (145), wenn man darin 
für die Funktion F den in (148) angegebenen Ausdruck setzt. 
Deshalb wird die umgekehrte Welle, die entsteht, wenn zur 
Zeit t = alle magnetischen Feldstärken der direkten Welle 
plötzlich umgekehrt werden, dargestellt durch die nämlichen 
Gleichungen (145), wenn man darin für die Funktion F setzt; 

(271) j.= l.^(_<_r.). 

Denn durch Substitution in (145) ergeben sich daraus die näm- 
lichen Ausdrücke für die Komponenten der Feldstärke wie für 



Einleitung. Direkte Umkehrung eines Strahlungsvorgangs 183 

die direkte Welle, nur daß überall — t statt t steht, und daß 
das Vorzeichen der magnetischen Feldstärke umgekehrt ist. 
In der Tat bezeichnet die Wellenfunktion (271) eine nach innen 
fortschreitende Kugelwelle. 

Es handelt sich jetzt um die Größe der elektrischen Kraft, 
mit der diese sich auf den Oszillator zusammenziehende Kugel- 
welle den Oszillator erregt. Das ist nach den allgemeinen Sätzen 
des § 1 1 1 die ;^-Komponente der elektrischen Feldstärke, welche 
diese Welle am Orte des Oszillators besitzen würde, wenn der- 
selbe gar nicht vorhanden wäre. Lassen wir also einmal den 
Oszillator ganz weg und betrachten den Verlauf der von 
außen nach innen fortschreitenden Kugel welle (271). Dieselbe 
wird im Kugelmittelpunkt, also im Anfangspunkt der Koordi- 
naten, durch sich selber hindurchgehen, und zwar so, daß das 
elektromagnetische Feld der Welle endlich und stetig bleibt; 
denn es ist unmöglich, daß eine ursprünglich endliche Welle 
im freien Vakuum irgendwo und irgendwann eine unendlich 
große Feldstärke erzeugt. Nehmen wir also den Ausdruck der 
durch sich selbst hindurchgegangenen nach außen fortschreiten- 
den Kugelwelle mit in die W eilen funktion F auf, so erhalten 
wir vollständiger als in (271): 

wobei nun f die nach innen fortschreitende, g die durch sich 
selbst hindurchgegangene nach außen fortschreitende Welle be- 
deutet. Da für r =1 F für alle Zeiten endlich bleiben muß, 
so ergibt sich: 

f{-t)-{-g[-t) = ^. 

Folglich: F== \f[- t-^)- lf[- r+ -^-) . (272) 

Mit diesem Werte von i^^ stellen die Gleichungen (145) die direkte 
Umkehrung der vom schwingenden Oszillator emittierten Welle 
auch in ihrem späteren Verlauf vor. Sie schreitet nach 
innen fort und streicht über den Oszillator hinweg, ohne dort- 
selbst unendlich oder unstetig zu werden, wie das überhaupt 
bei jeder den Oszillator erregenden Welle der Fall ist. Be- 
rechnen wir jetzt die ;?;-Komponente der elektrischen Feldstärke 



184 Irreversible Strahlungsvorgänge 

dieser Welle am Orte des Oszillators. Für hinreichend kleine 
Werte von r wird: 

/(-/-v) = A-0-y/(-^) + |^/'(-*)-T7l-T3^/"(-'). 

wobei die Ableitungen /, f, f von f immer, auch im folgenden, 
nach dem Argument, nicht etwa nach t, genommen zu denken sind. 
Daraus folgt für die Wellenfunktion (272): 

Dies ergibt nach (145) für die ;?:;-Komponente der elektrischen 
Feldstärke am Orte r = 0, da r^ = ic^ + 2/^ + ^^: 

(273) .. = |,^-i^ = |^f(-0. 

§ 170. Nachdem wir nun die elektrische Kraft festgestellt 
haben, mit welcher die sich nach innen fortpflanzende, durch 
die Umkehrung der ursprünglich emittierten Kugel welle ent- 
standene Kugelwelle den Oszillator erregt, wollen wir die 
Schwingungen berechnen, welche der Oszillator ausführt, wenn 
außer der umgekehrten primären Welle auch noch die um- 
gekehrte Kugelwelle auf ihn einwirkt. Bezeichnen wir die ge- 
suchte Schwingung mit fit), so muß nach der allgemeinen 
Schwingungsgleichung (270) gelten: 

(274) Kf it) + L r (i) - -^ r (t) = (s^(-t) + ±^r{-t). 

Denn als erregende Schwingung haben wir hier einzusetzen ein- 
mal die der umgekehrten primären Welle, und dann die der 
umgekehrten Kugel welle (273). 

Die Gleichung (274) wird befriedigt, wenn man setzt: 

(275) f(t)==f{-t), 

also f'(t)=^-f{-t), f'[t)==f{^t), f{t)^-f[-i). 

Denn dann ergibt sich aus (274): 

und diese Gleichung ist genau erfüllt für alle positiven Werte 



Einleitung. Direkte Umkehrung eines Strahlungsvorgangs 185 

von tj wenn die Gleichung (270) für alle negativen Werte von t, 
d. h. für alle Zeiten, welche dem Augenblick der Umkehrung, 
t = 0, vorausgehen, erfüllt ist. Hierdurch ist die Schwingung (275) 
des Oszillators für alle positiven Zeiten gegeben, und sie stellt, 
wie man sieht, in allen Stücken die Umkehrung des direkten 
Schwingungsvorgangs dar. 

§ 171. Fassen wir nun weiter die bei dem umgekehrten 
Vorgang vom Oszillator emittierte Welle ins Auge, so wird 
dieselbe nach (148) dargestellt durch eine nach außen fort- 
schreitende Kugelwelle mit der Wellenfunktion: 

~r(i-i)- (276) 

Dieser Welle superponiert sich die oben betrachtete durch das 
Kugelzentrum hindurchgegangene und nun ebenfalls nach außen 
fortschreitende Kugelwelle, deren Wellenfunktion nach (272) den 
Wert besitzt: 



~f{-' + i-]- (2") 



Nun ist gemäß der Beziehung (275) die Summe der beiden 
Wellenfunktionen (276) und (277) gleich Null, die beiden nach 
außen fortschreitenden Kugelwellen vernichten sich also gegen- 
seitig, und wir erhalten das Resultat, daß bei dem betrachteten 
umgekehrten Vorgang überhaupt keine Kugelwelle vom Oszillator 
nach außen geht. 

Wenn man alles zusammenfaßt, so besteht mithin der um- 
gekehrte Vorgang einfach darin, daß die ursprüngliche primäre 
Welle wieder rückwärts geht und daß der Oszillator die ursprüng- 
lich emittierte Welle wieder in sich aufnimmt, ohne eine neue 
Welle nach außen zu entsenden, wobei er seine Schwingungen 
genau in umgekehrter Reihenfolge wiederholt.^ 

§ 173. Nehmen wir als Beispiel den speziellen Fall, daß 
überhaupt keine primäre Welle vorhanden ist, die den Oszillator 
zu Schwingungen anregt. Dann erfolgt einfaches Abklingen der 
Oszillatorschwingungen, mit konstantem Dekrement, nach Glei- 
chung (169), indem die Schwingungsenergie in Form von Kugel- 
wellen allmählich in den Raum hinausgestrahlt wird. Kehrt 



* Vgl. L. BoLTZMANN, Sitzungsbei'. d. Berliner Akad. d. Wissensch. 
vom 3. März 1898, p. 182. • ' 



186 Irreversible Strahlungsvorgänge 



man nun zu irgend einer Zeit die magnetischen Feldstärken 
der emittierten Kugelwelle überall plötzlich um und ebenso den 
Strom / im Oszillator, so geht der Vorgang genau umgekehrt 
vor sich: die Kugelwelle kehrt zum Oszillator zurück, seine 
Schwingungen werden mit konstantem Inkrement verstärkt, und 
er saugt die früher ausgestrahlte Energie vollständig wieder ein, 
ohne dabei irgendwelche Energiebeträge auszustrahlen. 

§ 173. Ein anderes drastisches Beispiel erhalten wir, wenn 
ein Oszillator, der ursprünglich gar keine Energie besitzt (/"= 0, 
/' = 0) von einer ebenen periodischen Welle getroffen wird. Der 
Oszillator wird allmählich immer stärker ins Mitschwingen ge- 
raten, bis der in § 112 ff. ausführlich untersuchte stationäre Vor- 
gang entsteht, wobei der Oszillator in der Periode der erregen- 
den primären Welle schwingt, mit einem größeren oder kleineren 
Phasenunterschied gegen dieselbe, und zugleich eine gewisse 
Menge Energie nach allen Richtungen des Raumes ausstrahlt, 
die er der primären Welle entzieht (§ 115). Kehren wir nun 
den ganzen Vorgang plötzlich um, so wird die primäre Welle 
den umgekehrten Weg gehen; beim Passieren des Oszillators 
nimmt sie die früher an ihn abgegebene Energie wieder von 
ihm zurück, und dadurch wird, obwohl der Oszillator gleich- 
zeitig von der zu ihm zurückkehrenden Kugelwelle gespeist 
wird, und obwohl er jetzt gar keine Energie mehr durch 
Emission verliert, dennoch seine Energie beständig verkleinert, 
bis sie zuletzt Null wird, indem f und f beide verschwinden. 
Wir haben hier also den Fall, daß eine primäre Welle einem 
Oszillator, auf den sie fällt, die gesamte Schwingungsenergie 
vollständig entzieht. 

§ 174. Die letzten Beispiele umgekehrt verlaufender elektro- 
dynamischer Strahlungsvorgänge machen es besonders deutlich, 
daß hier von einer Gültigkeit der Gesetze der Wärmestrahlung, 
insbesondere von einer steten Vermehrung der Entropie, nicht 
die Rede sein kann, und wir kommen daher wieder auf den 
schon im vorigen Abschnitt gezogenen Schluß zurück, daß eine 
Ableitung jener Gesetze aus der reinen Elektrodynamik nicht er- 
folgen kann ohne besondere Hypothesen, deren Inhalt auf eine 
Einschränkung der elektrodynamischen Möglichkeiten hinaus- 
läuft. Man erkennt aber auch sogleich, daß die zuletzt be- 
schriebenen, vom Standpunkt der Thermodynamik ganz un- 



Ein Oszillator in beliebigem Strahlungsfelde 187 

Yerständlichen Vorgänge nur durch eine besondere Eigen- 
tümlichkeit der den Oszillator erregenden Wellen zustande 
kommen. Die bei der Umkehrung eines Strahlungs Vorganges 
von verschiedenen Seiten auf den Oszillator fallenden Strahlen 
sind nämlich in ganz spezieller Weise abhängig von der Vor- 
geschichte des Oszillators und dadurch auch abhängig von- 
einander. Würde man nur solche Strahlungsvorgänge als mög- 
lich zulassen, bei denen die von verschiedenen Seiten auf den 
Oszillator fallenden Strahlen keinerlei gesetzmäßige Beziehungen 
zueinander aufweisen, so könnte ein derartiger umgekehrter 
Vorgang gar nicht zustande kommen, und die Irreversibilität 
der Strahlungsvorgänge erschiene wenigstens nicht von vorn- 
herein ausgeschlossen. Eine solche Beschränkung in den Eigen- 
schaften der auffallenden Strahlung ist nun enthalten in der 
Hypothese der „natürlichen Strahlung", von der in den nächsten 
Kapiteln gezeigt werden soll, daß sie in der Tat die Gültigkeit 
des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik auch für strahlende 
Energie gewährleistet. 

Zweites Kapitel. Ein Oszillator in beliebigem Strahlungsfelde. 
Hypothese der natürlichen Strahlung. 

§ 175. Wir behandeln jetzt genau die nämliche Aufgabe 
wie im 3. Kapitel des dritten Abschnitts, nur unter der all- 
gemeineren Voraussetzung, daß das Vakuum, in dem sich der 
Oszillator befindet, nicht von gleichmäßiger stationärer Strahlung, 
sondern von örtlich und zeitlich beliebig veränderlichen Strahlen 
erfüllt ist, die nach allen möglichen Richtungen den Raum 
durchkreuzen. 

Sei wieder f{t) das Moment des von dem linearen Oszillator 
zur Zeit t dargestellten elektrischen Dipols, (B^{t) die in die 
Richtung der Oszillatorachse fallende Komponente der Feld- 
stärke des elektromagnetischen Feldes, welches von den im 
Vakuum sich fortpflanzenden Wellen am Orte des Oszillators 
gebildet wird, so ist die Schwingung des Oszillators bestimmt 
durch seinen Anfangszustand (für ^ = 0) und durch die Diffe- 
rentialgleichung (172). 

Wir beschränken von vornherein die ganze Betrachtung auf 
ein begrenztes, wenn auch sehr großes, nötigenfalls nach Jahren 



188 Irreversible Strahlungsvorgänge 



zählendes Zeitintervall, etwa von ^ = bis ^ = T. Dann läßt sich 
die Funktion ^ß) für dieses Zeitintervall jedenfalls folgendermaßen 
schreiben : ^ 

(278) @, = fdv'C,cos{27tvt - t%), 



wobei Cy (positiv) und &y gewisse Funktionen der positiven 
Integrationsvariabein v bedeuten, deren Werte übrigens durch 
das Verhalten der Größe ©^ in dem genannten Zeitintervall be- 
kanntlich noch nicht bestimmt sind, sondern außerdem noch von 
der Art abhängen, wie die Zeitfunktion ©^ über jenes Intervall 
hinaus nach beiden Seiten fortgesetzt wird. Daher besitzen die 
Größen C^ und &^ einzeln gar keine bestimmte physikalische 
Bedeutung, und es wäre auch ganz unrichtig, wenn man die 
Schwingung ©^ sich etwa als ein kontinuierliches Spektrum von 
periodischen Schwingungen mit den konstanten Amplituden Cy 
vorstellen würde, wie man übrigens auch schon daraus erkennt, 
daß der Charakter der Schwingung ©^ sich ja im Laufe der 
Zeit beliebig ändern kann. Wie die spektrale Zerlegung der 
Schwingung (S, vorzunehmen ist, und zu welchen Kesultaten sie 
führt, wird unten im § 180 gezeigt werden. 

Wir wollen das Zeitintervall T so groß wählen, daß nicht 
nur Vq T, sondern auch (tvqT durch eine große Zahl ausgedrückt 
wird, und wollen im folgenden immer nur solche zwischen und T 
gelegene Zeiten t betrachten, für welche (Tv^t, und um so 
mehr v^ t, große Werte hat. Diese Festsetzung gewährt nämlich 
den Vorteil, daß wir dann von dem Anfangszustand des Oszillators 
(für t = 0) ganz absehen können, weil derselbe sich zur Zeit t 
nur mit einem Gliede von der Größenordnung g-'^^o« geltend 
macht und daher dann keinen merklichen Einfluß auf den Zu- 
stand mehr ausübt. 

Unter den gemachten Voraussetzungen ergibt sich für 
irgendeine erregende Schwingung ©^ als allgemeine Lösung der 
Schwingungsgleichung (172), wie leicht durch Vergleich mit (174) 
zu verifizieren: 

(279) f{t) = -^^fdv . ^ . sin ;/, . cos (2 TT 1/ ^ - i% - a) , 
wobei zur Abkürzung gesetzt ist: 

(280) ctgr. = 



TT >'o (»'O^ - ^^) 



Ein Oszillator in beliebigem Strahlungsfelde 189 



Um /y eindeutig zu machen, wollen wir noch festsetzen, 
daß /v zwischen und n liegt. 

sin Y 

Da (7 klein ist, so weicht — ~ nur dann merklich von Null 

ah, wenn v /vq nahezu =1, d. h. es tragen nur diejenigen Glieder 
des FouEiER sehen Integrals merklich zur Resonanzerregung bei, 
deren Index v der Eigenschwingung v^ des Oszillators nahe liegt. 
Man kann daher in vielen Fällen hinter dem Integralzeichen v 
durch Vq ersetzen, wovon wir im folgenden öfters Gebrauch 
machen werden. 

§ 176. Die „Intensität der erregenden Schwingung"^ /als 
Funktion der Zeit t delinieren wir als den Mittelwert von ®| 
in dem Zeitintervall von ^ bis t -\- r, wobei r möglichst klein ge- 
nommen ist gegen die Zeit T, aber immer noch groß gegen die 
Zeit l/«^o' ^•^' S^S^^ <ii6 Zeitdauer einer Eigenschwingung des 
Oszillators. In dieser Festsetzung liegt eine gewisse Unbestimmt- 
heit, welche bewirkt, daß im allgemeinen / nicht nur von t, 
sondern auch von r abhängig bleiben wird. Wenn dies der Fall 
ist, kann man von einer Intensität der erregenden Schwingung 
überhaupt nicht reden; denn es gehört mit zum Begriff der 
Schwingungsintensität, daß ihr Betrag sich innerhalb der Zeit- 
dauer einer einzelnen Schwingung nur unmerklich ändert (vgl. 
oben § 3). Daher wollen wir künftig nur solche Vorgänge in 
Betracht ziehen, bei denen unter den angegebenen Bedingungen 
ein nur von t abhängiger Mittelwert von @| existiert. Die später 
vorzunehmende weitere Beschränkung auf den Fall der „natür- 
lichen Strahlung" wird zugleich auch die Erfüllung der hier als 
notwendig erkannten Bedingung enthalten. Um ihr in mathe- 
matischer Hinsicht zu genügen, wollen wir zunächst annehmen, 
daß die Größen Cy in (278) für alle diejenigen Werte von v un- 
merklich klein sind, welche gegen v^ verschwinden, oder, anders 
ausgedrückt, daß in der erregenden Schwingung ©^ keine ganz 
langsamen Perioden von merklicher Amplitude enthalten sind. 

Zur Berechnung von J bilden wir nun aus (278) den Wert 
von @| und bestimmen den Mittelwert (^^ dieser Größe durch 
Integration nach t von ^ bis ^ -f- t, Division durch t und Übergang 



/^ - 



^ nicht zu verwechseln mit der „Feldintensität" (Feldstärke) ©j, der 
erregenden Schwingung. 



190 Irreversible Sirahlungsvorgänge 

zur Greiize durch gehörige VerkleineruDg von r. Es ergibt sich 
so zunächst: 

00 00 

@,^= CCdv'dvGy^CyCOs{27tv't - ^^,)co8{2nvt - &^). 



Vertauscht man die Werte von v und v', so ändert sich die 
Funktion unter dem Integralzeichen nicht; daher setzen wir fest: 

und schreiben: 



oder: 



= 2 Cfdv'dvCyfC^cos{2nv't - &^r)cos{2 nvt - &^) 

(g|= CCdv'dvC^rC,{cos[2 7i{v' -v)t - &^r + &^] 

+ cos [2 n{v' + v)t - &y^ - ^v] } . 
Folglich: 

t + T 
JJ l Tliv - v)t 

sin Ti j v' + v)t' cos [n jv' + v)(2t + t) - &v' - &v] \ 
"^ ^ n{v' ■{■v)t ' j * 

Da nach der oben gemachten Voraussetzung alle diejenigen 
Cy unmerklich klein sind, für vrelche v gegen v^ verschwindet, 
so kann man in dem vorstehenden Ausdruck v, und um so mehr v', 
als von gleicher oder höherer Größenordnung wie Vq annehmen. 
Lassen wir nun r immer kleiner werden, so ist vermöge der 
Bedingung, daß Vq t groß bleibt, der Nenner {v' -{- v)r des zweiten 
Bruches jedenfalls groß, während der des ersten Bruches, 
{v' —v)t^ mit abnehmendem r unter jeden endlichen Betrag 
herabsinken kann. Daher reduziert sich das Integral für ge- 
nügend kleine Werte von v' — v auf: 

Cfdv'dvC,.CyC08[27i{v' -v)t- &„r + t9-„], 

also in der Tat unabhängig von r. Die übrigen Glieder des 
Doppelintegrals, welche größeren Werten von v' — v, d. h. 
schnelleren Änderungen mit der Zeit entsprechen, hängen im 



Ein Oszillator in beliebigem Strahlungsfelde 191 



allgemeinen von t ab und müssen daher verschwinden, wenn die 
Intensität J nicht von r abhängen soll. Daher ist in unserem 
Falle, wenn man noch 

(X = v' — v{> 0) 

als zweite Integrationsvariable statt v' einführt: 

J=fCdfjidvCy + ^G,co9{27ifit- &, + ^, + &,) (281) 
oder: 

J = I dfi {Äf^ sin 2 7t (xt + B^^ cos 2<k pit), 
wobei: 

Ä^^jdvG,:^f,C^ sin [x% ^ ^ - &^) 

Bf, =JdvC^ + f,CyGOs{&^ + f, - x%). 



(282) 



Hierdurch ist die Intensität J der erregenden Schwingung, 
falls sie überhaupt existiert, als Funktion der Zeit t in der Form 
eines Foueier sehen Integrals dargestellt. 

§ 177. Schon in dem Begriff der Schwingungsintensität / 
liegt die Voraussetzung enthalten, daß diese Größe mit der Zeit t 
viel langsamer variiert als die Schwingung ©^ selber. Dasselbe 
folgt aus der Berechnung von J im vorigen Paragraphen. Denn 
dort ist für alle in Betracht kommenden Wertenpaare von Cy 
und Cyf VT und v' r groß, dagegen [v' — v)t klein; folglich 
a fortiori 

^^^^^:^ = -^ klein, (283) 

und demgemäß sind die Foueiee sehen Integrale ©^ in (278) 
und / in (282) in ganz verschiedener Weise mit der Zeit ver- 
änderlich. Wir werden daher im folgenden in bezug auf die 
Abhängigkeit von der Zeit zwei verschiedenartig veränderliche 
Arten von Größen zu unterscheiden haben: schnell veränderliche 
Größen, wie@^ und das mit®^ durch die Differentialgleichung (172) 
verbundene f, und langsam veränderliche Größen, wie J und 
ebenso auch U, die Energie des Oszillators, deren Wert wir im 
nächsten Paragraphen berechnen wollen. Doch ist dieser Unter- 
schied in der zeitlichen Veränderlichkeit der genannten Größen 
nur ein relativer, da der absolute Wert des Differential quotienten 
von J nach der Zeit von der Größe der Zeiteinheit abhängt und 



192 Irreversible Strahlungsvorgänge 



durch geeignete Wahl derselben beliebig groß gemacht werden 
kann. Man ist daher nicht berechtigt, J{t) oder U(t) schlechthin 
als langsam veränderliche Funktionen von t zu bezeichnen. Wenn 
wir diese Ausdrucksweise der Kürze halber in der Folge dennoch 
anwenden, so geschieht das stets im relativen Sinne, nämlich 
mit Bezug auf das abweichende Verhalten der Funktionen ©^ {t) 
oder f[fy 

Was nun aber die Abhängigkeit der Phasenkonstante &y von 
ihrem Index v anbetrifft, so besitzt diese notwendig die Eigen- 
schaft der schnellen Veränderlichkeit im absoluten Sinne. Denn 
obwohl pi klein ist gegen v, ist doch die Differenz i?-^ + ^ ■— i^-^ 
im allgemeinen nicht klein, weil sonst die Größen A^ und B^^ in 
(282) zu spezielle Werte erhalten würden, und daraus folgt, daß 
{d&yldv)'^ durch eine große Zahl dargestellt wird. Hieran 
ändert auch ein Wechsel der Zeiteinheit oder eine Verlegung 
des Anfangspunktes der Zeit nichts Wesentliches. 

Die schnelle Veränderlichkeit der Größen ^^ und ebenso CV 
mit V ist also eine im absoluten Sinne notwendige Bedingung für 
die Existenz einer bestimmten Schwingungsintensität /, oder mit 
anderen Worten: für die Möglichkeit der Einteilung der von der 
Zeit abhängigen Größen in schnell veränderliche und in langsam 
veränderliche — einer Einteilung, die auch in anderen physi- 
kalischen Theorien häufig gemacht wird und auf welche sich alle 
folgenden Untersuchungen gründen. 

§ 178. Die im vorstehenden eingeführte Unterscheidung 
zwischen schnell veränderlichen und langsam veränderlichen 
Größen ist in physikalischer Beziehung hier deshalb wichtig, 
weil wir im folgenden nur die langsame Abhängigkeit von der 
Zeit als direkt meßbar annehmen wollen. Damit nähern wir 
uns eben den in der Optik und in der Wärmestrahlung tat- 
sächlich stattfindenden Verhältnissen. Unsere Aufgabe wird 
dann darin bestehen, Beziehungen ausschließlich zwischen lang- 
sam veränderlichen Größen aufzustellen; denn diese allein sind 
es, welche mit den Ergebnissen der Erfahrung verglichen 
werden können. Wir bestimmen daher nun zunächst die 
Werte der wichtigsten hier in Betracht kommenden langsam 
veränderlichen Größen, nämlich die Energie des Oszillators 
und den Betrag der vom Oszillator emittierten und absorbierten 
Energie. 



Ein Oszillator in beliebigem Strahlungsfelde 193 



Die Energie des Oszillators, die in (142) ausgedrückt 
ist, besteht aus zwei Teilen: der potentiellen Energie und der 
kinetischen Energie. Da wegen der kleinen Dämpfung der 
Mittelwert dieser beiden Energiearten jedenfalls der nämliche 
ist, d. h. 

wie sich übrigens auch direkt aus (168) und (279) ableiten läßt, 
so können wir auch schreiben: 

U=Kp, (285) 

indem wir mit p den Mittelwert von f^ in dem Zeitintervall 
von t bis ^ + T bezeichnen. Dieser Mittelwert berechnet sich 
nach (279) genau in der nämlichen Weise wie der von @2 in 

§ 176, nur daß hier — [^"J'^J'' statt 0,, und &, + /. statt &, 

zu setzen ist. Wir erhalten daher analog (281) mit Rücksicht 
auf den Wert von K in (168): 

U= -^ ffdf, dv a^, a^^^lLU^^^ X 1 

cos{27t^t- ü-y+i^ + &^-r^+^ + rv)' J 

Hierbei ist davon Gebrauch gemacht, daß fi kein ist gegen v, 
und daß in dem Integral nur diejenigen Glieder merklich in 
Betracht kommen, für welche v nahe gleich v^. 
Statt dessen kann man schreiben: 



U = I dfjL [ttf^ sin 2 7t fit -^ b^ cos 2 71 fit), 



wobei: 



. (287) 



Q /.8 /» sin y , sin v 

a, = Yi^Jdv a+^ C, ''y '" sin (&,^, -&, + y,^^ - y,) , 

^ ^8 n sinr ,, sinr 

Ebenso wie Cy und &y, so ist auch /^, wie man aus (280) 
erkennt, im absoluten Sinne schnell veränderlich mit v. Man 
darf daher, obwohl n klein ist gegen v, den Winkel /y + ^ nicht 
etwa annähernd gleich yy setzen, nämlich dann nicht, wenn fi 
von gleicher oder sogar höherer Größenordnung ist, wie gv^. 

Planck, Wärmestrahlung. 13 



194 Irreversible Strahlungsvorgänge 



§ 179. Der Betrag der vom Oszillator in der Zeit dt 
emittierten Energie, als einer „langsam veränderlichen" Größe, 
ergibt sich aus der Gleichung (151) zu: 



-^f'\f).dt 



oder nach (279), durch Bildung des Mittelwertes in derselben 
Weise wie oben: 

cos(2 ;riu^- ,% + ^ + ^^-^ - /, + ^ + /,), 
also durch Vergleich mit (286): 
(288) =^2(Tv^Udt. 

Die in einem Zeitelement vom Oszillator emittierte 
Energie ist proportional der Energie des Oszillators, 
ferner seiner Schwingungszahl und seinem logarith- 
mischen Dekrement. 

Der Betrag der vom Oszillator in der Zeit c?^ absorbierten 
Energie, als einer „langsam veränderlichen" Größe, läßt sich 
entweder aus (170) berechnen durch die Bildung des Mittel- 

w^ertes von (S (-7^1 mit Hilfe der bekannten Ausdrücke für @ 

''{dt I 2 

und /, oder auch direkt aus einer Anwendung des Prinzips der 
Erhaltung der Energie, welche besagt, daß die im Zeitelement d t 
vom Oszillator absorbierte Energie gleich ist der Summe der 
in dem Zeitelement erfolgten Energiezunahme und der emittierten 
Energie: 

289) ^ dt=^dU+2(7VQUdt. 

Setzt man hierin für U den in (287) gegebenen Wert, so 
ergibt sich für die in der Zeit dt vom Oszillator absor- 
bierte Energie der Wert: 



(290) 



dt- I dfji {üf/ sm2 7i jj^t + hf^ cos 2 n fit), 

wobei: 

a^' — 2(7 v^ttf^ — 2 71 fji.b^, 
bf/ —2avQb^-Y 2n fia^^. 



Ein Oszillator in beliebigem Strahlungsfelde 195 



Diese Größen wollen wir nun mit der Intensität der er- 
regenden Schwingung in eine allgemeine Beziehung bringen, 
wobei immer festzuhalten ist, daß das Verhältnis fiKTv^ beliebig 
große und kleine Werte annehmen kann. 

§ 180. Von den bisher in unseren Gleichungen auf- 
tretenden Energiegrößen dürfen wir als direkt meßbar ansehen 
nur die Intensität J der erregenden Schwingung und die 
Energie U des Oszillators. Dieselben stehen aber im all- 
gemeinen in keinem einfachen Zusammenhang miteinander, da 
die Energie des Oszillators nicht allein von der Gesamt- 
intensität / der erregenden Schwingung @^, sondern noch von 
spezielleren Eigentümlichkeiten, nämlich von den spektralen 
Eigenschaften dieser Schwingung abhängt. Man kann nun offen- 
bar die Eigenschaften einer bestimmten erregenden Schwingung 
dadurch weiter verfolgen, daß man die zu untersuchende Schwin- 
gung auf verschiedene Eesonatoren wirken läßt und die Energie 
mißt, welche ein jeder Eesonator einzeln unter dem Einfluß 
derselben erregenden Schwingung annimmt. Es ist dies ganz 
die nämliche Methode, welche in der Akustik zur Analyse eines 
Klanges angewendet wird. 

Hierauf gründen wir unsere Definition der in der Gesamt- 
intensität / enthaltenen Intensität ^^ einer bestimmten 
Schwingungszahl v. Wir setzen nämlich: 






(291) 



und definieren 3^, eine „langsam veränderliche" Funktion der 
beiden Variabein v und t, durch die Energie, welche ein Reso- 
nator mit der Schwingungszahl v unter dem Einfluß der er- 
regenden Schwingung ©^ annimmt. Den Resonator nehmen wir 
der Einfachheit halber von der gleichen Beschaffenheit an wie 
den bis jetzt betrachteten Oszillator. 

Doch ist hier noch ein wichtiger Punkt zu erledigen. Da 
nämlich die Energie eines von der Schwingung ©^ erregten 
Resonators nicht allein von seiner Eigenschwingung, sondern 
außerdem auch von seiner Dämpfung abhängt, so ist noch auf 
eine geeignete Wahl der Dämpfungskonstanten des zur Messung 
der Intensität Qy benutzten Resonators Rücksicht zu nehmen. 
Damit der Resonator auf eine bestimmte Schwingungszahl und 

13* 



196 Irreversible Strahlungsvorgänge 

nicht etwa auf ein endliches Intervall von Schwingungszahlen 
merklich reagiert, muß sein Dämpfungsdekrement klein sein. 
Es darf aber auch andererseits nicht allzu klein genommen 
werden; denn ein Resonator mit sehr kleiner Dämpfung braucht 
sehr lange Zeit zum Abklingen, und ein solcher Resonator 
würde den Zweck, durch sein Mitschwingen jederzeit eine gleich- 
zeitige Eigenschaft der ihn erregenden, im allgemeinen mit der 
Zeit veränderlichen Schwingung anzugeben, nicht erfüllen, da 
seine Energie nicht von der gleichzeitigen Beschaffenheit, 
sondern zugleich auch von der Vorgeschichte der erregenden 
Schwingung abhängen würde. Die Energie des Resonators 
würde also nicht die Intensität % selber, sondern einen ge- 
wissen, über einen größeren Zeitraum erstreckten Mittelwert 
dieser Größe zum Ausdruck bringen. 

Um diesen Umstand zu berücksichtigen, wählen wir das 
logarithmische Dekrement o aller zur Analyse der erregenden 
Schwingung ©^ benutzten Resonatoren zwar klein gegen 1, 
machen aber doch q v groß gegen alle ^, was stets möglich ist, 
da nach (283) /i klein ist gegen v. Dann ist der Zustand eines 
analysierenden Resonators, z. B. desjenigen mit der Schwingungs- 
zahl v^f vollständig bestimmt durch die gleichzeitige Beschaffen- 
heit der erregenden Schwingung, und man kann sagen, daß der 
Resonator alle Intensitätsschwankungen der erregenden Schwin- 
gung momentan anzeigt. In der Tat ersieht man z. B. leicht 
aus (290), wenn man darin q statt a setzt, daß die Glieder mit 
dem Faktor fx gegen die Glieder mit dem Faktor ov^ ver- 
schwinden und daß dadurch die vom Resonator absorbierte 
Energie proportional wird seiner augenblicklichen Energie t/J 
was nur dann möglich ist, wenn der Zustand des Resonators 
nur von der gleichzeitigen Beschaffenheit der erregenden 
Schwingung abhängt. 

Unter den gemachten Voraussetzungen ist die in der Ge- 
samtintensität / der erregenden Schwingung enthaltene In- 
tensität der Schwingungszahl v^, die wir kurz mit 3o bezeichnen 
wollen, nach (286) als Funktion der Zeit gegeben durch: 



C0S{2 71 fl t — &y + f, + &y) . 



- X 



Ein Oszillator in beliebigem. Strahlungsfelde 197 



Hier ist z^ ein von v^ abhängiger, sogleich zu bestimmender 
Proportionalitätsfaktor; der Winkel Sy geht aus y^ in (280) her- 
vor, wenn man darin q statt a setzt, also: 

ctg^.= -°';;3"'''^ (292) 

und öy + ^ ist = d'y gesetzt, da fi klein ist gegen qVq. Der 
Proportionalitätsfaktor x^ bestimmt sich aus der Bedingung (291). 
Schreibt man nämlich diese Bedingung nach (281) in der Form: 

00 

fjdfi dv Cy + f, Cy cos [2 71 jjit - ^y + ^-i- O-y) = J% dv^, 



so folgt aus dem soeben für Sq gefundenen Ausdruck, da fi 
und V nicht von v^ abhängen: 



l=/''''o-llÄV-i"^^- 



oder nach (292): 

16 7l2 V^ 


oo 


3 c» 


-J , 1 + .^-"^-:;^^)= 



Da nun q klein ist gegen 1, so braucht man nur diejenigen 
Werte der Funktion unter dem Integralzeichen zu berück- 
sichtigen, für welche v^ nahe = v ist, und erhält so ganz ähn- 
lich wie in § 122: 

00 

16 71^ V» r 1 itn 1 KV 



fä^o-f 



wenn x den Wert von x^^ für v^ — v bedeutet. Daraus er- 
gibt sich: 



32 7r2 ,.„2 



3c3 

Daher ist die Intensität ^^ der Schwingungszahl v^: 



wobei 



51« 



^»'o' C^.. n n si^*^ 



? 



/sin* ö 
di^ a + ^ C, „-.„^^ sin (.9-, + ^ - i9-,) , 

>^; = ^f fd. Cy , , Cy ^;^ cos (.^. , , - .V; . 



(293) 



198 Irreversible Strahlungsvorgänge 

Im allgemeinen werden die Werte von 51^ und ^^ noch 
von o abhängig sein. In diesem Falle kann man von einer 
Intensität der Schwingungszahl v^ in bestimmtem Sinne gar 
nicht reden. Wir wollen nun für das Folgende die Voraus- 
setzung machen, daß eine jede Schwingungszahl v eine ganz 
bestimmte, mit der Zeit „langsam veränderliche'' Schwingungs- 
intensität Sj' besitzt, unabhängig von der zu ihrer Messung 
dienenden Größe o. Dann ist zugleich auch die schon in § 176 
eingeführte Bedingung erfüllt, daß eine Gesamtintensität 



=^j%dv 



der erregenden Schwingung @^ existiert. Auf die Frage, wes- 
halb und inwieweit diese Annahme, welche übrigens in der 
Wärme- und Lichtstrahlung bisher tatsächlich stets gemacht 
wurde, in der Natur gerechtfertigt ist, soll hier nicht näher 
eingegangen werden. 

§ 181. Wir haben jetzt die erregende Schwingung @^, die 
zu den „schnell veränderlichen" und daher nicht direkt meß- 
baren Größen gehört, so weit analysiert, daß wir ihre Ge- 
samtintensität / zu jeder Zeit in eine Reihe von meßbaren 
Größen zerlegt haben: den Intensitäten % der verschiedenen 
Schwingungszahlen v. Weitere Mittel, um „langsam veränder- 
liche" Eigenschaften von (S^ abzuleiten, besitzen wir nicht; die 
Methoden der Analyse sind also hiermit erschöpft Was wir 
durch sie von der schnell veränderlichen Schwingung ©^ kennen 
gelernt haben, ist aber im Vergleich zu der in ihr noch ent- 
haltenen Mannigfaltigkeit von Eigenschaften nur äußerst wenig. 
Die Funktionen Cy und &y selber, in ihrer Abhängigkeit von v, 
sind und bleiben uns innerhalb eines breiten Spielraumes gänz- 
lich unbekannt. 

Stellen wir nun zunächst dasjenige zusammen, was wir 
durch Messung der Intensität ^^ der Schwingungszahl v^. als 
einer langsam veränderlichen Funktion der Zeit t, über die 
schnell veränderlichen Größen C^ und &y erfahren können. Als 
meßbar haben wir in (293) die Größen 51^ und ^^ zu betrachten, 
für alle Werte von ^i. Setzen wir nun: 
(2941 / C, + ^Csin(.9-,H.,.-^,) = 5!r; + |, 

^ ' \ a+ ^ c;cos (,?•,+, .-,9v) = «; + »/, 



Ein OsMllaior in beliebigem Strahlungsfelde 199 



wobei I und r] schnell veränderliche Funktionen von v und fi 
sind, so folgt aus (293): 

2v i r ^^^^ <5« 2vJ r , sin' ö^ 



Nun ist mit Rücksicht auf (292): 
2»2 /-sin^^^ 



Folglich: 
Ebenso: 



ff- 



Q J v^ 



dv = 1 



fi 



sin'^ ö . 



dv = 



sin2 ö^ 



sin ^ 

Da ^ für alle Werte von v verschwindet, deren Ver- 

p 

hältnis zu Vq nicht nahe gleich 1 ist, so stellt die Größe 51^ 
in (294) den langsam veränderlichen Mittelwert der schnell 
veränderlichen Größe Cy + ^Cy sin (j^-^ + ^ — i^-J für v nahe gleich v^ 
vor, und ebenso 93^ den entsprechenden Mittelwert der schnell 
veränderlichen Größe (7^ + ^ (7^008(19-^ + ^ — ß^^} 

Kehren wir nun zu der Untersuchung des Oszillators mit 
der Schwingungszahl v^ und dem Dämpfungsdekrement a zurück, 
so ist zunächst von vornherein einleuchtend, daß zur Berechnung 
des Einflusses, welchen die erregende Schwingung ©^ auf den 
Oszillator ausübt, die Kenntnis der Mittelwerte 51^ und 33 J im 
allgemeinen noch nicht genügt, sondern daß dazu die Größen Gy 
und ß-y selber bekannt sein müssen. In der Tat ersieht man 
aus dem in (287) abgeleiteten Ausdruck der Energie U des 
Oszillators, daß diese erst dann genau berechnet werden kann, 
wenn man die Werte von C^ + ^ Cy sin («^-^ + ^ — t^^) und von 
Gv + uCyQ>o^[ßyj^ f^ — üy) iüv jedcn Wert von v anzugeben ver- 
mag, für den vw^ nahe gleich 1 ist. Mit anderen Worten: die 



* Man könnte auch sehr viel einfacher die Intensität ^^ einer be- 
stimmten Schwingungszahl v durch die genannten Mittelwerte definieren, 
indem man das für die Gesamtintensität J aufgestellte Integral (281) ein- 
fach in der Form der Gleichung (291) schreibt und daraus die Werte 51 
und S8 ableitet. Dann geht aber die hier benutzte physikalische Bedeutung 
der Definition verloren. 



200 Irreversible Strahlungsvorgänge 



in der erregenden Schwingung enthaltene Intensität 3o ^^^ 
Schwingungszahl v^, auch wenn sie für alle Zeiten bekannt ist, 
bestimmt im allgemeinen noch nicht die Energie U des von der 
Schwingung getroffenen Oszillators. 

Somit bleibt nichts anderes übrig, als entweder auf die 
KonstatieruDg eines allgemeinen Zusammenhangs der Größen U 
und 3q überhaupt zu verzichten, was aber den Ergebnissen aller 
Erfahrung zuwiderlaufen würde, oder mittels einer neu einzu- 
führenden Hypothese die vorhandene Kluft zu überbrücken. 
Die physikalischen Tatsachen entscheiden für die zweite Alter- 
native. 

Die Hypothese, welche wir jetzt als die nächstliegende und 
wohl einzig mögliche einführen und für alles folgende beibehalten 
wollen, besteht in der Annahme, daß bei der Berechnung von TJ 
aus der Gleichung (287) in den Integralen, welche die Werte der 
Koeffizienten a^ und h^^ angeben, für die schnell veränderlichen 
Größen Cyj^^C^ sin (».9-^ + ^ — i^^) und C^j^ ^Cy cos (i^-^ + ^ — &^) 
— die einzigen von Cy und &y abhängigen Größen, die in diesen 
Integralen vorkommen — ohne merklichen Fehler ihre langsam 
veränderlichen Mittelwerte 51^ und SSf^ gesetzt werden können. 
Damit erhält dann die Aufgabe, TJ aus g^ zu berechnen, eine 
ganz bestimmte, durch Messungen zu verifizierende Lösung. Um 
aber auszudrücken, daß die hier abzuleitenden Gesetze nicht für 
jede Art Schwingungen, sondern nur mit Ausschließung gewisser 
besonderer Einzelfälle gelten, wollen wir jede Art Strahlung, auf 
welche die hier eingeführte Hypothese paßt, als „natürliche'' 
Strahlung bezeichnen. Dieser Name empfiehlt sich deshalb, weil, 
wie sich im nächsten Kapitel zeigen wird, der so charakterisierten 
Strahlung gerade die Eigenschaften der Wärmestrahlung zu- 
kommen. 

Man kann den Begriff der natürlichen Strahlung noch an- 
schaulicher, aber weniger direkt, als oben geschehen, auch dahin 
fassen, daß bei ihr die Abweichungen der unmeßbaren schnell 
veränderlichen Größen Cv + ^^ G, sin (»9-^ ^.^ — i9-^) usw. von ihren 
meßbaren langsam veränderlichen Mittelwerten 51^ usw. gänzlich 
unregelmäßig sind, entsprechend der „elementaren Unordnung" 
(§ 132). 

§ 183. Gemäß der im vorigen Paragraphen eingeführten 
Hypothese ergibt sich aus der Gleichung (287): 



Ein Oszillator in beliebigem Strahlungsfelde 201 



smr 



3^3 r sin 7 Sil 

(5t^ COS {r. + ,, - /,) + ^; sin (r, + ,, - /,)) , 
, Sc' f. sinj' 



^ sin r. 



oder: 



wobei : 



(33^ cos {y, + ^, - r^) - % sin (/, + ^, - /,)) , 

Sc' 

16 tt'-* (J 



K = ^^iK^-%ß)^ 



00 

r sin/ sin)'^ 

« = j ^^ ^"^ COS (r. + ^ - r.) , 



00 

/sin r„ , „ sin r , 



Nun ergibt sieb mit Berücksichtigung der in (280) gegebenen 
Werte von ctg y^ und ctg y^ + ^^ durch elementare Rechnungen, 
wobei besonders zu beachten ist, daß (t klein ist und daß fx 
im allgemeinen von derselben Größenordnung ist wie (t Vq-. 





1 


(j^V 


ß- ""^ • 





Folglich, wenn man daraus «^, und b^, berechnet und die so 
erhaltenen Werte in (290) einsetzt: 

Die in der Zeit dt vom Oszillator absorbierte Energie ist also 

nach (290): 



202 Irreversible Strahlungsvorgänge 



oder nach (293): 

(295) ='^^-ilft-3o- 

Die in einemZeitelement vom Oszillator absorbierte 
Energie ist proportional der in der erregenden Schwin- 
gung enthaltenen Intensität seiner Eigenperiode, ferner 
seinem logarithmischen Dekrement und dem Kubus der 
Lichtgeschwindigkeit, und umgekehrt proportional der 
Schwingungszahl. 

Bei der natürlichen Strahlung wird also stets positive 
Energie absorbiert, was im allgemeinen, wie schon in der § 111 
gemachten Bemerkung betont wurde, nicht der Fall zu sein 
braucht. 

Durch Substitution des Wertes der absorbierten Energie in 
(289) erhält man schließlich die Fundamentalgleichung der ent- 
wickelten Theorie: 

oder: 

(296) ^ + 2<r.„f/ = -^S„. 

Diese Differentialgleichung kann zur Berechnung der Energie U 
des Oszillators benutzt werden, wenn die seiner Schwingungs- 
zahl Vq entsprechende Intensität 3^ der erregenden Schwingung 
als Funktion der Zeit gegeben ist. Da die Funktionen TJ{t) 
und 3oW ^i®^^ Glicht mehr durch FouEiERSche Integrale dar- 
gestellt zu werden brauchen, so können wir von jetzt ab auch 
die früher in § 175 eingeführte Beschränkung in bezug auf das 
betrachtete Zeitintervall wieder aufheben, und diese und die 
folgenden Gleichungen als für alle positiven und negativen 
Zeiten gültig ansehen. 

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (296) ist: 






Für konstantes So ^^* ^^" 
3 

3L 



TT — ?_^1_ cy 



Erhaltung der Energie und Vermehrung der Entropie 203 

Bei konstanter Bestrahlung ist die Energie des 
Oszillators proportional der in der erregenden Schwin- 
gung enthaltenen Intensität seiner Schwingungszahl, 
ferner dem Kubus der Lichtgeschwindigkeit, und um- 
gekehrt proportional dem Quadrat der Schwingungs- 
zahl, aber unabhängig von der Dämpfung. 

Nachdem wir so die Abhängigkeit der Energie des Oszillators 
Yon der Intensität der erregenden Schwingung festgestellt haben, 
wird es unsere nächste Aufgabe sein, die letztere Größe in 
Zusammenhang zu bringen mit der im umgebenden Felde statt- 
findenden Energiestrahlung. Dies geschieht nach bekannten 
Methoden im nächsten Abschnitt und führt zur Formulierung 
der Gesetze der Energie und der Entropie. 

Drittes Kapitel. 
Erhaltung der Energie und Vermehrung der Entropie. 

§ 183. Indem wir jetzt zur Untersuchung der Vorgänge 
in dem den Oszillator umgebenden elektromagnetischen Felde 
übergehen, wollen wir überall im folgenden von den im vorigen 
Kapitel abgeleiteten Resultaten Gebrauch machen, selbstverständ- 
lich unter der Voraussetzung, daß dabei überall und zu allen 
Zeiten die Bedingungen der natürlichen Strahlung erfüllt sind. 
Dementsprechend brauchen wir künftig nie mehr mit Amplituden 
und Phasen zu rechnen, sondern stets nur mit Intensitäten und 
Energien, d. h. mit „langsam veränderlichen" (im Sinne des § 177) 
Größen. In diesem Sinne ist auch die Bedeutung der unten 
benutzten Raumelemente und Zeitelemente zu verstehen, nämlich 
als Größen, welche unendlich klein sind gegen die Dimensionen 
der betrachteten Räume und Zeiten, aber immer noch groß 
gegen die betrachteten Wellenlängen und Schwingungsdauern. 
Die Wände des durchstrahlten Vakuums denken wir uns als 
ruhende, absolut spiegelnde Flächen, deren Krümmungsradien 
groß sind gegen alle in Betracht kommenden Wellenlängen (§ 2). 

Dann ist die totale Energie U^ des durchstrahlten Vakuums 
und einer darin in gehörigen Abständen voneinander befindlichen 
Anzahl von Oszillatoren der betrachteten Art von der Form: 

L\^ :EU + judr, (297) 



204 Irreversible Strahlungsvorgänge 



wobei ü die Energie eines einzelnen Oszillators, 2 die Summation 
über alle Oszillatoren, und u die Dichte der strahlenden Energie 
im Raumelement c?r des Vakuums bezeichnet. Da die Oszillatoren 
verschwindend kleine Eäume einnehmen, so ist es gleichgültige, 
ob in dem Integral die Integration auch über die von den 
Oszillatoren erfüllten Räume erstreckt wird oder nicht. 

Die räumliche Dichte u der elektromagnetischen Energie in 
einem Punkte des Vakuums ist: 

wo ©I, (£^, @|, §xj ^l, §z die Quadrate der Feldstärken be- 
deuten, als „langsam veränderliche^^ Größen (§ 177) betrachtet, 
und daher mit dem auf den Mittelwert deutenden Querstrich 
versehen. Da für jeden einzelnen Strahl die mittlere elektrische 
und magnetische Energie gleich sind, kann man immer schreiben: 

(298) ^, = _L.(g| + ii+(g|). 

Nun wollen wir die Intensität / = (S| der einen Oszillator 
erregenden Schwingung (§ 176) aus den Intensitäten der den 
Oszillator von allen Seiten treffenden Wärmestrahlen berechnen. 
Zu diesem Zweck müssen wir auch auf die Polarisation der 
den Oszillator treffenden monochromatischen Strahlen Rücksicht 
nehmen. Fassen wir also zunächst ein Strahlenbündel ins Auge, 
welches den Oszillator innerhalb eines Elementarkegels trifft, 
dessen Spitze im Oszillator liegt, und dessen Öffnung d Q durch (5) 
gegeben ist, wobei die Polarwinkel & und cp die Richtung der 
Fortpflanzung der Strahlen bezeichnen, so zerfällt das ganze 
Strahlenbündel in eine Reihe monochromatischer Bündel, von 
denen eines die Hauptwerte der Intensität ^ und W (§ 17) be- 
sitzen möge. Bezeichnen wir nun den Winkel, welchen die zur 
Hauptintensität ^ gehörige Polarisationsebene mit der durch die 
Richtung des Strahles und die Z-Achse (die Oszillatorachse) ge- 
legten Ebene bildet, mit o), einerlei in welchem Quadranten, 
so läßt sich nach (8) die spezifische Intensität des monochro- 
matischen Bündels zerlegen in die beiden geradlinig und senk- 
recht aufeinander polarisierten Komponenten : 

^ cos^ 0) -f W sin^ CO , 

^ sin^w + ^' cos^o), 



Erhaltung der Energie und. Vermehrung der Entropie 205 



von denen die erste in der durch die Z-Achse gehenden Ebene 
polarisiert ist, da sie für cd = gleich ^ wird. Diese Kom- 
ponente liefert keinen Beitrag zu dem Werte von ©^ im 
Oszillator, weil die elektrische Feldstärke eines geradlinig polari- 
sierten Strahles senkrecht steht auf der Polarisationsebene. Es 
bleibt also nur übrig die zweite Komponente, deren elektrische 

Feldstärke den Winkel ^ — 0- mit der Z- Achse bildet. Nun ist 

nach dem Poynting sehen Satze die Intensität eines geradlinig 

polarisierten Strahles im Vakuum gleich — — mal dem mittleren 

Quadrat der elektrischen Feldstärke. Folglich ist das mittlere 
Quadrat der elektrischen Feldstärke des hier betrachteten 
Strahlenbündels: 

^ (^ sin2 (o + r cos2 CO) dvdQ 

und das mittlere Quadrat der Komponente davon in der Richtung 
der Z-Achse: 

4 71 

c 



sin2 w H- r cos2 co) sin^ ^dvdü. (299) 

Durch Integration über alle Schwingungszahlen und alle Offnungs- 
winkel erhalten wir mithin den gesuchten Wert; 

@|'= -^ fsin^ &dn fdv {^r sin2 ai^ + ^; cos^ «J = /. (300) 

Sind speziell alle Strahlen unpolarisiert und die Strahlungs- 
intensität nach allen Richtungen konstant, so ist ^^ = ^^ und, da: 

f%m^ü-dn= fCsm^&d&dcp =-^» 

und durch Substitution in (298): 

u = ^f^,dv, 

übereinstimmend mit (22) und (24). 

Nehmen wir nun nach § 180 die spektrale Zerlegung der 
Intensität J vor: 

J = f^rdv, 

so ergibt sich durch Vergleichung mit (300) für die in der 



206 Irreversible Strahlungsvorgänge 



erregenden Schwingung enthaltene Intensität einer bestimmten 
Schwingungszahl i/ der Wert: 

(301) % = ^j^^^' ^ ^^ (^^ ^^"' ^' + ^^' ^^^' ^^' • 

Da nun S mit der Energie JJ des Oszillators durch die 
Gleichung (296) zusammenhängt, so ist hiermit die Möglichkeit 
gegeben, die Schwingung des Oszillators zu berechnen, wenn 
die Intensitäten und Polarisationen aller den Oszillator treffen- 
den Strahlen für alle Zeiten bekannt sind. Insbesondere er- 
gibt sich für unpolarisierte und nach allen Richtungen gleich- 
mäßige Strahlung: 

und nach (296): 

du , o TT 2 C^ (7 ^ 

dt V 

Der Index kann von jetzt an weggelassen werden. Ist die 
Strahlung auch noch unabhängig von der Zeit, oder der Strahlungs- 
zustand „stationär*^, so ist auch f/"von der Zeit unabhängig und: 

302) ?7=^^, 

übereinstimmend mit Gleichung (193). 

§ 184. Die ganze in der Zeit dt von dem Oszillator ab- 
sorbierte Energie beträgt nach (295): 

oder nach (301): 

d^-4^^ rsin2r9'^ß(^sin2« -}- ^'cos^«). 

Daher wird von der in der Richtung {p-^ (f) auf den Oszillator 
fallenden Strahlung in der Zeit dt der Energiebetrag: 

dt • 4^^ (^ sin2 09 + ^' cos^ 0)) sin2 & dQ 
absorbiert. 

Nun beträgt die spezifische Intensität der in der Richtung 
(i9-, (f) auf den Oszillator fallenden Strahlung, soweit sie „ab- 
sorbierbar" ist, d. h. die dem Oszillator entsprechende Schwingungs- 



Erhaltung der Energie und Vermehrung der Entropie 207 



zahl und Polarisation besitzt, nach (299), da der Faktor -^dv dQ 
hier wegzulassen ist: 

(^ sin2 « + ^ ' cos2 w) 8in2 ß- . (303) 

Daraus ergibt sich der Satz: der absolute Betrag der vom 
Oszillator in der Zeit dt absorbierten Energie wird erhalten, 
wenn man die spezifische Intensität der in irgendeiner Rich- 
tung {i9, (f) auf ihn fallenden absorbierbaren Strahlung mit 

dt-^-^'-dQ (304) 

multipliziert und diesen Ausdruck über alle Eichtungen [&, rp) 
integriert. Der Faktor ---- bestimmt also die Breite des vom 

° 4 TT >' 

Oszillator aufgefangenen Strahlenbündels, indem er ein 
Maß liefert für das Produkt aus dem Querschnitt dieses Bündels 
am Orte des Oszillators und seiner Spektralbreite. 

Auf der anderen Seite beträgt die vom Oszillator in der 
Zeit dt nach allen Eichtungen emittierte Energie nach (288): 

dt'2(TvU 
oder, was dasselbe ist: 

dt'^^U' fsin^& dQ. 

4:71 J 

Da nun die Intensität der vom Oszillator in der Richtung 
(t?-, (p) emittierten Strahlung nach (150) unabhängig ist von (p 
und proportional sin^ ü-, so beträgt die in der Zeit dt in dieser 
Eichtung emittierte Energie: 

dt' ^—Usm^ß'dn 

4 TT 

und die spezifische Intensität der vom Oszillator in der- 
selben Richtung emittierten Strahlung, durch Division mit (304): 

^!^*-. (305) 

Für den am Schluß des vorigen Paragraphen betrachteten 
„stationären** Strahlungsznstand ist 

^ = ^' und ?7=4^- 

Man sieht also, daß im stationären Strahlungszustand die spezi- 
fische Intensität (303) der in irgendeiner Richtung auf den 



208 Irreversible Strahlungsvorgänge 



Oszillator fallenden absorbierbaren Strahlung gleich ist der 
spezifischen Intensität (305) der in derselben Eichtung vom 
Oszillator emittierten Strahlung, wie es sein muß. 

§ 185. Wir wollen nun, als Vorbereitung für die folgenden 
Deduktionen, die Eigenschaften der verschiedenen den Oszillator 
passierenden Strahlenbündel noch näher ins Auge fassen. Von 
allen Seiten treffen Strahlen auf den Oszillator; betrachten wir 
wieder diejenigen von ihnen, welche in der Eichtung [&, ff), 
innerhalb des Elementarkegels dQ, dessen Spitze im Oszillator 
liegt, auf ihn zulaufen, so können wir sie uns zunächst zerlegt 
denken in ihre monochromatischen Bestandteile, und brauchen 
uns nur mit demjenigen dieser Bestandteile weiter zu beschäftigen, 
welcher der Schwingungszahl v des Oszillators entspricht; denn 
alle übrigen Strahlen streichen über den Oszillator einfach hinweg, 
ohne ihn zu beeinflussen oder von ihm beeinflußt zu werden. 
Die spezifische Intensität des monochromatischen Strahles von 
der Schwingungszahl i/ ist: 

^ + r, 

wenn ^ und ^' die Hauptintensitäten vorstellen. Dieser Strahl 
wird nun je nach den Eichtungen seiner Hauptpolarisations- 
ebenen in zwei Komponenten (8) zerlegt. 
Die eine Komponente: 

^cos^Q) + ^'sin^w 

geht direkt über den Oszillator hinweg und tritt völlig un- 
geändert auf der anderen Seite wieder aus; sie liefert also einen 
in der Eichtung {&, cp) innerhalb der Kegelöffnung dQ vom 
Oszillator ausgehenden geradlinig polarisierten Strahl, dessen 
Polarisationsebene durch die Achse des Oszillators hindurch- 
geht, und dessen Intensität beträgt: 

(306) ^ C082 « + ^' sin2 w = ^". 

Die andere, senkrecht auf der vorigen polarisierte Komponente : 

^sin^« + ^'cos^ö? 

zerfällt wiederum in zwei Teile: 

(^sin2« + ^'cos2w)cos2t9' 
und: 

(^ sin2 (o + W cos2 m) sin^ ü- , 



Erhaltung der Energie und Vermehrung der Entropie 209 



von denen der erste ungeändert durch den Oszillator hindurch- 
passiert, der zweite dagegen absorbiert wird. Statt des letzteren 
erscheint aber in der vom Oszillator ausgehenden Strahlung die 
Intensität des emittierten Strahles (305): 

v'' U si n» & 

Diese liefert zusammen mit dem ersten, unverändert gebliebenen 
Teile die gesamte Intensität des vom Oszillator in der Eichtung 
{&, (f) innerhalb des Off nun gs winkeis dQ ausgehenden, senkrecht 
auf (306) polarisierten Strahles: 

(^ sin2 CO -\-^' cos2 ai) cos^ 0^ + ^- sin^ & = ^"' . (307) 

Im ganzen haben wir also schließlich in der Richtung [&, cp) 
innerhalb d^ vom Oszillator ausgehend einen aus zwei senk- 
recht zueinander polarisierten Komponenten zusammengesetzten 
Strahl, dessen eine Polarisationsebene durch die Achse des 
Oszillators geht und dessen Hauptintensitäten die Werte ^" 
und W besitzen. 

§ 186. Es ist nun leicht, sich Rechenschaft zu geben von 
der Erhaltung der Gesamtenergie des Systems auf Grund der 
lokalen darin stattfindenden Energieänderungen. 

Wenn gar kein Oszillator im Felde vorhanden ist, so behält 
ein jedes der unendlich vielen elementaren Strahlenbündel beim 
geradlinigen Fortschreiten mit seiner spezifischen Intensität auch 
seine Energie unverändert bei, auch bei der Reflexion an einer 
als eben und absolut spiegelnd vorausgesetzten Grenzfläche 
des Feldes. 

Jeder Oszillator dagegen bewirkt im allgemeinen eine 
Änderung der ihn treffenden Strahlenbündel. Berechnen wir 
die ganze Energieänderung, die der oben betrachtete Oszillator 
in der Zeit d t in dem ihn umgebenden Felde hervorruft. Dabei 
brauchen wir nur diejenigen monochromatischen Strahlen zu 
berücksichtigen, welche der Schwingungszahl v des Oszillators 
entsprechen, da die übrigen durch ihn gar nicht alteriert werden. 

In der Richtung (i^-, cp) innerhalb des Elementarkegels dÜ, 
wird der Oszillator von einem irgendwie polarisierten Strahlen- 
bündel getroffen, dessen Intensität durch die Summe der beiden 
Hauptintensitäten ^ und ^' gegeben ist. Dieses Strahlenbündel 

Planck, Wärmestrahlung. 14 



210 Irreversible Strahlungsvorgänge 



läßt, der Bedeutung des Ausdrucks (304) gemäß, in der Zeit dt 
die Energie: 

^ ' 4 TT V 

auf den Oszillator fallen, und dadurch wird auf der Seite der 
ankommenden Strahlen der nämliche Energiehetrag dem Felde 
entzogen. Auf der anderen Seite geht dafür vom Oszillator in 
derselben Richtung [d-, (f) ein in bestimmter Weise polarisiertes 
Strahlenbündel aus, dessen Intensität durch die Summe der 
beiden Hauptintensitäten ^" und ^'" gegeben ist. Dadurch wird 
dem umgebenden Felde in der Zeit dt der Energiebetrag 

(^" + ^"')dt'^^dn 

^ ' 4:71 V 

zugeführt. 

Im ganzen beträgt also die in der Zeit dt eingetretene 
Energieänderung des den Oszillator umgebenden Feldes, durch 
Subtraktion des vorletzten Ausdruckes vom letzten und Inte- 
gration über dQ: 



4 



^^Jc^ß(^" + ^"'-^-^'). 



Nimmt man dazu die in derselben Zeit eingetretene Energie- 
änderung des Oszillators: 

dt 

SO verlangt das Prinzip der Erhaltung der Energie, daß die 
Summe der letzten beiden Ausdrücke verschwindet, d. h. daß 

(308) -^ + "l^r/^ ß (^" + ^'" _ ^ - ^') = , 

und das ist in der Tat der Inhalt der beiden Gleichungen (296) 
und (301), wenn man berücksichtigt, daß nach (306) und (307): 

^" 4. ^- _ ^ _ ^' = (2^ _- ^ 8in2 ft, _ ^/ cos2 w) sin2 tV- . 

§ 187. Wir bilden jetzt, entsprechend der totalen Energie U^ 
in (297), die totale Entropie des betrachteten Systems: 

(309) S,^^S+Jsdr. 

Die Summation ^ ist wieder über alle Oszillatoren, die Inte- 



Erhaltung der Energie und Vermehrung der Entropie 211 



gration über alle Raumelemente dr des durchstrahlten Feldes 
zu erstrecken. S, die Entropie eines einzelnen Oszillators, ist 
als Funktion von ü gegeben durch (227), und s, die räumliche 
Entropiedichte in einem Punkte des Feldes, ist als Funktion 
aller Hauptstrahlungsintensitäten ^ und ^' gegeben durch (131), 
in Verbindung mit (129) und (229). 

Nun wollen wir die Änderung berechnen, welche die totale 
Entropie S^ unseres Systems im Zeitelement dt erleidet. Wir 
halten uns dabei genau an die analoge im vorigen Paragraphen 
für die Energie des Systems durchgeführte Rechnung. 

Wenn gar kein Oszillator vorhanden ist, so behält ein jedes 
der im Vakuum vorhandenen unendlich vielen Strahlenbündel 
beim geradlinigen Fortschreiten zugleich mit seiner spezifischen 
Intensität seine Entropie unverändert bei, auch bei der Reflexion 
an einer als eben und absolut spiegelnd vorausgesetzten Grenz- 
fläche des Feldes. Durch die Strahlungsvorgänge im freien Felde 
kann also keine Entropieänderung des Systems hervorgerufen 
werden (vgl. § 162). Dagegen bewirkt jeder Oszillator im all- 
gemeinen eine Entropieänderung der ihn treffenden Strahlen- 
bündel. Berechnen wir die ganze Entropieänderung, welche der 
oben betrachtete Oszillator in der Zeit dt in dem ihn umgeben- 
den Felde hervorruft. Dabei brauchen wir nur diejenigen 
monochromatischen Strahlen zu berücksichtigen, welche der 
Schwingungszahl v des Oszillators entsprechen, da die übrigen 
durch ihn gar nicht alteriert werden. 

In der Richtung {&, cp\ innerhalb des Elementarkegels dQ, 
wird der Oszillator von einem irgendwie polarisierten Strahlen- 
bündel getroffen, dessen Energiestrahlung die Hauptintensitäten ^ 
und Wi und dessen Entropiestrahlung daher die Intensität S + ß' 
(§ 98) besitzt. Dieses Strahlenbündel läßt, der Bedeutung des 
Ausdruckes (304) gemäß, in der Zeit dt die Entropie: 

(ß + S')•rf^4^-•(^ß 

auf den Oszillator fallen, und dadurch wird auf der Seite der 
ankommenden Strahlen der nämliche Entropiebetrag dem Felde 
entzogen. Auf der anderen Seite geht vom Oszillator in der- 
selben Richtung [&, cp) ein in bestimmter Weise polarisiertes 
Strahlenbündel aus, dessen Energiestrahlung die Hauptinten- 
sitäten ^" und W , und dessen Entropiestrahlung daher die 

14* 



212 Irreversible Strahlungsvorgänge 

entsprechende Intensität 2" + Q'" besitzt. Dadurch wird dem 
umgebenden Felde in der Zeit dt die Entropie: 

(2" + Q")dt-^^^^-dQ 

^ ' 4:71 V 

zugeführt. Im ganzen beträgt also die in der Zeit dt eingetretene 
Entropieänderung des den Oszillator umgebenden Feldes, durch 
Subtraktion des vorletzten Ausdruckes vom letzten und Inte- 
gration über dQ: 

(310) rf^^f .J(^ß(S" + ö'" - s - 2'). 

Nimmt man dazu die in derselben Zeit erfolgte Entropie- 
änderung des Oszillators: 

dS ,, dS dU ,, 
-rr ' dt = -yjY • —TT • dt , 
dt dU dt 

so ergibt sich durch Addition zu (310) und Summation über 
alle Oszillatoren die gesuchte Änderung der totalen Entropie des 
Systems : 



iBn)^.di = ät.^[^fäß(ä" + 2'"-2-ä') + ^. 



dU 
dt 



Wir wollen nun weiter den Nachweis führen, daß der Aus- 
druck hinter dem ^-Z^iohen stets positiv ist, inbegriffen den 

Grenzfall Null. Zu diesem Zwecke setzen wir für ,- den in 

dt 



(308) gegebenen Wert und erhalten dadurch: 

-s + ^l^-ß' + ^w)- 



Es erübrigt jetzt nur noch zu zeigen, daß der eingeklammerte 
Ausdruck für alle beliebigen Werte der positiven Größen U, U. 
^', &, CO positiv ist, wobei nach Gleichung (306): 

(312) ^" = ^ cos2 « + ^' sin2 « 

und nach Gleichung (307): 

r" = (^ sin2 w + ^' cos2 w) cos2 ^ + ^ sin^ ,9- . 



Erhaltung der Energie und Vermehrung der Entropie 213 



Setzen wir zur Abkürzung die positive Größe: 

^ sin2 w + ^' cos2 ö, = ^ 4- ^' _ ^" = ^;" , (313) 

so ist hiernach: 

^'" = ^;" cos2 & + ^ sin2 &, (314) 

Wir wollen zunächst das Glied: 

ins Auge fassen, indem wir darin U und folglich auch —^ als 

konstant, dagegen ^'" und folglich auch 2'" als variabel be- 
trachten. Mit Berücksichtigung von (229) und (227) ergibt sich 
dann : 

df _ dQ'" _ dS 
d^"' ~ dr'' dU 



^log(^^+l)-^log(4f- + l). 



d'f _ k ^ 1 .. 

2 «V'" ^ ^ • 



rfÄ'"2 Ä»'5^'" c«Ä' 



Daraus folgt, daß die Funktion f[^"') ein einziges Maximum 
besitzt, und zwar für ^"' = -^ü. 

Da nun nach (314) ^'" zwischen .^''J' und — ^ liegt, so ist 
jedenfalls: 

d.h. 

und um den Beweis durchzuführen, genügt es, den Ausdruck: 

^rf?7^^« **0(i?7 ^^^^ dU ^ ^^ dU 
oder, was nach (313) dasselbe ist, den Ausdruck: 

(2" + s;") - (ö + s') 

als positiv zu erweisen. Hierzu wollen wir setzen: 

T und ^7 liegen nach (312) und (313) zwischen ^ und ^'. 



214 Irreversible Strahlungsvorgänge 

Betrachten wir jetzt die Größe: 

ß + ß' = F[^) 

als Funktion von ^ allein, indem wir © konstant nehmen und 
daher ^' als von ^ abhängig ansehen, so handelt es sich nur 
noch um das Vorzeichen des Ausdruckes: 

Nun ergibt sich nach (229) durch Differentiation: 

d'^F ^ _ k 1 k__ 1 ^ 

da' ~ hv^' ^ ^ Ä>'Ä'"~^ c^r ^ 

Daraus folgt, daß die Funktion F{^) ein einziges Maximum be- 
sitzt, und zwar für ^ == ^' = — -, und daß sie zu beiden Seiten 
dieses Maximums symmetrisch abfällt. Je näher also das 
Argument ^ dem Werte — kommt, einerlei von welcher Seite 
her, desto größer wird der Wert von F. 

Nun liegt ^" dem Werte ---, welcher das arithmetische 

Mittel sowohl von ^ und ^', als auch von ^" und ^7 bildet, 
jedenfalls näher als ^, weil ^" und ^"^' zwischen ^ und W 
liegen. Folglich ist F{^") > F{^), und damit ist der Beweis für 
die Vermehrung der Entropie geliefert. 

Jeder der betrachteten Strahlungsvorgänge verläuft also ein- 
seitig in dem Sinne wachsender Entropie, bis mit dem Maximum 
der Entropie auch der stationäre Strahlungszustand erreicht 
wird, welcher durch die Beziehungen charakterisiert ist: 

^ ^, ^„ ^n, <«^/// y'^V 



Viertes Kapitel. Anwendung auf einen speziellen Fall. Schluß. 

§ 188. Wir wollen noch zur Betrachtung des speziellen 
Falles übergehen, daß das Feld, in welchem der Oszillator liegt, 
sich in einem Zustand stationärer Strahlung befindet, während 
die Schwingungsenergie des Oszillators anfangs eine ganz be- 



Anwendung auf einen speziellen Fall. Schluß 215 



liebige sein möge. Eine Folge der stationären Strahlung im 
Vakuum ist, daß die auf den Oszillator fallenden Strahlen un- 
polarisiert und nach allen Richtungen gleichmäßig intensiv 
sind, d. h. 

^ = ^' = ^^ = const 

unabhängig von der Zeit und von der Richtung der Strahlung. 
Dann folgt aus (306) und (307): 

r = ^0 » ^"' = ^0 cos'-^ & + ^ sin2 d, (31 5) 



Ferner aus (308), da 



/ 



sin2^rfß = -^ 



M.^2<TvU-^^% = (i, (316) 

woraus sich die Schwingungsenergie U des Oszillators bei ge- 
gebenem Anfangswert als Funktion der Zeit t ergibt. 

Die totale Entropie änderung des Systems in der Zeit dt 
folgt aus (311), da nur ein einziger Oszillator vorhanden ist, 
und da £ = 2' = ö" = S^, zu: 

ds,^ds + ^^dt^fdn (S'" - So). (317) 

Hier ist S'" nach (229) von ^'" und dadurch auch vom Winkel ?> 
abhängig. 

Wenn nicht nur das den Oszillator umgebende Feld, 
sondern das ganze System sich im stationären Strahlungs- 
zustand befände, so wäre auch ^'" = ^q, und die Energie U 
des Oszillators würde speziell: 

Uo-^-K' (318) 

wie auch aus (315) zu ersehen. Wir wollen daher diesen 
Wert Uq den stationären Wert der Energie des Oszillators 
nennen; ihm nähert sich TT nach (316) für wachsende Zeiten 
asymptotisch an. 

Nun besitze die Energie des Oszillators einen Wert, der 
nur noch wenig von dem stationären Wert U^ verschieden 

ist, d. h. 

ü= U^ + AU. (319) 



216 Irreversible Strahlungsvorgänge 



Die kleine, positive oder negative, Größe A U können wir die 
Abweicliung der Oszillatorenergie von ihrem stationären Wert 
nennen, sie ist zugleich ein Maß für die Gleichgewichtsstörung 
des ganzen betrachteten Systems. Dann wird aus (316) und (318): 

(320) ^^2(jv AU=^0 
und aus (315): 

(321) r' = ^, + ^ sin2 &^AU, 

folglich, durch Entwicklung in eine Taylor sehe Reihe und mit 
Vernachlässigung höherer Potenzen von A U: 






Führt man dies in (317) ein, so ergibt sich, da: 



j^in^{^dP.=. ^2^ 



15 

/ ^ o \ 
d 



oder nach (320), mit Elimination des Zeitelements dt: 

Andererseits ist: 

dS = ^'dU 
d U 

und nach (319): 

dS ldS\ ^ (d'S\ .rr . 

Folglich durch Substitution die Entropieänderung des ganzen 
Systems, unter Vernachlässigung höherer Potenzen von A U: 

(«)«;- 1- m - (SMP). - 1^ (S).M ^-j ■ 

Da beim thermodynamischen Gleichgewicht die Temperatur der 
freien Strahlung gleich derjenigen des Oszillators ist, so folgt 
aus (135) und (199): 



(d^ ^ ldS\ 



Anwendung auf einen speziellen Fall. Schluß 217 



und durch Differentiation dieser Gleichung, mit Rücksicht 
auf (318): 

Dadurch geht der Ausdruck (322) über in: 

dS,=^ldü'AU'^=^-^k' /,fj'_f!^, > (323) 

^5 dU^ b L (U + h v) ^ ^ 

indem der Wert von S aus (227) eingesetzt und der Index 
bei U jetzt als überflüssig fortgelassen ist. 

Dieser Ausdruck stellt also die Entropievermehrung dar, 
welche in der Natur eintritt, wenn ein in einem stationären 
Strahlungsfeld befindlicher Oszillator, dessen Energie eine kleine, 
positive oder negative, Abweichung AU von ihrem stationären 
Wert U aufweist, die unendlich kleine Energieänderung dU er- 
leidet, natürlich auf Kosten bez. zugunsten der Energie des 
Strahlungsfeldes. Die Entropievermehrung hängt also außer von 
der Schwingungszahl v nur ab von dU, AU und U, nicht von 
dem Dämpfungsdekrement des Oszillators, und ist überdies, wie 
auch von vornherein einleuchtet, den Werten von d U und von A U 
proportional. Da sie stets positiv ist, so besitzen dU Viiidi AU 
entgegengesetzte Vorzeichen, wie natürlich. 

§ 189. Denken wir uns nun, daß in dem betrachteten 
stationären Strahlungsfeld statt eines einzigen Oszillators eine 
beliebige Anzahl n mit dem bisher betrachteten ganz gleich- 
beschaffene Oszillatoren vorhanden sind, in denen sich während 
des Zeitelementes dt genau die nämlichen Vorgänge^ abspielen. 
Dann ist die Energie aller Oszillatoren zusammengenommen die 
Summe der Einzelenergien: nU = U^, ihre Abweichung von 
dem stationären Wert: AU^ = n- AU, ihre Änderung im Zeit- 
element dt: dU^^ — ndU, endlich ihre Entropie, als Summe aller 
Einzelentropien: S^^ = nS. 

Die gesamte Entropievermehrung in diesem System, die 
wir mit d 2^ bezeichnen wollen , ist gleich dem n fachen des 
Ausdrucks (323), da sich 7i einander ganz gleiche Vorgänge 
gleichzeitig und unabhängig voneinander abspielen, also: 



^ natürlich nur bezüglich der Energien, nicht etwa in dem Sinne, 
daß die Schwingungen kohärent sind. 



218 Irreversible Strahkmgsvorgänge 



/QOA\ 1^^ ^ ^Jf ATT ^^ 8 , dU'AU 

^ ' -"^^ dü^ 5 U {ü + hv) 



oder mit Einführung von C/, AU^y dU^ und S^: 

d^Sn __ 1 
rfZ7„2 " 5 



/ooKN jxn 3 ,^^ . TT d^ Sn 3 , dUn' AUn 

(325) ^S= T^f4-^^n-T)T^ = -^^ 



Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem ganz analog gebauten 
in (323), so erhellt, daß die Entropie Vermehrung des Systems 
außer von der Schwingungszahl v nicht allein von ?7^, AU^ und d U^ 
abhängt, sondern auch von der Zahl n explizite. 

Diese Folgerung, zu der der Ausdruck (227) der Entropie S 
mit Notwendigkeit führt, erschien mir, da die Gleichungen (323) 
und (325) sich sonst in ihrem Bau durch nichts unterscheiden, 
anfangs als auffällig und nicht wohl annehmbar. Daher setzte 
ich zu einer Zeit, als noch kein direkter Weg zur Berechnung 
der Strahlungsentropie bekannt war, statt der Gleichung (325) 
die folgende: 

(326) <l^, = \dü^-AU„.f§^ = -dU^-AÜ,^-f(ü^) 

mit der Annahme, daß die positive Funktion f nur von U^, nicht 
aber von n abhängt. Dadurch geht (323) über in: 

(327) dS^=^^dU'AU'~=^-dU-AU'f[U], 

und da d^^ = wdS^, wie wir schon oben zur Ableitung 
von (324) benutzten, so folgt: 

dU^'AU^'f{UJ = ndU'AU'f(U) 

oder, mit Einführung von U statt ü^: 

n^f[nU)^f[U). 

Die allgemeine Lösung dieser Funktionalgleichung ist: 

p/jjx const 

und daraus folgt nach (327): 

fooQ\ d'^ S 5 ^,jj. const 



Anwendung auf einen speziellen Fall. Schluß 219 



Die Integration dieser Gleichung ergibt für 5 gerade die- 
jenige Funktion von U, welche in der Beziehung (239) aus- 
gedrückt ist, und die zum Wien sehen Energieverteilungsgesetz 
führt. Daher hielt ich eine Zeitlang jene Beziehung für den 
allgemeinen Ausdruck der Entropie eines Oszillators der be- 
trachteten Art, und dementsprechend das Wien sehe Energie- 
verteilungsgesetz für das allgemeine Spektralgesetz, was auch 
die Messungen von F. Paschen zu bestätigen schienen.^ 

Erst die Versuche von 0. Lummer und E. Pringsheim^ 
haben gezeigt, daß das Wien sehe Energie Verteilungsgesetz nur 
bedingungsweise gilt, nämlich dann, wenn die Strahlungsintensität, 
und daher auch die Energie U, einen verhältnismäßig kleinen 
Wert besitzt. Für größere Werte von U nähert sich dagegen, 
wie besonders deutlich aus den Messungen von H. Rubens 
und F. KuRLBAUM hervorgeht,^ die Energiestrahlung merklich 
dem Eayleigh sehen Gesetz (§ 154), nach welchem statt der Be- 
ziehung (328) die folgende gilt: 

d'^S __ const 09QN 

wie man unmittelbar aus der Gleichung (244) findet. 

Versucht man, die beiden in speziellen Gebieten, für kleine U 
und für große CT", gültigen Formeln (328) und (329) in eine 
einzige allgemeinere zu vereinigen, so bietet sich als die ein- 
fachste Fassung die folgende dar: 

d^ S . const 



dU^ ?7(C7 + const) ' 

welche mit (323) genau übereinstimmt und durch zweimalige 
Integration nach U zu der Gleichung (227) führt; denn die 
Abhängigkeit von der Schwingungszahl v ist ja durch das Wien sehe 
Verschiebungsgesetz (223) festgelegt. 



^ F. Paschen, Sitzungsber. d. k. preuß. Akad. d. Wissensch. 1899, 
p. 405, 893. WiED. Ann. 60, p. 662, 1897. 

2 0. LüMMER und E. Pringsheim, Verhandlungen der Deutschen Physi- 
kalischen Gesellschaft 2, p. 163, 1900. Vgl. aber auch H. Beckmann^ Inaugural- 
Dissertatiou, Tübingen 1898. H. Rubens, Wied. Ann. 69, p. 582, 1899. 

^ H. Rubens und F. Kurlbaum, Sitzungsber. d. k. preuß. Akad. d. 
Wissensch. vom 25. Oktober 1900, p. 929. 



220 Irreversible Strahlungsvorgänge 



Dies ist der Weg, auf welchem die Beziehung (227) und 
das dadurch bedingte Strahlungsgesetz (234) ursprünglich ge- 
funden wurde. 

§ 190. Schluß. Die hier entwickelte Theorie der irre- 
versibeln Strahlungsvorgänge gibt eine Erklärung dafür, wie in 
einem durchstrahlten, von Oszillatoren aller möglichen Eigen- 
schwingungen erfüllten Hohlraum bei beliebig angenommenem 
Anfangszustand sich mit der Zeit ein stationärer Zustand her- 
stellt, indem die Intensitäten und Polarisationen aller Strahlen 
sich nach Größe und Richtung gegenseitig ausgleichen. Aber 
die Theorie läßt noch eine wesentliche Lücke. Denn sie be- 
handelt nur die Wechselwirkungen zwischen Strahlen und 
Oszillatorschwingungen der nämlichen Periode. Für eine be- 
stimmte Schwingungszahl ist die vom zweiten Hauptsatz der 
Thermodynamik geforderte Vermehrung der Entropie bis zur 
Erreichung des Maximalwertes in jedem Zeitelement auf rein 
elektrodynamischem Wege nachgewiesen. Aber für alle Schwin- 
gungszahlen zusammengenommen bedeutet das so erreichte 
Maximum noch nicht das absolute Maximum der Entropie des 
Systems, und der entsprechende Strahlungszustand bezeichnet 
im allgemeinen nicht das absolut stabile Gleichgewicht (vgl. 
§ 27). Denn darüber, wie sich Strahlungsintensitäten, die ver- 
schiedenen Schwingungszahlen entsprechen, gegenseitig aus- 
gleichen, wie sich also aus einer anfangs vorhandenen beliebigen 
spektralen Euergieverteilung mit der Zeit die normale, der 
schwarzen Strahlung entsprechende Energieverteilung entwickelt, 
erteilt diese Theorie keinerlei Aufschluß. Die hier der Be- 
trachtung zugrunde gelegten Oszillatoren beeinflussen eben nur 
die Intensitäten der Strahlen, die ihrer Eigenschwingung ent- 
sprechen, sie vermögen aber nicht, deren Schwingungszahlen zu 
verändern, solange sie keine anderen Wirkungen ausüben und 
erleiden als daß sie strahlende Energie emittieren und ab- 
sorbieren.^ 

Um einen Einblick in diejenigen Vorgänge zu erhalten, 
durch welche sich in der Natur der Austausch von Energie 
zwischen Strahlen verschiedener Schwingungszahlen vollzieht, 
bedürfte es jedenfalls auch der Untersuchung des Einflusses, 



Vgl. P. Ehrenfest, Wien. ßer. 114 [2a], p. 1301, 1905. 



Verzeichnis 221 



welchen eine Bewegung der Oszillatoren auf die Strahlungs- 
vorgänge ausübt. Denn sobald die Oszillatoren sich bewegen, 
kommt es zu Zusammenstößen zwischen ihnen, und bei jedem 
Zusammenstoß müssen Wirkungen ins Spiel treten, welche die 
Schwingungsenergie der Oszillatoren noch in ganz anderer und 
in viel radikalerer Weise beeinflussen, als die einfache Emission 
und Absorption strahlender Energie. Das Endresultat aller 
derartiger Stoßwirkungen läßt sich allerdings mit Hilfe der im 
vierten Abschnitt angestellten Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen 
voraussehen; wie im einzelnen und in welchen Zeiträumen aber 
dies Resultat zustande kommt, dies zu lehren wird erst die 
Aufgabe einer künftigen Theorie sein. Von einer solchen Theorie 
sind dann sicherlich auch weitergehende Aufschlüsse über die 
Konstitution der in der Natur vorhandenen Oszillatoren zu er- 
warten, schon deshalb, weil sie jedenfalls auch eine nähere 
Erklärung für die physikalische Bedeutung des universellen 
Wirkungselements h (§ 149) bringen muß, welche der des elektri- 
schen Elementarquantums sicherlich nicht nachsteht. 



Verzeichnis 

der vom Verfasser bisher veröffentlichten Schriften aus dem 
Gebiete der Wärmestrahlung, mit Angabe derjenigen Paragraphen 
dieses Buches, in denen der nämliche Gegenstand behandelt ist^ 

Absorption und Emission elektrischer Wellen durch Resonanz. Sitzungsber. 

d. k. preuß. Akad. d. Wissensch. vom 21. März 1895, p. 289—301. 

WiED. Ann. 57, p. 1—14, 1896. (§§ 112—11^.) 
Über elektrische Schwingungen, welche durch Resonanz erregt und durch 

Strahlung gedämpft werden. Sitzungsber. d. k. preuß. Akad. d. 

Wissensch. vom 20. Februar 1896, p. 151 — 170. Wied. Ann. 60, 

p. 577-599, 1897. (§§104—115.) 
Über irreversible Strahlungsvorgäuge. (Erste Mitteilung.) Sitzungsber. d. 

k. preuß. Akad. d. \Yissensch. vom 4. Februar 1897, p. 57—68. (§ 104 ff.) 
Über irreversible Strahlungsvorgänge. (Zweite Mitteilung.) Sitzungsber. 

d. k. preuß. Akad. d. Wissensch. vom 8. Juli 1897, p. 715—717. (§ 168.) 
Über irreversible Strahlungsvorgänge. (Dritte Mitteilung.) Sitzungsber. 

d. k. preuß. Akad. d. Wissensch. vom 16. Dezember 1897, p. 1122—1145. 

(§§169-171.) 



222 Verzeichnis 



Über irreversible Strahlungsvorgänge. (Vierte Mitteilung.) Sitzungsber. 

d. k. preuß. Akad. d. Wissensch. vom 7. Juli 1898, p. 449—476. 

(§§ 169-171.) 
Über irreversible Strahlungsvorgänge. (Fünfte Mitteilung.) Sitzungsber. 

d. k. preuß. Akad. d. Wissensch. vom 18. Mai 1899, p. 440—480. 

(§§ 175—187. § 159.) 
Über irreversible Strahlungsvorgänge. Drüdes Ann. 1, p. 69 — 122, 1900. 

(§§ 128-132. §§ 175—187. § 159.) 
Entropie und Temperatur strahlender Wärme. Drüdes Ann. 1, p. 719—737, 

1900. § 101. §§ 188f. § 162. 
Über eine Verbesserung der Wien sehen Spektralgleichung. Verhandlungen 

der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, p. 202—204, 1900. § 189. 
Ein vermeintlicher Widerspruch des magneto-optischen FARADAY-Effektes 

mit der Thermodynamik. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen 

Gesellschaft 2, p. 206—210, 1900. 
Kritik zweier Sätze des Herrn W. Wien. Drüdes Ann. 3, p. 764—766, 1900. 
Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum. Ver- 
handlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, p. 237 — 245, 

1900. (§§ 146—152. § 158.) 
Über das Gesetz der Energie Verteilung im Normalspektrum. Drüdes Ann. 

p. 553—563, 1901. (§§ 145—157.) 
Über die Elementarquanta der Materie und der Elektrizität. Drüdes Ann. 

p. 564—566, 1901. (§ 158.) 
Über irreversible Strahlungs Vorgänge (Nachtrag). Sitzungsber. d. k. preuß. 

Akad. d. Wissensch- vom 9. Mai 1901, p. 544 — 555. Drüdes Ann. 6, 

p. 818-831, 1901. (§ 187.) 
Vereinfachte Ableitung der Schwingungsgesetze eines linearen Resonators 

im stationär durchstrahlten Felde. Physikalische Zeitschrift 2, p. 530 

bis p. 534, 1901. (§§ 116—123.) 
Über die Natur des weißen Lichtes. Drüdes Ann. 7, p. 390 — 400, 1902. 

(§160. §176. §180.) 
Über die von einem elliptisch schwingenden Ion emittierte und absorbierte 

Energie. Archives Neerlandaises, Jubelband für H. A. Lorentz, 1900, 

p. 164—174. Drüdes Ann. 9, p. 619-628, 1902. 
Über die Verteilung der Energie zwischen Äther und Materie. Archives 

Neerlandaises, Jubelband für J. Bosscha, 1901, p. 55 — 66. Drüdes 

Ann. 9, p. 629—641, 1902. (§§ 138—144.) 



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